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空间图形的公理4


4.2 空间图形的公理(公理4、定理)

1.公理4的内容是什么?其实质是什么?
问题 引航 2.定理的内容是什么?有什么作用? 3.异面直线所成的角的定义是什么?求角的方法是 什么?

1.公理4

同一条直线 的两条直线平行. (1)内容:平行于___________
(2)符号表述:

/>a ∥b ? a∥c ? ?_____. b ∥c ?

2.两条直线的位置关系 没有公共点 m∥n 在同一平面内有且只有一个 m∩n=A 不共面 的两条直线,没有公共点. (2)异面直线:特征:_______

3.定理

平行 条件:空间中,两个角的两条边分别对应_____.
相等或互补 结论:这两个角___________.

4.异面直线所成的角 前提 两条异面直线a,b 过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的 平行线l1,l2 锐角(或直角) 即为 这两条相交直线所成的_____________ 异面直线a,b所成的角

定义

作法

结论 范围 特殊 情况

0°<θ ≤90° 记异面直线a与b所成的角为θ ,则_____________
90° 时,a与b互相垂直,记作_____ a⊥b 当θ =_____

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中不相交的两条直线是异面直线.( (2)两条异面直线所成的角一定是锐角.( ) )

(3)若两条相交直线和另外两条直线分别平行,则相交直线所 成的锐角或直角相等.( )

【解析】(1)错误.空间中不相交的两条直线是异面直线或平行 直线. (2)错误.两条异面直线所成的角一定是锐角或直角. (3)正确.根据定理可知. 答案:(1)× (2)× (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若a∥b,b∥c,则a和c的关系为________. (2)若a,b,c是空间三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位 置关系是________. (3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一 条________.

【解析】(1)若a∥b,b∥c,则由公理4可知a∥c.

答案:a∥c
(2)a∥b,又a与c相交,则b与c的关系可能为相交或异面.

答案:相交或异面
(3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一

条相交或异面.
答案:相交或异面

【要点探究】 知识点1 公理4及定理

对定理的四点认识 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中 一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补. (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向 都相反,那么这两个角相等.

(3)定理的逆向说法:“如果空间中的两个角相等或互补,那 么这两个角的两边分别对应平行”,显然是不成立的,这两个 角的两边可能平行,相交或异面. (4)此定理一般称为等角定理.

【微思考】 (1)定理的作用是什么? 提示:此定理的主要作用是说明两个角相等或互补. (2)公理4的实质是什么? 提示:公理4揭示了空间平行线的传递性.

【即时练】 若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么 这两个三角形( A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.全等或相似 【解析】选D.由定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等, 所以选D. )

知识点2

异面直线的定义及所成的角

1.对异面直线所成角的两点说明 (1)两条异面直线所成的角,是借用平面几何中的角的概念定 义的,是研究空间两条直线位置关系的基础. (2)定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一 性,即过空间任一点,引两条直线分别平行于两条异面直线, 它们所成的锐角(或直角)都是相等的,而与所取点的位置无关.

2.求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a与b所成角的大小与点P无关,为了简便,点P常取在两条 异面直线中的一条上,例如,取在直线b上,然后过点P作直线 a′∥a,a′与b所成的角即为异面直线a与b所成的角.特别地, 可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线 的线段的端点或中点.

(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角, 实现了空间问题向平面问题的转化,使平面几何与立体几何建 立了联系,促进了知识的渗透. (3)两条直线的垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.

【知识拓展】对异面直线的三点说明

(1)若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使
其同时经过a,b两条直线. (2)异面直线和平行直线都没有公共点;区别是平行直线可以 确定一个平面,而异面直线不同在任何一个平面内.

(3)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为 异面直线.如图,虽然有a α,b β,即a,b分别在两个

不同的平面内,但是由于a∩b=O,所以a与b不是异面直线.

(4)异面直线的画法 ①一个平面衬托画法(如图1)

图1 ②两个平面衬托画法(如图2)

图2

【微思考】 求两条异面直线所成角的关键是什么? 提示:求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的 角.

【即时练】 1.(2014·杭州高二检测)如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面 直线AA1与BC所成的角是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

2.正方体ABCD

A′B′C′D′中,E,F分别为平面

A′B′C′D′与AA′D′D的中心,则EF与CD所成角的度数是
________.

【解析】1.选D.由于AD∥BC,所以AA1与AD所成的角即为异面 直线AA1与BC所成的角,由于AA1与AD所成的角为90°,故异面 直线AA1与BC所成的角为90°. 2.连接B′D′, 则E为B′D′的中点,连接AB′, 则EF∥AB′,又CD∥AB, 所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B′AB=45°. 答案:45°

【题型示范】 类型一 公理4的应用

【典例1】 (1)(2014·佛山高二检测)如图,空间四边形ABCD的对角线AC, BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是

(

)
B.正方形

A.矩形

C.菱形

D.空间四边形

(2)如图,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,C1C的中点, 求证:四边形B1EDF是平行四边形.

【解题探究】1.题(1)中E,F,G,H为中点,其作用是什么? 对角线AC,BD相等的作用是什么?

2.题(2)中四边形B1EDF的四个顶点有何特点,怎样说明B1EDF
为平行四边形?

【探究提示】1.利用E,F,G,H分别为各边的中点,可得该四
边形为平行四边形,结合AC,BD相等可进一步判断EFGH的形状.

2.四个顶点中有两个为长方体的顶点,有两个为棱的中点,可
借助中点作一辅助线,说明一组对边平行且相等.

【自主解答】(1)选C.由E,F,G,H分别为各边的中点得 EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD. EF=GH= 1 AC,
2 EH=FG= 1 BD. 2

所以四边形EFGH是平行四边形.

因为AC=BD,所以EF=EH.
所以四边形EFGH是菱形.

(2)取DD1的中点Q,连接EQ,QC1.

因为E是AA1的中点,所以EQ
又在矩形A1B1C1D1中,A1D1

A 1D 1.
B 1C 1,

所以EQ

B 1C 1,

所以四边形EQC1B1为平行四边形,

所以B1E

C1Q.

又因为Q,F是矩形DD1C1C的两边中点, 所以QD C 1F ,

所以四边形DQC1F为平行四边形, 所以C1Q DF,又因为B1E C1Q,所以B1E DF,

所以四边形B1EDF是平行四边形.

【延伸探究】将本例(1)中“AC与BD相等”改为AC与BD垂直,

则EFGH的形状为________.
【解析】由E,F,G,H分别为各边的中点,

得EF
所以EF

1 AC,GH 2

1 AC, 2

GH,即四边形EFGH是平行四边形,

又AC⊥BD,所以FG⊥HG,即EFGH为矩形.
答案:矩形

【方法技巧】公理4的作用及应用的关键 (1)作用:公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法,它

是论证平行问题的主要依据,也是研究空间两直线的位臵关系、
直线与平面位臵关系的基础.

(2)应用的关键:寻找与所证直线平行的“中间直线”,利用
平行的传递性即可证得.

【变式训练】如图所示,在空间四边形ABCD中,M,N,P,Q分 别是四边形边上的点,且满足 AM ? CN ? AQ ? CP ? k.
MB NB QD PD

求证:M,N,P,Q四点共面且MNPQ为平行四边形.

【解题指南】应用公理4证明. 【证明】因为 AM ? AQ ? k,
MB QD AM k 所以MQ∥BD且 ? . AM ? MB k ? 1 所以 MQ ? AM ? k , BD AB k ? 1 即 MQ ? k BD. k ?1 又 CN ? CP ? k, NB PD 所以PN∥BD且 CN ? k . CN ? NB k ? 1

NP CN k ? ? , BD CB k ? 1 即 NP ? k BD. k ?1

所以

所以MQ∥NP且MQ=NP. 所以M,N,P,Q四点共面且MNPQ为平行四边形.

【补偿训练】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分 别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.

【证明】连接AC,在△ACD中, 因为M,N分别是CD,AD的中点, 所以MN是三角形的中位线,所以MN∥AC,MN= 由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1.
1 AC. 2

所以MN∥A1C1,且MN= 1 A1C1,
2

即MN≠A1C1,所以四边形MNA1C1是梯形.

类型二

等角定理的应用

【典例2】 (1)(2014·南通高二检测)已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC= 30°,则∠PQR等于________. (2)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD, AB,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠EA1F=∠E1CF1.

【解题探究】1.题(1)中的两组平行关系的实质是什么? ∠ABC=30°的作用是什么? 2.题(2)中A1F与F1C及EF与E1F1有何关系,证明∠EA1F=∠E1CF1 的方法是什么?

【探究提示】1.两组平行关系的实质是两个角的两边分别平行,
由∠ABC=30°结合等角定理可求∠PQR.

2.A1F与F1C及EF与E1F1分别平行.证明∠EA1F=∠E1CF1可考虑利
用等角定理证明.

【自主解答】(1)由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据

定理知,如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或
互补,所以∠PQR=30°或150°.

答案:30°或150°
(2)如图所示,在正方体AC1中,

取A1B1的中点M,连接BM,MF1,
则BF=A1M= 1 AB.又BF∥A1M,
2

所以四边形A1FBM为平行四边形.
所以A1F∥BM.

而F1,M分别为C1D1,A1B1的中点, 则 F 1M 而 C 1B 1 C 1B 1, BC,所以F1M∥BC,且F1M=BC.

所以四边形F1MBC为平行四边形, 所以BM∥F1C.又BM∥A1F, 所以A1F∥CF1. 同理取A1D1的中点N, 连接DN,E1N,则A1N DE,

所以四边形A1NDE为平行四边形,

所以A1E∥DN.
又E1N∥CD,且E1N=CD,

所以四边形E1NDC为平行四边形,
所以DN∥CE1,

所以A1E∥CE1.
所以∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行.

即A1E∥CE1,A1F∥CF1,
又∠EA1F与∠E1CF1对应边方向相同, 所以∠EA1F=∠E1CF1.

【方法技巧】证明角相等的技巧
(1)利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中,

利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等.
(2)在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似

来证明角相等,可考虑两个角的两边,可利用定理证明这两个
角的两边分别对应平行且角的方向相同或相反,从而达到目的.

【变式训练】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,M,N分别 为AB,AD,BC,AC,BD的中点.求证: (1)∠EFM=∠BDC. (2)∠EFM+∠DNG=180°.

【证明】(1)因为E,F分别是AB,AD的中点. 所以EF∥BD,同理FM∥CD. 因为∠EFM和∠BDC的两边分别平行且方向相同, 所以∠EFM=∠BDC. (2)因为NG∥CD,FM∥CD. 所以NG∥FM. 所以∠EFM和∠DNG的两边分别平行,其中NG,FM方向相同,而 FE与ND方向相反. 所以∠EFM+∠DNG=180°.

【补偿训练】已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.

【证明】

如图所示,连接EE1,
因为E1,E分别为A1D1,AD的中点,

所以A1E1

AE.

所以四边形A1E1EA为平行四边形,

所以A1A
又因为A1A 所以E1E

E1E.
B 1B , B 1B ,

所以四边形E1EBB1是平行四边形, 所以E1B1∥EB. 同理E1C1∥EC, 又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同, 所以∠BEC=∠B1E1C1.

【规范解答】求异面直线所成的角 【典例】(12分)(2014·亳州高一检测)已知三棱锥A-BCD中, AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点, 求直线AB与MN所成的角.

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升 失分点1:解题时未正确利用条件,即忽视①处的线段之间的 长度关系和位臵关系,而导致无法找到AB与MN所成的角,考试 时最多得2分. 失分点2:解题时若漏掉②处的补角,则会导致漏掉一种情况, 使本例的解答不完整,在实际考试中至少失4~5分.

失分点3:解题时若忽视线段之间的数量关系则导致③处的三 角形形状无法判断,从而不能得出AB与MN所成角的大小在实际 考试中最多得6分. 失分点4:解题时若忽视④处的总结,则导致解析不完整,考 试时一般失2分.

【悟题】提措施,导方向

1.注重分类讨论的意识
在求解与异面直线所成角的问题时要考虑由于角的范围的限制

是否需要分类讨论,如本例中∠MPN不确定,需对它分类讨论.
2.解题步骤要规范

做解答题时一定要注意步骤规范,做到逻辑条理,语言简洁,
步骤清晰、完整,如本例中很容易漏掉最后的总结.

【类题试解】如图,四棱锥P-ABCD中,底面是正方形,中心为 O,且底面边长和侧棱相等,M是PC中点,求MO与AB所成的角.

【解析】如图,取BC的中点N,连接ON,MN,AC. 因为四边形ABCD是正方形,中心为O,所以O为AC的中点. 因为ON是△ABC的中位线,所以ON∥AB, 所以∠MON(或其补角)是异面直线MO与AB所成的角. 设该四棱锥的底面边长和侧棱都是2a, 因为MN是△PBC的中位线,所以MN∥PB,MN= PB=a.
1 2

1 因为OM是△APC的中位线,所以OM= 1 PA=a,又因为ON= AB=a. 2 2

所以△OMN是等边三角形,所以∠MON=60°,所以异面直线MO 与AB所成的角的大小为60°.


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