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2014届高三数学辅导精讲精练34


2014 届高三数学辅导精讲精练 34
1 1 1 1 1.数列3,8,15,24,?的一个通项公式为 A.an= 1 2 +1
n

(

)

B.an=

1 n+2 1 2n-1

1 C.an= n?n+2? 答案 解析 C

D.

an=

1 1 观察知 an= = . 2 ?n+1? -1 n?n+2? )

2. (2012· 全国)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1=1, n=2an+1, Sn=( a S 则 A.2n
-1

3 - B.(2)n 1 D. 1 2
n-1

2 C.(3)n-1 答案 解析 B

当 n=1 时,S1=2a2,又因 S1=a1=1,

1 1 3 所以 a2=2,S2=1+2=2. 显然只有 B 项符合. 3. (2013· 韶关模拟)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n(n∈N+), 则数列{nan} 中数值最小的项是 A.第 2 项 C.第 4 项 答案 解析 B ∵Sn=n2-10n,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-11; B.第 3 项 D.第 5 项 ( )

当 n=1 时,a1=S1=-9 也适合上式. ∴an=2n-11(n∈N+). 11 记 f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图像的对称轴为直线 n= 4 ,但 n∈N+, ∴当 n=3 时, f(n)取最小值. 于是, 数列{nan}中数值最小的项是第 3 项.

4.已知数列{an}中,a1=b(b 为任意正数),an+1=- 能使 an=b 的 n 的数值是 A.14 C.16 答案 解析 C b+1 1 ∵a1=b,a2=- ,a3=- b ,a4=b, b+1 B.15 D.17

1 (n=1,2,3,?), an+1 ( )

∴此数列的周期为 3. ∴能使 an=b 的 n 的数值满足 n=3k-2(k∈N*). 5.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?的第 100 项是 A.14 C.13 答案 解析 A 易知数字为 n 时共有 n 个,到数字 n 时,总共的数字的个数为 1+2 n?n+1? 2 .易知 n=13 时,最后一项为 91,n=14 共有 14 个,故第 B.12 D.15 ( )

+3+?+n= 100 项为 14.

a-b 5 10 17 6.数列 3 , 8 , , 24 ,?中,有序实数对(a,b)可以是( a+b A.(21,-5) 41 11 C.(- 2 , 2 ) 答案 解析 D B.(16,-1) 41 11 D.( 2 ,- 2 )

)

由数列中的项可观察规律, 5-3=10-8=17-(a+b)=(a-b)-24=

?a+b=15, 41 11 2,? 解得 a= 2 ,b=- 2 .故选 D. ?a-b=26,
2 ?n 7.已知函数 f(n)=? 2 ?-n

?当n为奇数时?, ?当n为偶数时?,

且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2 ( )

+?+a100 等于 A.0 B.100

C.-100 答案 解析 B

D.10 200

当 n 为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1),当 n 为偶数时,an=-

n2+(n+1)2=2n+1,则 an=(-1)n(2n+1).∴a1+a2+a3+?+a100=-3+5-7 +9-?-199+201=2×50=100,∴选 B. 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 8. 已知数列 1, , , , , , , , , , ?, 6是此数列中的第________ 则 2 1 3 2 1 4 3 2 1 项. 答案 解析 50 1 1 2 将数列分为第 1 组 1 个,第 2 组 2 个,?,第 n 组 n 个,(1),(2,1),

1 2 3 1 2 n (3,2,1),?,(n, ,?,1),则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则 n-1 5 6为第 10 组中的第 5 个,其项数为(1+2+3+?+9)+5=50. 9. 已知数列{an}满足:4n-3=1,4n-1=0,2n=an, a a a n∈N*, a2 009=________; 则 a2 014=________. 答案 解析 1 0

∵a2 009=a503×4-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.
014 =2,则

10.数列{an}满足关系 anan+1=1-an+1(n∈N*),且 a2 ________. 答案 分析 -3

a2

012 =

1 将所给数值直接代入求值较为麻烦,将 an 整理为 an= -1 时用起 an+1

来较为方便. 解析
013=

1-an+1 1 由 anan+1=1-an+1(n∈N*),a2 014=2,得 an= = -1,∴a2 an+1 an+1 1 1 -1=-2,∴a2 012=a -1=-2-1=-3.
2 013

1

a2 014

1 11.已知数列{an}对于任意 p,q∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1=9,则 a36= ________. 答案 4

解析

1 ∵a1=9,

2 4 8 ∴a2=a1+a1=9,a4=a2+a2=9,a8=a4+a4=9. 1 8 ∴a36=a18+a18=2a18=2(a9+a9)=4a9=4(a1+a8)=4(9+9)=4. 12.已知 f(x)=x2+3x+2,数列{an}满足 a1=a,且 an+1=f′(an)(n∈N*), 则该数列的通项公式 an=________. 答案 解析 (3+a)·n-1-3 2 f(x)=x2+3x+2,∴f′(x)=2x+3.

∴an+1=f′(an)=2an+3. ∴an+1+3=2(an+3). ∴{an+3}是公比为 2,首项为 3+a 的等比数列. ∴an+3=(3+a)·n-1. 2 ∴an=(3+a)·n-1-3. 2 13.已知{an}的前 n 项和为 Sn,满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an=________. 答案 解析 ?3,n=1, ? n ?2 ,n≥2 ∵Sn+1=2n+1,∴Sn=2n+1-1.

∴n=1 时,a1=3. n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n. ?3,n=1, ∴an=? n ?2 ,n≥2. 14.已知 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2x,若 n∈N*,an=f(n),则 a2 014=________. 答案 解析 1 4 由 f(x)为偶函数,得 0≤x≤2 时 f(x)=2-x.

又 f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图像关于 x=2 对称. 又 f(x)的图像还关于 x=0 对称, ∴f(x+4)=f(x),∴an+4=an.

1 - ∴a2 014=a4×503+2=a2=f(2)=f(-2)=2 2=4. an 15.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 n 的最小值为________. 答案 解析 21 2 在 an+1-an=2n 中, n=1, a2-a1=2; n=2, a3-a2=4, 令 得 令 得 ?,

an-an-1=2(n-1). 把 上 面 n - 1 个 式 子 相 加 , 得 an - a1 = 2 + 4 + 6 + ? + 2(n - 1) =
2 ?2+2n-2??n-1? an n -n+33 33 =n2-n, n=n2-n+33, n = ∴a ∴ =n+ n -1≥2 33 2 n

33 -1,当且仅当 n= n ,即 n= 33时取等号,而 n∈N*,∴“=”取不到.∵5 an 33 53 an 33 63 < 33<6,∴当 n=5 时, n =5-1+ 5 = 5 ,当 n=6 时, n =6-1+ 6 = 6 = 21 53 21 an 21 2 .∵ 5 > 2 ,∴ n 的最小值是 2 . 16.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 答案 解析 (1)2 项 (2)n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2

(1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列有两项是负数. 5 9 5 (2)∵an=n2-5n+4=(n-2)2-4的对称轴方程为 n=2,又 n∈N*,∴n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. 1 17.已知数列{an}中,an=1+ (n∈N+,a∈R,且 a≠0). a+2?n-1? (1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围. 答案 解析 (1)最大项为 a5=2,最小项为 a4=0 (2)-10<a<-8 (1)∵an=1+ 1 (n∈N+,a∈R,且 a≠0), a+2?n-1?

1 ∵a=-7,∴an=1+ . 2n-9 结合函数 f(x)=1+ 1 的单调性. 2x-9

可知 1>a1>a2>a3>a4; a5>a6>a7>?>an>1(n∈N+). ∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0. 1 (2)an=1+ =1+ a+2?n-1? 1 2 . 2-a n- 2

∵对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立, 1 2 并结合函数 f(x)=1+ 的单调性, 2-a x- 2 2-a ∴5< 2 <6,∴-10<a<-8. 18.已知数列{an}满足 a1=1,an>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意 n∈
2 N*,有 2Sn=p(2an+an-1)(p 为常数).

(1)求 p 和 a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 答案 解析 3 1 (1)a2=2,a3=2 (2)an=2(n+1)
2 (1)令 n=1 得 2S1=p(2a1+a1-1).又 a1=S1=1,得 p=1;

2 令 n=2,得 2S2=2a2+a2-1.又 S2=1+a2,

3 3 得 2a2-a2-3=0,a2=2或 a2=-1(舍去),∴a2=2; 2 5 2 令 n=3,得 2S3=2a3+a3-1.又 S3=2+a3, 3 得 2a2-a3-6=0,a3=2 或 a3=-2(舍去),∴a3=2. 3
2 (2)由 2Sn=2a2+an-1,得 2Sn-1=2an-1+an-1-1(n≥2),两式相减,得 2an n 2 =2(an-a2-1)+an-an-1, n

即(an+an-1)(2an-2an-1-1)=0.

1 ∵an>0,∴2an-2an-1-1=0,即 an-an-1=2(n≥2). 1 1 故{an}是首项为 1,公差为2的等差数列,得 an=2(n+1).

1.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2 等于________. 答案 解析 4 当 n=1 时,由 S1=a1=2(a1-1),得 a1=2;当 n=2 时,由 a1+a2

=2(a2-1),得 a2=4. 2.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规 律第 n 个图案中需用黑色瓷砖________块.(用含 n 的代数式表示)

答案 解析

4n+8 第(1)、(2)、(3)?个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;

35-15=20;?由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8. 3. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1=2, a 且对于任意大于 1 的整数 n, 点( Sn, Sn-1)在直线 x-y- 2=0 上,则数列{an}的通项公式为__________. 答案 an=4n-2

n+2 4.(2012· 全国大纲)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= 3 an. (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 解析 4 (1)由 S2=3a2,得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3;

5 3 由 S3=3a3,得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3=2(a1+a2)=6. (2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,有 an=Sn-Sn-1= 3 an- 3 an-1,

n+1 整理得 an= a . n-1 n-1 3 4 于是 a1=1,a2=1a1,a3=2a2,?, n+1 n an-1= an-2,an= a . n-2 n-1 n-1 n?n+1? 将以上 n 个等式两端分别相乘,整理得 an= 2 . n?n+1? 综上,{an}的通项公式 an= 2 .


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