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全国高中数学竞赛二试模拟训练题(1)


加试模拟训练题(1)
1、在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是边 AC、BC 上的点,且 满足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE。

2、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 立,求 a 的取值范围。

?
4

)?

6

? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于? ? ?0, ? 恒成 sin ? ? cos ? ? 2?

-1-

3.某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名学生( 1 ? C i ? 39,1 ? i ? n )来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为

?C
i ?1

n

i

? 1990 ,看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必

须坐在同一横排. 问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下?

4.求出所有的正整数对 (m, n) ,使得

n3 ? 1 是一个整数。 mn ? 1

-2-

1、在△ABC 中,O 为外心,I 为 内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是边 AC、BC 上的点,且满 足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE。

ID ? IE ? OD ? OE 证法一::连结 OD、OE、ID 和 IE,要证 IO⊥DE ,只需证 在任意四边形 ABCD 中,若对边平方和相等,则对角线互相垂直。此题正是应用这个结论 而得证的,IDOE 构成一个凹四边形,对角线为 IO 和 DE。 证法二:由于 AB=AD 可得 AI⊥BD,延长 AI 交外接圆于 M,连 结 OM,则 OM⊥BC,故可发现△IOM 和△DEB 的对应边互相垂 直。故只需证这两个三角形相似即可。
2 2 2 2

2、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 立,求 a 的取值范围。

?
4

)?

6 ? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于? ? ?0, ? 恒成 sin ? ? cos ? ? 2?

解:设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? 从而原不等式可化为: (2a ? 3) x ?

?
4

)?

2 ? x, sin 2? ? x 2 ? 1, x ? ? ?1, 2 ? 2

6 ? 2( x 2 ? 1) ? 3a ? 6 x 6 2 2 即 2 x 2 ? 2ax ? 3 x ? ? 3a ? 4 ? 0, 2 x( x ? ? a ) ? 3( x ? ? a) ? 0 , x x x

2 ? ? (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x ? ?

? x ? ??1, 2 ?? ? (1)
? ?

? 原不等式等价于不等式(1)

? ? x?? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0
(1)不等式恒成立等价于 x ?

2 ? ?a ? 0 x?? ?1, 2 ? 恒成立。 x ?

从而只要 a ? ( x ? ) max ( x ? ?1, 2 ? ) 。

2 x

?

-3-

又容易知道 f ( x) ? x ? 所以 a ? 3 。

2 ? 2 在 1, 2 ? 上递减,? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ? ? x ? x

3.某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名学生( 1 ? C i ? 39,1 ? i ? n )来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为

?C
i ?1

n

i

? 1990 ,看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必

须坐在同一横排. 问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下? 【解】 让学生按学校顺次入坐,每排坐满后再转入下一排,共用 10(=1990÷199) 排.这时有的学校,学生已坐在同一排,有的学校,学生坐在两排.后一种学校至多 9 个.再增加两排坐位,每排可容纳 5 个学校.将上述(至多)9 个学校移到这两排, 则每个学校的学生都坐在同一排,因此,12 排足够.另一方面,1990=34×58+18.如 果 58 个学校各有 34 名学生,1 个学校 18 名学生,那么每排至多安排 34 名学生的学 校 5 所(34×6>199),11 排至多安排 34 名学生的学校 55 所,所以 11 排是不够的.

4.求出所有的正整数对 (m, n) ,使得
3 3

n3 ? 1 是一个整数。 mn ? 1
3 3 3 3 3

解:由于 (m , mn ? 1) ? 1 且 mn ? 1 | n ? 1 ? mn ? 1 | m (n ? 1) ? mn ? 1 | m n ? 1 ? m ? 1

? mn ? 1 | m 3 ? 1 ,所以 m, n 是对称的。不妨设 m ? n 。
当 m ? n 时,则

n3 ? 1 n2 ? n ? 1 1 ? ?n? ? N * ? n ? 2 ,从而 m ? n =2; 2 n ?1 n ?1 n ?1

当 m ? n 时,若 n ? 1 时,则有 m ? 1 | 2 ,所以 m ? 2 或 3; 若 n ? 2 时,由于

n3 ? 1 3 是一个整数,从而 ?k ? N * 使得 n ? 1 ? (kn ? 1)(mn ? 1) mn ? 1

即 kn ? 1 ?

n3 ? 1 n3 ? 1 1 1 ,所以 kn ? 1 < 1 ? 。 ? 2 ?n? mn ? 1 n ? 1 n ?1 n ?1

又由于 n ? 2 , k ? N * ,所以 k ? 1 。 所以 n ? 1 ? (n ? 1)(mn ? 1) ? mn ? n ? mn ? 1 ,从而 m ?
3 3

n2 ?1 2 ? n ?1? ? N * 得 n ? 2 或 3, n ?1 n ?1

所以 m ? 5 ; 综上知所有的 (m, n) 为(2,2),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).

-4-


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