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高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第一章 集合


高考数学基础知识、常见结论
第一章 集合与简单逻辑(必修 1、选修 1-1) 专题一、集合(必修 1) 1、集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性;表示一个集合要用 ?

?

集合元素的互异性:如:已知集合 A={1,a},B={a,a2},且 A=B,求实 a 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、集

合与元素的关系用符号?,?表示; 4、集合的表示方法:列举法,描述法,图示法(韦恩图) 注意:区分集合中元素的形式:如: A ? {x | y ? x 2 ? 2 x ? 1} , B ? { y | y ? x 2 ? 2 x ? 1} ,
C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2 x ? 1} , D ? {x | x ? x 2 ? 2 x ? 1} , E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2 x ? 1 x、y ? Z } ,

5、 常见集合: 自然数集 N , 正整数集合 N * 或 N ? , 整数集合 Z , 有理数集合 Q , 实数集合 R . 6、集合间的关系 符号 ?, ” “ ? 是表示元素与集合之间关系的, 立体几何中的体现是点与直线(面)的关系 ; 符号“ ? , ( ? ) ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现是直线(面)与面 的关系 ; ①一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集 合 A 是集合 B 的子集,记作 A ? B . ②若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. 注意: 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 n 个子集, 2n ? 1 个真子集. ③空集是不含任何元素的集合。(注意: {0} 、 ? 和 {?} 的区别;0 与三者间的关系),空集 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 如: A ? {x | x 2 ? 8x ? 15 ? 0}, B ? ? x ax ? 1 ? 0? , 若B ? A,求实数a 7、集合间的基本运算 ① 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作:

A ? B . A ? B ? {x | x ? A或x ? B}
性质:① A ? A=A,A ? ? =? ②若 A ? B=B, B ? A 则

②一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作:

A ? B . A ? B ? {x | x ? A且x ? B}
性质:① A ? A=A,A ? ? =A ②若 A ? B=B, A ? B 则
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③全集、补集: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A} 专题二、常用逻辑用语(选修 1-1) 1、命题:可以判断真假的陈述句;逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,??表示命题. 2、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. ⑵充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件 p 与结论 q 之间的关系: 从逻辑推理关系上看: ① p ? q ,则 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要条件; ②若 p ? q ,但 q ③若 p
p ,则 p 是 q 充分而不必要条件;

q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分条件;

④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤若 p
q且q
p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) p 且 q ( p ? q ) ; ;非 p ( ?p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真;
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“ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对.(非命题也是命题的否定) 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量 词的命题,叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ? ”表示.含有 存在量词的命题,叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题 p : x ??, p( x) , 它的否定 ?p :?x0 ? ?, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题. ? ②特称命题 p :?x0 ??, p( x0 ), , 它的否定 ?p :?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题. 6、反证法:当证明“如果 p ,那么 q ”感到困难时,就证它的等价命题“如果非 p ,那么 非 p ”成立。 ①反证法步骤:假设结论不成立 ? 从这个假设出发,推理论证,得出矛盾 ? 由矛盾判断假 设不成立,从而肯定结论正确。 ②适用所证命题的结论涉及“不可能”“不是”“至少”“至多”“唯一”等字眼时 、 、 、 、 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定

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