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《教师参考》北师大版(高中数学) 必修4 :2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示 同课异构课件1


第二章 平面 向量 4.2 平面向量线性运算的坐标表示

学习要求
理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系; 掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法则; 能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标. .

自学导引
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方
向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量

a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、
ya ,使得 = xi + y j
我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作 a =(x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标

平面向量的坐标运算 自主探究
向量是可以作运算的,运用所学的知识研究两个向 量的和与差的坐标表示,及实数与向量积的坐标表

示。 ( 1)向量加减法的坐标等于向量坐 标的加减法 (2)实数与向量的积的坐标等于是属于向 量坐标的积。 (3)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去 起点坐标。

注意事项
1:任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的

起点、终点的具体位置无关系,只与其相对位置
有关。

2:当把坐标原点作为向量的起点,这时向量的
坐标就是向量终点的坐标。

预习测评
例、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求

解:设顶点D的坐标为(x,y), AB =( -1( - 2), 3-1) =(1,), 2 DC =(3- x, 4 - y),由AB = DC,得(1,) 2 =(3- x, 4 - y) \ x = 2,y = 2, \ 顶点D的坐标为(2,) 2

顶点D的坐标。

预习测评
向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若 A(x,y), OA 则 (xy 2- x1, =________,若 A(x1, 1), B(y x22- ,y y12) ),则 AB =

(

________________________.

要点阐释
1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,

那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一
对实数λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2.

要点阐释
2.平面向量的坐标表示

在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方
向相同的两个单位向量 i , j 作为基底,对

一向量a,有唯一一对实数x,y,使得:a
= xi + yj , (x , y) 叫做向量 a 的直角坐标,

记作a=(x,y),显然i=(1,0),j=(0,1),0
=(0,0).

典例剖析
3.平面向量的坐标运算 已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若

(a+b)∥c,则m=________.
答案 解析 -1 a+b=(2-1,-1+m)=(1,m-1),由(a+

b)∥c,得1×2-(m-1)×(-1)=0,即m=-1.

设两非零向量e1,e2不共线,且(ke1+e2)∥(e1+ke2) ,则k等于________. 答案 解析 ke2), ∴(k-λ)e1+(1-λk)e2=0 ∴k-λ=0,1-λk=0,∴k=±1. ±1 (ke1+e2)∥(e1+ke2),∴ke1+e2=λ(e1+

已知向量a、b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( ) B.k=1且c与b反向

A.k=1且c与d同向

C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 答案 D

误区解密:

探究:向量的坐标运算主要是利用加、减、数
乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐

标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注
意方程思想的运用及正确使用运算法则 例 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c =(4,1). 回答下列问题:

误区解密:

(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, 求 d.

【解析】
k).

(1)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+

2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2)

课堂总结

平面向量的坐标运算承前启后,不仅使向量的加

法、减法和实数与向量的积完全代数化,也是学
习向量数量积的基础,因此是平面向量中的重要

内容之一,也是高考中命题的热点内容.在这里,
充分体现了转化和数形结合的思想方法.


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