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坐标系与参数方程2016.8


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坐标系与参数方程 2016.8 坐标系与参数方程

一.极坐标系的概念与直角坐标互化
定义:如图,在平面上任意取一个点 O,叫做极点,自极点 O 引一条射线 ox,叫极轴,再取一个长度单位,一个角度单位及 其正方向,这样就建立了极坐标系 ox。有序数对 P( ? , ? )叫 做点的极坐标,当 ? ? 0 时,极径 ? 表示点 P 到 O 的距离,? (单位:弧度)表示以 ox 为始边,OP 为终边的角。 1.在图中写出各点的极坐标(要求 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) A. D. B. E. C. 极点 O.

2.把下列直角坐标系中的点化为极坐标(不用写过程) A ? 2, 0 ? ,B ? ?4,0 ? , C ? 0, ?2 ? ,D ? ?2, 2 ? , E 1, ? 3

?

?

3.在极坐标中,已知两个点的极坐标,求 AB 的距离 (1)A ? 2,

? ?

??

? ?? ? ,B ? 5, ? 4? ? 4?

结论 1: 过极点的直线上 的两点间的距离公式

互化公式是: x ? ? cos ? ,

y ? ? sin ? , x2 ? y 2 ? ? 2

二.曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中,求下列圆的极坐标方程 (1)图 1,以极点为圆心半径为 3 的圆, (2)图 2,以点 C(3,0)为圆心,过极点的圆,

2.在极坐标系中,求下列直线的极坐标方程 (1)图 1,过极点,倾斜角为

? 的直线, 4

(2)图 2,过点 A(3,0)且与极轴垂直的直线, (3)图 3,过点 A(3, 线。

? )且与极轴垂直的直 2

2

坐标系与参数方程 2016.8

3.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出下列 直角坐标方程的极坐标方程。 (1)圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 (3)直线 y= 3 x 4.分别化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程 (2)直线 x- 3 y+2=0 (4)圆 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0

?? ?? ? ? (1) ? ? 4cos ?,(2)? ? 2sin ?? ? ? ,(3) ? sin ?? ? ? ? 1,(4) ? cos 2 ? ? 4sin ?, 4? 3? ? ?
5.已知直线 ? cos? ? 3? sin ? ? 2 和圆 ? ? 6 cos ? 。 (1)把圆的极坐标方程化为直角坐标方程, (2)求直线被圆截得的弦长。

6.已知圆 ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

?, 4?

(1)把圆的极坐标方程化为直角坐标方程, (2)在圆上求一点 D,使得 D 到直线 ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 3 2 的距离最大。 4?

7.(2007 年全国新课标)已知 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

8. ( 2015 新 课 标 1 卷 理 科 23 ) 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 C1 : x ? ?2, 圆
2 C2 ( : x ?1 ) +(y ? 2)2 ? 1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? = (? ? R) , 设 C2 与 C3 的交点为 M,N, 求 ?CM 2N

?

4

的面积。

3
三.曲线的参数方程

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用一个参数分别表示出曲线上的动点坐标的方程,叫做参数方程。 1.求以原点为圆心,r 为半径的圆的标准的 参数方程(以图中的 ? 为参数)。 2.求经过点 A( x0 , y0 )倾斜角为 ? 的直线 的(标准)参数方程(以图中的 AM=t 为 参数)。

5? 的直线的参数方程。 6 ? x ? 1 ? t cos 45? ? ? ? ? y ? ?2 ? t sin 45 ( t 为参数),A(1,-2),P 点所对应的参 4.(1)已知直线的参数方程为 ?
3.求经过点 A(-1,2)倾斜角为 ? ? 数为 t=3,求 PA 。 4.(2)已知直线的参数方程为 ? t=3,求 PA 。

? x ? 1 ? at ( t 为参数),A(1,-2),P 点所对应的参数为 y ? ? 2 ? bt ?

5.已知椭圆的方程为

x2 + y2 = 1。 3

(1)求椭圆的参数方程, (2)在椭圆上求一个点 P,使得 P 到直线 x+y=-1 的距离最大。

6.在直角坐标系 xOy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45? .以坐标原点为极点, x 轴 正半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 的交点为 A, B . (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 PA ? PB .

? sin 2 ? ? 2cos? ,直线 l 和曲线 C

4

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7.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? .
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 距离最短,并求出点 D 的直角坐标.

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R )的 ? ? y ? ?3t ? 2

8.(2011 年全国新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

uu u v uuuv ? x ? 2cos ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. ? ? y ? 2 ? 2sin ?
(Ⅰ)求 C2 的方程, (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
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与 C1 的异于极

9.(2016 年全国新课标 1 卷文理 23) 在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t , (t 为参数,a>0). 在 ? y ? 1 ? a sin t ,

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4cos? . (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ?0 , 其中 ? 0 满足 tan ?0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上,求 a.


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