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2007年四川省黄家中学高二数学竞赛试卷(预赛)


2007 年四川省黄家中学高二数学竞赛试卷(预赛)
考试时间:2007 年 2 月 6 日
_________________________________________________________________________________________________________

19:00 -- 21:00

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满分 150 分

一.选择题:本大题共有 8 小题,每小题 6 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1、直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 1 ,直线 l2 与直线 l1 关于直线 y ? x 对称,则直线 l2 经过点 A.(-1,3) B.(1,-3) C(3,-1) D(-3,1) 1 2 3 4 5 6 7 8

班级____________________学号____________________姓名____________________ 封 线 内 不 得 答



2、以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是 A. x
2

? y2 ? 5

B. x

2

? y 2 =25

C. x

2

? y 2 =4

D. x

2

? y 2 =16

3、如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是 A.增函数且最小值是 -5 C.减函数且最大值是 -5 4、数列{an}中若 a1 , a2 A.2n+1-1 5、若 B.增函数且最大值是 -5 D.减函数且最小值是 -5

? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an?1 ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 a ?
B.2n-1 C.2n
-1

D.2n +1

sin ? ? cos ? ? ? 2, 则 tan( ? ? ) 等于 sin ? ? cos ? 4
B.-2 C.

A.2

1 2

D. ?

1 2

6、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是 A.

1 5

B.

1 2

C. 3
3

D. 3
4

? ? 7、把点 (3, 2) 按向量 a 平移到点 (4, 1) ,则函数 y ? log3 x 的图像按向量 a 平移后的函数
解析式为 A. y ? ?1 ? log3 ( x ? 1) C. y ? 1 ? log3 ( x ? 1) B. y ? ?1 ? log3 ( x ? 1) D. y ? 1 ? log3 ( x ? 1)



8、任取 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,若 f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ,则称 f(x) 是[a,b]上的凸 2 2 函数。下列图象中,是凸函数图象的是

A.

B.

C.

D.

二.填空题:本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分,把答案直接添在题中的横线上。

x2 9、函数 y ? 的值域是 1 ? x4
10、已知 f ? x ? ? ?

? x2 ? 1 ? ? ??2 x

? x ? 0? ,若 f ? x ? ? 10 ,则 x ? ? x ? 0?

11、光线从点 A ? 3, 3? 射到 y 轴以后,再反射到点 B ?1, 0? ,则这条光线从 A 到 B 经过的路线长度 为 12、若椭圆

y2 1 x2 ? ? 1的离心率 e ? ,则 a 等于 2 a ?8 9

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13、已知 ? 2 x ? y ? 0 则 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 的最大值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?
14、若双曲线 x ?
2

9

y2 ? k 2 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则实数 k 的取值范围为 4

三.解答题: 本大题共 4 个小题,每小题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(15 分)设 a>0,求证: a 2 ?

1 1 ? 2 ≥a ? ?2 . 2 a a

16.(15 分)已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ( a 为常数).

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 ,试求实数 a 的取值范围. ? ? 2? ?

?

17.(15 分已知数列{ an }是等差数列, 且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 . (1) 求数列{ an } 的通项公式; (2) 令 bn ? an 3n , 求数列{b n}前 n 项和的公式.

18.(15 分)已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,过其右焦点 F 作斜率为 1 的直 线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点,若椭圆上存在一点 C ,使四边形 OACB 为平行四边形.

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若 ?OAC 的面积为 15 5 ,求这个椭圆的方程. y

B

O
A

F

C

x

2007 年黄家中学高二数学竞赛试卷(预赛) 参考答案

一.选择题:本大题共有 8 小题,每小题 6 分,共 48 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 D

1、直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 1 ,直线 l2 与直线 l1 关于直线 y=x 对称,则直线 l2 经过点( C ) A.(-1,3) B.(1,-3) C(3,-1) D(-3,1)

2、以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( B ) A. x
2

? y2 ? 5

B. x

2

? y 2 =25

C. x

2

? y 2 =4

D. x

2

? y 2 =16
( A )

3、 如果奇函数 f(x)在区间[3, 7]上是增函数且最大值为 5, 那么 f(x)在区间[-7, -3]上是 A. 增函数且最小值是 -5。 C. 减函数且最大值是 -5。 4、 数列{an}中若 a1 , a2 A.2n+1-1 5、若 B.增函数且最大值是 -5。 D.减函数且最小值是 -5。

? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an?1 ,? 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, 则a ? ( B )
B.2n-1 C.2n
-1

D.2n +1

sin ? ? cos ? ? ? 2, 则 tan( ? ? ) 等于 sin ? ? cos ? 4
B.-2

( D ) C.

A.2

1 2

D. ?

1 2

6、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是( B ) A.

1 5

B.

1 2

C. 3
3

D. 3
4

? ? 7、把点 (3, 2) 按向量 a 平移到点 (4, 1) ,则函数 y ? log3 x 的图像按向量 a 平移后的函数解析式
为(A ) A. y ? ?1 ? log3 ( x ? 1) C. y ? 1 ? log3 ( x ? 1) B. y ? ?1 ? log3 ( x ? 1) D. y ? 1 ? log3 ( x ? 1)

8、任取 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,若 f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ,则称 f(x) 是[a,b]上的凸函数。 2 2 下列图象中,是凸函数图象的是

A.

B.

C.

D.

二.填空题:本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分,把答案直接添在题中的横线上。 9、函数 y ?

x2 的值域是 1 ? x4

? 1? 0, ? ? 2? ?
?3

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 10、已知 f ( x ) ? ? ,若 f(x)=10,则 x= ? ? 2 x ( x ? 0)

11、光线从点 A(3,3)射到 y 轴以后,再反射到点 B(1,0),则这条光线从 A 到 B 经过的路 线长度为 12、若椭圆

5
y2 1 x2 ? ? 1的离心率 e ? ,则 a 等于 2 a ?8 9 ? 5 或4 4

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13、已知 ? 2 x ? y ? 0 则 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 的最大值为 26 ? x ? y ?1 ? 0 ?
2 y2 14 、 若 双 曲 线 x ? ? k 2 与 圆 x2 ? y 2 ? 1 有 公 共 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为

9

4

__ [? , 0)

1 3

1 (0, ] ___ 3

三.解答题: 本大题共 4 个小题,每小题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(15 分)设 a>0,求证: a 2 ? 证:令 t ? a ?

1 1 ? 2 ≥a ? ?2 . a a2
……………… 4 分

1 1 ,则 t 2 ? a2 ? 2 ? 2 (t ≥2) a a

∴原不等式即

t 2 ? 2 ? 2 ≥t-2,它等价于 t 2 ? 2 ≥t+ 2 -2 ……………… 8 分

∵ ( t 2 ? 2 )2 ? (t ? 2 ? 2)2 ? 2(2 ? 2 )t ? 4(2 ? 2 ) ? 2(2 ? 2 )(t ? 2) ≥0 ∴ ( t 2 ? 2 ) 2 ≥ (t ? 2 ? 2) 2

?

t 2 ? 2 ≥ t ? 2 ? 2 成立

……………… 12 分

∴ a2 ?

1 1 ? 2 ≥a ? ?2 a a2

……………… 15 分

16.(15 分)已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ( a 为常数). (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 ,试求实数 a 的取值范围.

? ?

??
2?

解: f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a = = (Ⅰ) T ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? a 2

2? ? ? ……………… 5 分 2 ? ? 3? 当 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? (k ? Z )
2 6 2

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? = sin(2 x ? ) ? a ? ……………… 4 分 6 2 2 2 2

k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? 3

? x ? [ k? ?

?
6

,k? ?

2? 7分 ]k(? Z 为单调减区间……………… ) 3

? ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 , (Ⅱ)∵若函数 f ?x ? 在 ?0,  ? 2? ? ?
∴ sin(2 x ?

?

1 ) ? a ? =2 6 2
6 6 6

∴ sin(2 x ?

?
6

)?

3 ? a ……………… 10 分 2

?? ∵ ?0,  ? 2? ? ?


∴ 2 x ? ? ? [ ? , 7? ] ∴

……………… 13 分

1 3 ? ? a ? 1 时有两解 2 2

1 ? a ? 1 ………………15 分 2

17.(15 分已知数列{ an }是等差数列, 且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 . (1) 求数列{ an } 的通项公式; (2) 令 bn ? an 3n , 求数列{b n}前 n 项和的公式. 解:(1)

a1 ? a 2 ? a3 ? 12? ? ? a 2 ? 4 ,则公差 d ? 2 ……………… 4 分 a1 ? a3 ? 2a 2 ?

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n(n ? N * ) ……………… 6 分
(2) 由(1)得 bn ? 2n ? 3 于是
n

……………… 8 分

S n ? 2 ?1? 3 ? 2 ? 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 33 ? ? ? 2n ? 3n ………………10 分

3S n ? 2 ?1? 32 ? 2 ? 2 ? 33 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n ? 2n ? 3n?1 ……………… 12 分
两式相减得:

? 2S n ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n ? 2n ? 3n?1 = 2 ?


3(1 ? 3 n ) ? 2n ? 3 n ?1 ……………… 13 1? 3

2n ? 3n ?1 ? 3n?1 ? 3 ? Sn ? (n ? N * ) ……………… 15 分 2
18.(15 分)已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l ,交 y 椭圆于 A 、 B 两点,若椭圆上存在一点 C ,使四边形 OACB 为平行四边形.

B

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

O
(Ⅱ)若 ?OAC 的面积为 15 5 ,求这个椭圆的方程.

F

C
A

x

x2 y2 解:(Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), a b
直线 l : y ? x ? c , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) , AB 中点为 ( x0 , y0 ) .………… 1 分

? x2 y2 ? 1, ? ? 由 ?a2 b2 ?y ? x ? c ?

得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ? 0 ……………… 2 分

? x1 ? x 2 ?

x1 ? x 2 2a 2 c a 2c ? b2c x ? ? y ? x ? c ? .则 , .……………4 分 0 0 0 2 a2 ? b2 a2 ? b2 a2 ? b2 a 2c ? 2b 2 c , yC ? 2 y 0 ? 2 .……… 6 分 a2 ? b2 a ? b2
2 2

? 四边形 OACB 为平行四边形,? xC ? 2 x0 ?
2

把点 C 的坐标代入椭圆方程,并化简得 4c ? a ? b ,

? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? 得 2a 2 ? 5c 2 ,即 e ?

10 .……………… 8 分 5

(Ⅱ)由四边形 OACB 为平行四边形,得 ?OAC 的面积等于 ?OAB 的面积.

? 直线 AB 过焦点 F ,? 由焦半径公式有
AB ? AF ? FB ? (a ? ex1 ) ? (a ? ex2 ) ? 2a ? e( x1 ? x2 )

? 2a ? e

2a 2 c , ……(*) a2 ? b2

……………… 10 分

由e ?

3 3 10 10 a , b 2 ? a 2 ,代入(*),得 AB ? a . ?c ? 5 2 5 5

又? 原点到直线 l 的距离为 d ?

c 2

?

5 a, 5

1 1 3 5 3 5 2 a? a .……………… 12 分 ? ?OAB 的面积等于 AB ? d ? ? a ? 2 2 2 5 20


3 5 2 a ? 15 5 ,得 a ? 10 ,? b 2 ? 60 . ……………… 14 分 20
x2 y2 ? ? 1 .……………… 15 分 100 60

? 椭圆的方程为


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