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一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法









2+bx+c=0 ax 1)什么叫做一元二次方程? 2+bx+c y=ax 2)什么叫做二次函数? 定义:只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。 例如:x2+x-2>0、-x2+3≥0





1)二次方程x2+2x-3=0的根与二次函数y=x2+2x-3 与x轴交点的关系

二次方程有两个实根: x1=-3,x2=2 二次函数有两个交点: (-3,0),(2,0)

二次方程 ax2+bx+c=0 的根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与x轴 的交点
两个交点 一个交点 无交点

Δ

>0,方程有两个不相 等的根 =0,方程有一个根 (或两个相等的根) <0, 方程无根

2)二次函数图象与二次不等式解的关系
y y y

⊿>0
-3
o1 x

⊿= 0
-1
o x o

⊿<0
x

1)y=x2+2x-3 若x2+2x-3>0 则x<-3或x>1

2)y=x2+2x+1 若x2+2x+1>0 则x≠-1

3)y=x2-2x+2 若x2-2x+2>0 则x∈R

若x2+2x-3<0 则-3<x<1

若x2+2x+1<0 则无解

若x2-2x+2>0 则无解

归纳:一元二次不等式的解法(完成P77表格) 判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

例题分析
例1 求下列不等式的解集

- x2 + 2x – 3 >0 (1)2x2+x -3>0. (2)- 2x2 + 3x +5 >0. (3)4x2-4x +1>0

小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤:
① 将二次项系数化为“+”(a>0); ② 计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根

③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 由图象写出解集. 记忆口诀: (前提a>0). 大于取两边,小于取中间

练习 1.口答: (1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}. (2) x2<9的解集是 {x∣-3<x<3 } . (3) x2-3x-4≥0的解集是 {x∣x≤-1或x≥4} . (4) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2.} {1} (5) (x-1)2≤0的解集是 .

1 2. 若0<a<1,则不等式(x-a)(x - )<0的解集是_______. a


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