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福建省泉州五中2015届高三5月模拟考试数学(理) Word版含答案


2015 年泉州五中高三数学模拟考试
理 科 数 学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题), 第 II 卷第 21 题为选考题, 其他题为必考题. 本 试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框

)内作答,超出 答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s= 锥体体积公式 V=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

5i 的共轭复数是 1 ? 2i
B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

A. ?2 ? i

2.“ a ? b ? 0,c ? d ? 0 ”是“ ac ? bd ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知数列 {an } 为递增等比数列,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an?1 ? 5an (n ? 2) , 则 S5 ? A.

31 16

B.

31 32

C. 31

D. 15

4. 一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图与侧视图均为半径为 2 的圆, 则这个几何体的表面积是 A. 16? B. 15? C. 14? D. 12?

? y?x ? 5.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 , z ? 2 x ? y .若 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 ? x?a ?

a 的值为
A. ?

5 4

B.

2 11

C.

1 4

D.

1 2

6.执行如图所示的程序框图.若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为 A.1 B .2 C .3 D.4

7.若非零向量 a, b 满足 (a ? 4b) ? a , (b ? a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是 A.

? 6

B.

? x? 8 .已知 f ( x) ? cos(

?
6

? 3

C.

? 2

D.

5? 6

)( ? ? 0)的图像与直线 y ? 1 的两个交点的最短距离是 ? ,要得到

y ? f ( x) 的图像,只需要把 y ? sin ? x 的图像

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移 9.已知向量 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 A. 2 3 ? 1 B. 2 3 ? 1

? .若向量 m 满足 m ? a ? b ? 1 ,则 m 的最大值是 3
C.4 D. 6 ? 2 ? 1

? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移

10.已知数列 {an } 是正项等差数列,若 cn ?

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan ,则数列 {cn } 也为等差数 1? 2 ? 3 ? n

列.已知数列 {bn }是正项等比数列,类比上述结论可得

b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? nbn ,则 {dn } 也是等比数列 1? 2 ? 3 ? n b ? 2b2 ? 3b3 ? ? nbn B.若 {dn } 满足 d n ? 1 ,则 {dn } 也是等比数列 1? 2 ? 3 ? ? n
A.若 {dn } 满足 d n ? C.若 {dn } 满足 dn ? [b1 ? (2b2 ) ? (3b3 ) ? D.若 {dn } 满足 dn ? [b1 ? b2 2 ? b33 ?

? (nbn )]
1

1 1? 2? ? n

,则 {dn } 也是等比数列

? bn n ]1?2?

?n

,则 {dn } 也是等比数列 共 100 分)

第Ⅱ 卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.二项式 ( x ?

1 8 ) 的展开式中常数项等于___________. x

12. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x C 之间的关系, 随机统计了某四天的用电量与当天气温, 列表如下: 气温( x C ) 18 13 34
?

10 38

-1 64

用电量(度) 24

由表中数据得到回归直线方程 y ? ?2 x ? a .据此预测当气温为 ?4 C 时,用电量为______ (单位:度) .
2 13.已知函数 f ( x) ? ? x ? mx ? n , m, n 是区间 [0,3] 内任意两个实数,则事件 f (1) ? 0 发生的

概率为___________. 14.在 ?ABC 中, D 为 BC 边上一点,若 ?ABD 是等边三角形,且 AC ? 4 3 ,则 ?ADC 的面 积的最大值为___________. 15.若数列 {an } 满足“对任意正整数 n , 给出下列数列 {an }, n ? N :
*

an ? an ? 2 ? an ?1 恒成立”, 则称数列 {an } 为“差非增数列”. 2

① an ? 2 ?
n

1 n 1 ? 1 ,② an ? n2 ? 1,③ an ? 2n ? 1,④ an ? ln ,⑤ an ? 2n ? . n n ?1 n

其中是“差非增数列”的有________(写出所有满足条件的数列的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ( 3,sin ? ), n ? (1, cos ? ), ? ? (0, (Ⅰ )求 ? 的值; (Ⅱ )求函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ? ) 在区间上 [0,

?
2

) , m 与 n 共线.

5? ] 的最大值和最小值. 6

17.(本小题满分 13 分) 某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究,对该校高二年级 800 名学生 上学期期末语文和英语成绩进行统计,按优秀和不优秀进行分类.记集合 A={语文成绩优秀的学 生 } , B={ 英语成绩优秀的学生 } .如果用 card ( M ) 表示有限集合 M 中元素的个数.已知

card ( A B) ? 60 , card ( A CU B) ? 140 , card (CU A B) ? 100 ,其中 U 表示 800 名学生组成的
全集. (Ⅰ )是否有 99.9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系” ; (Ⅱ )将上述调查所得的频率视为概率,从该校高二年级的学生成绩中,有放回地随机抽取 3 次,记所抽取的成绩中,语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为 x ,求 x 的分布列和数学 期望. 附: K ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k0 )

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

18. (本小题满分 13 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上异于 A, B 的一个动点, DC 垂直于圆 O 所在的平面,

DC∥EB, DC ? EB ? 1, AB ? 4 .
(Ⅰ )求证: DE ? 平面ACD ; (Ⅱ ) 当三棱锥 C-ADE 体积最大时, 求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 设椭圆 C: 和是 4. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,点 M 在椭圆 C 上,点 M 到椭圆 C 的两个焦点的距离之 2 2 a b

x2 y 2 (Ⅱ ) 若椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1? m ? n ? 0 ? , 椭圆 C2 的 m n
方程为

x2 y 2 ? ? ? ? ? ? 0, 且? ? 1? ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭圆.已知椭圆 C2 是 m2 n2

椭圆 C 的 3 倍相似椭圆.若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于 M,N 两点,O 为坐标原点,试 研究当切线 l 变化时 ?OMN 面积的变化情况,并给予证明.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x ? a, g ( x) ? x ?

1 ? (ln x) a ?1 , a ? R . x

(Ⅰ )若 f ( x) ? 0 在定义域内恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ )当 a 取(Ⅰ )中的最大值时,求函数 g ( x) 的最小值; (Ⅲ )证明不等式

?
k ?1

n

1 (2k ? 1)(2k ? 2)

? ln

2n ?1 ? n ? N? ? . 2n ? 1

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多 做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并 将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?1 a? ? ,其中 a, b ? R .若点 P(1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P?(?1, ?4) . ?0 b?

(Ⅰ )求实数 a , b 的值; (Ⅱ )若 a ? ? ? ,求 M a.
10

? 2? ?1?

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知曲线 C 的极

? 2 t?2 ?x ? ? 2 坐标方程为 ? ? a cos ? .直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) ,曲线 C 与直线 l 一个交 2 ? y? t ? ? 2
点的横坐标为 3 ? 7 . (Ⅰ )求 a 的值及曲线 C 的参数方程; (Ⅱ )求曲线 C 与直线 l 相交所成的弦的弦长. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0(a, b ? R) 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} .
2

(Ⅰ )求 a , b 的值; (Ⅱ )求函数 f ( x) ? a x ?1 ? b 2 ? x 的最大值,以及取得最大值时 x 的值.

2015 年泉州五中高三数学模拟考试参考答案
1~10 BACAC BBABD

11. 70

12. 68

13.

7 9

14. 4 3

15. ③④

16. 解: (Ⅰ)

? ? ?? …5 分 m / / n,? 3 cos? ? sin ? ? 0, tan ? ? 3 ,又∵ ? ? ? 0, ? ,?? ? 3 ? 2? ?? 1 3 3 3 ? (Ⅱ) f ? x ? ? sin x ? sin ? x ? ? ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 3? 2 2 2 2 ? ? 3 ? 1 ?? ? ? 3? sin x ? cos x ? 3 sin ? x ? ? …9 分 ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
∵ ? ? ?0, ,? x ? ? ?? , ? , ? ? sin ? x ? ? ? 1,?? ? f ? x? ? 6 ? 6 3 ? 2 6? 2 ? 6 ? ? ? 当 x ? 0 时, f min ? x ? ? ?

? 5? ?

?

? ? 2? ?

1

?

??

3

3

2? 3 ,当 x ? 时, f max ? x ? ? 3 3 2

…13 分

17.解: (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 语文不优秀 总计 60 100 160 英语优秀 140 500 640 英语不优秀 200 600 800 总计 2 800(60× 500-100× 140) 因为 K2= ≈16.667>10.828, 160× 640× 200× 600 所以有 99.9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”. …6 分 3 (Ⅱ)由已知数据,语文、英语两科成绩至少一科为优秀的频率是 . 8 k 3 5 8-k k 3 则 X~B (3, ),P (X=k)=C8( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 8 8 8 X 的分布列为 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p 512 512 512 512 E (X)=3× 3 9 = 8 . 8 …13 分

18. 解: (Ⅰ)∵DC⊥面 ABC,∴DC⊥BC,又∵AB 是 O 的直径,∴AC⊥BC AC∩DC=C, AC , DC ? 面 ACD,∴BC⊥平面 ACD 又∵DC//EB,DC=EB,∴四边形 BCDE 是平行四边形,∴DE//BC ∴DE⊥平面 ACD …5 分 (Ⅱ)

AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? 16

1 1 1 1 1 AC 2 ? BC 2 4 VC ? ADE ? VE ? ACD ? S?ACD ? DE ? ? ? 1 ? AC ? BC ? AC ? BC ? ? ? 3 3 2 6 6 2 3
当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时取等号,

∴当三棱锥 C-ADE 体积最大时, AC ? BC ? 2 2 如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系, 则 A 2 2, 0, 0 , D ? 0, 0,1? , B 0, 2 2, 0 , E 0.2 2,1

?

?

?

? ?

?
?


AD ? ?2 2, 0,1 , DE ? 0, 2 2, 0 , 设 平 面 ADE 的 一 个 法 向 量 n1 ? ? x, y, z ? , 则

?

?

?

?

? 2 2 x? z ? 0 ?n1 ? A D? ? ,令 x ? 1 得 n1 ? 1, 0, 2 2 ? ? ?n1 ? D E ?2 2 y? 0

?

设平面 ABE 的一个法向量 n2 ? ? x, y, z ? , ? 令 x ? 1 得 n2 ? ?1,1,0 ? , cos ? n1 , n2 ??

? ?n1 ? AB ? ?2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?n1 ? BE ? z ? 0 ? 1 3? 2 ? 2 6

n1 ? n2 n1 ? n2

∴当三棱锥 C-ADE 体积最大时,平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值为 分 19. 解: (Ⅰ)依题意, 2a ? 4, a ? 2,

2 …13 6

e?

1 ,? c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 2

∴椭圆 C 方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

…3 分

(Ⅱ)依题意,椭圆 C2 方程为:

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 3,即 ? ?1 4 3 12 9

当切线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为: y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 由 ? x2 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 36 ? 0 ,由 ? ? 0 得 m ? 4k ? 3 y2 ?1 ? ? ?12 9
设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 36 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4 3(12k 2 ? 9 ? m 2 ) 4 6 MN ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ? ? 1? k2 ? 2 m 3 ? 4k
2 2

又点 O 到直线 l 的距离 d ?

m k2 ?1

,∴ S ?OMN ?

1 ? MN ? d ? 2 6 2

当切线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x ? ?2, MN ? 2 6 , S?OMN ? 2 6 综上,当切线 l 变化时, ?OMN 面积为定值 2 6 20. 解: (Ⅰ) f ? x ? 的定义域是 ? 0, ??? , f ? ? x ? ? 1 ? …13 分

1 x ?1 ? x x

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 递减,当 x ? ?1, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 递增 ∴ fmin ? x ? ? f ?1? ? 1 ? a 依题意得, 1 ? a ? 0, a ? 1,故 a 的取值范围 ? ??,1? (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ? x ? ? x ? …4 分

1 2 ? ? ln x ? , g ? x ? 的定义域是 ? 0, ??? x

g?? x? ? 1 ?

1 1 x 2 ? 2 x ln x ? 1 ? 2ln x ? ? , x x x2

令 h ? x ? ? x2 ? 2x ln x ? 1, h? ? x ? ? 2 ? x ? ln x ? 1? 由(Ⅰ)知, h? ? x ? 的最小值是 h? ?1? ? 0,? h? ? x ? ? 0, h ? x ? 递增,又 h ?1? ? 0

x ? ?0 , 1 ? 时, h? ? x? ? 0 , g ? ? x ? ? 0, g ? x ? 递减,当 x ? ?1, ??? 时, h? ? x? ? 0 , g ? ? x ? ? 0, g ? x ? 递增,∴ gmin ? x ? ? g ?1? ? 2
(Ⅲ )由(Ⅱ)得, x ? 1 时,
2

…9 分

? 1 1 ? 1 2 2 g ? x ? ? g ?1? , x ? ? ? ln x ? ? 2, ? x ? ? ln x , ? ? ? ln x ? , x ? x x? x ?
令x ?

2k ? 2 ? 1? k ? N ? ? , k 2 +1


n

2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2 ? ? ln ,即 2k +1 2k +2 2k ? 1
1

1

?2

k

? 1?? 2k ? 2 ?
2n ? 2 ? ln n 2 ?1

? ln

2k ? 2 2k ? 1

??
k ?1

2?2 22 ? 2 ? ln ? ln 2 ? ? 2k ? 1?? 2k ? 2? 2 ? 1 2 ? 1

? 22 2 ? 2 ? 1? ? ln ? ? 2 ? 2 ?1 2 ?1
21.(1)(Ⅰ)由 ?

2(2n ?1 ? 1) ? 2 n ?1 ? ln ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

…14 分

? a ? 1, ? 1 a ? ? 1 ? ? ?1 ? ?1 ? 2a ? ?1, 所以 ? ……3 分 ? ? ? ? ? ? ,得 ? ?b ? 2. ? 0 b ? ? ? 2 ? ? ?4 ? ? ?2b ? ?4,

(Ⅱ) M ? ?

? ? 1 ?1 ?1 1? .令 f ? ? ? ? ? ?1?? ? ? 2? ? 0 ,得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 . ? ? ? 0 ? ?2 ?0 2?
?1? ?0?
1

属于 ?1 ? 1的一个特征向量 e1 ? ? ? ,属于 ?2 ? 2 的一个特征向量 e2 ? ? ? ,

? 1? ? 1?

所以 a ? e1 ? e2 . M a ? M
10

10

?e ? e ? ? ?
2
2

10 1 1

?1? ?1? ?1025 ? e ? ?210 e2 ? ? ? ? 210 ? ? ? ? ? .……7 分 ? 0? ?1? ?1024 ?

2 (2)(Ⅰ)曲线 C 的一般方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 16 ,

曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 4cos ? , ( ? 为参数) .……3 分 ? x ? 4sin ? ,
2

(Ⅱ)圆 C 的圆心 ? 4, 6 ? ,圆心到直线距离 d ? 2 ,则所求弦长为 2 4 ? (3)(Ⅰ)依题意,方程 x ? ax ? b ? 0 的两个为 1 和 2,所以 ?
2

? 2?

2

? 2 14 .7 分

?a ? 3, ?1 ? 2 ? a, 所以 ? ……3 分 ?b ? 2. ?1? 2 ? b,

(Ⅱ) f ? x ? ? 3 x ? 1 ? 2 2 ? x ?1 ? x ? 2? . 由于柯西不等式得, f 2 ? x ? ? 3 x ? 1 ? 2 2 ? x 所以 f ? x ? ? 13 .当且仅当 所以当 x ?

?

? ? ?3
2

2

? 22 ? ? x ? 1 ? 2 ? x ? ? 13 ,

22 3 x ?1 ,即 x ? 时,取得等号. ? 13 2 2? x

22 时, f ? x ? 取得最大值 13 .……7 分 13


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