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数列的概念与简单表示法


第二章

数列

2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时) 一、学习目标
1.知道数列,数列的项、通项的概念。搞清数列的通项公式的意义,会用通项公式写出数列的任意一项。 2.对于比较简单的数列,会根据前几项猜想写出它的一个通项公式,初步具有猜想法解题的体验。

二、学习过程
(一)预习案 1.温故知

新 已知函数 f ? n ? ? 2n ? 1 , n ? N 。
*

(1)写出函数 y ? f ? n? 的值域; (3)描出函数 y ? f ? n? 的图象;

(2)用列表法表示函数 y ? f ? n? ;

(4)写出函数 y ? f ? n? ,当自变量 n 按从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值 2.新知导学

.

(1)探究导入:①如图(1),根据三角形点阵(由正方形构成) ,顺次写出前8个三角形数(每个三角形中正方形的 个数) : ; ,并指出其中的第 10 个正方形数

②如图(2) ,根据正方形点阵,顺次写出前8个正方形数: 为 .

(2)自主探究: (预习教材P28—29) 探究:①具有怎样特征的一列数称为数列? ②数列的一般形式可以写成 为该数列的第 项. ,简记为 .其中 a1 称为该数列的第 项,也称为 项, an 称

③观察下面数列的特点,并写出它的一个通项公式:

1?

1 1 1 1 1 , 1? 2 , 1? 3 , 1? 4 , 1? 5 , 10 10 10 10 10

④观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出它的一个通项公式:

( ) , 4, 9, ( ) , 25, ( ) , 49 , 3.预习自测 (1)写出全体非负偶数按由小到大的顺序构成的数列: (2)写出以 7 为首项,单调递减的所有奇数构成的数列: (3) 观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出它的一个通项公式: . .

1,

,2 2, ( )

, 7 5, ( )

(二)探究案 1.基础知识探究:阅读课本 P28-29,完成下列问题: 问题 1:数列 a1 ,a2 ,a3 ,

,an ,

中的所有项构成的集合与该数列有何关系?

问题 2:怎样的数列有通项公式?若某数列有通项公式,试问通项公式是否是唯一的? 问题 3:若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ? 1 ,试问数列数列 ?an ? bn ? 的 通项公式是怎样的?数列 ?an ? bn ? , ?an ? bn ? , ? 2.典型例题 例 1.(1)根据数列 ?an ? 的通项公式 an ? cos n? ,写出该数列的前 5 项. (2)根据数列 ?an ? 的通项公式填表:

? an ? ? 的通项公式分别又是怎样的? ? bn ?

n
an

1

2

5
153

n
3 ? 3 ? 4n?

变式训练 1 根据数列 ?an ? 的通项公式,写出该数列的前 5 项: (1) an ?

1 ; n2
n ?1

(2) an ? ? ?1?

?n

2

? 1? .

例 2.根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式. (1) ?1, 7 , ? 13 , 19, ? 25 , 31 ; (2) 1, 0 , 1, 0 , 1, 0 ; (3)

1 1 5 13 29 61 , , ? , , ? , . 2 4 8 16 32 64

(4) 0.9 , 0.99 , 0.999 , 0.9999 . 变式训练 2 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式.

(1) 1, ?

1 1 1 , ,? ; 2 3 4
2, 0 ;

(2) 2 , 0 , (3) ?

1 1 1 1 , ,? , ; 2?1 2? 2 2? 3 2? 4

(4) 0.8 , 0.88 , 0.888 , 0.8888 .

例 3. 已知数列 ?

? 9n2 ? 9n ? 2 ? ?。 2 ? 9n ? 1 ?

(1)求这个数列的第 10 项;

98 是不是这该数列中的项,为什么? 100 (3)求证:数列中的各项都在区间 ? 0, 1? 内;
(2) (4)在区间 ? ,

?1 2? ? 内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由。 ?3 3?

变式训练 3 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 1 ,那么 是这个数列的第 n ? n ? 2? 120

项。

三、总结提升
反思总结:1.与集合中的元素相比较,数列中的项也有三个性质:确定性、可重复性、有序性。 2.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式。

四、检测与反馈
1.选择题 (1)数列 2, 3, 4, 5, A. an ? n 的一个通项公式为 ( ) B. an ? n ? 1 C. an ? n ? 2
n ?1

D. an ? 2n

1 ? ? ?1? (2)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2
A. 1,0 ,1,0 B. 0 ,1,0 ,1

,则该数列的前 4 项依次为 ( )

C.

1 1 ,0 , ,0 2 2

D. 2 ,0 ,2 ,0

(3)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? n ? 50 ,则 ?8 是该数列的( ) A.第 5 项 (4)数列 1, 3, 6 , 10, A. an ? n2 ? n ? 1 B.第 6 项 的一个通项公式是 ( B. an ? C.第 7 项 ) C. an ? D.非任何一项

n ? n ? 1? 2

n ? n ? 1? 2

D. an ? n2 ? 1

(5)若数列的前 4 项为 1,0 ,1,0 ,则这个数列的通项公式不可能是 ( )

A. an ?

1? n ?1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2
n? 2

B . an ?

1 ?1 ? cos n? ? 2

2 C. an ? sin

D. an ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ?

1? n ?1 1 ? ? ?1? ? ? 2?

2.填空题 (6)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?

?3n ? 1 n 是正奇数 ,则它的前 4 项依次为 ?4n ? 1 n 是正偶数

.

(7)根据下面的图形及相应的点数,在空格和括号中分别填上适当的图形和点数,并写出点数构成的数列的一个 通项公式。

(8)用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式是 (9)数列 a, b, a, b, 3.解答题 (10)根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式: ① 0, 1, 0, 1 ; ② 的一个通项公式是 .

.

3 7 9 , 1, , . 2 10 17


(11)根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,若记第 n 个图中中的点共有 an 个,计算 a1 ?

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ?
试猜出 an ? an?1 ?

; ; ; .

并猜出第 n 个图中有多少个点?

2.1 数列的概念与简单表示法(第二课时)
一、学习目标
1.会辨别递增数列、递减数列、摆动数列,常数列、有穷数列与无穷数列; 2.明确递推公式与通项公式的区别,能依据数列的递推公式写出数列的前几项,能根据简单的数列递推公式求数 列的通项公式。 3.会用函数的观点研究数列的递推公式及其性质。

二、学习过程
(一)预习案 1.温故知新 利用函数的解析式,可研究函数的单调性、最值及周期性。数列可以看成是函数,因而,数列的通项公式可以看 成是函数的解析式,利用它也可研究数列的单调性、最大、最小项以及周期性。 如:(1) 若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1 ,则该数列的单调性怎样?有无最大项或最小项? (2)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 8n ? 1 ,则该数列的单调性怎样?有无最大项或最小项? (3)数列 1,0 ,1,0, 2.新知导学 (1)探究导入:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1 ( n ? 1 ) ,则 当 n ? 2 时, a2 ? 2a1 ? 1 ? 当 n ? 4 时, a4 ? ;同理可得:当 n ? 3 时, a3 ? ,进而可求得, a6 ? ; , a7 ? . 是周期数列,它的一个正周期是多少?

;当 n ? 5 时, a5 ?

(2)自主探究: (预习教材P28—31) 探究: ① 已 知 数 列

?an ?

满 足 a1 ? 1 ,

② 若 数 列 1, 3, 6 , 10, 15,

简记为

an n?1 (n ? 1) ,则 ? an ?1 n a a2 ? ; 3 ? a1 a2 a4 a ? ; 5 ? a3 a4
……

?an ? ,则
a1 ?
; ; ; ; ;

; ;

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? a5 ? a4 ?
……

an ? an ?1

(n ? 1) ;

将上述 n ? 1 个式子等号两边分别相乘, 可得: an ? (其中 n ? 1 ).

(n ? 1) ; an ? an?1 ? 将上述 n ? 1 个式子等号两边分别相加 ,可得: an ? (其中 n ? 1 ).

3.预习自测 (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?

?1? ? ?2?

n ?1

,则该数列的单调性怎样?有无最大项或最小项?

(2) 下列数列中,哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列?哪些是摆动数列?哪些是有穷数列?哪些 是无穷数列? ①无穷多个 2 构成的数列: 2,2,2, . 构成的数列: ?1,1, ?1,1, .

② ?1 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂, ③ 2 的精确到 1,0.1,0.01,0.001,

的不足近似值构成的数列: 1,1.4,1.41,1.414,

④已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且满足 an?1 ? an ? ?2 。 (3)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? ?1 , an? 2 ? an ,求 a2013 的值. (二)探究案 1.基础知识探究:阅读课本 P28-31,完成下列问题: 问题1:具有怎样特征的数列是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、有穷数列、无穷数列? 问题 2:数列的递推公式与通项公式有何异同? 问题 3:若记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ;当 n ? 1 时, Sn ? Sn?1 ? 2.典型例题 例 1.已知数列 1,5,10,16 ,23, .

? an ,则
? ? n ? 1? ? S1 . ? ? _______ ? n ? 1?

.于是可得 an ? ?

(1)写出该数列的一个递推公式; (2)利用上述递推公式,求该数列的一个通项公式。

变式训练 1 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?7 ,从第二项起,每一项都比它的前一项多 3。 (1)写出该数列的一个递推公式; (2)利用上述递推公式,求该数列的一个通项公式。

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: Sn ? 2an ? 1 .

(1)求 a1 ; (2)求 ?an ? 的通项公式 an ; (3)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

变式训练 2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: S n ? an ? ? n ? 1? .求 ?an ? 的通项公式 an .
2

例 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 请说明理由。

9 n ? n ? 1? 。试问数列 ?an ? 中有无最大项?若有,求出最大项,若没有, 10 n

变式训练 3 已知数列 ?an ? 满足: an ? an?1 ,且 an ? n2 ? ? n ,求实数 ? 的最小值。

三、总结提升
反思总结:1.数列 ?an ? 递增 ? an?1 ? an 对任意的 n 都成立;数列 ?an ? 递减 ? an?1 ? an 对任意的 n 都成 立. 2 .利用递推公式求数列通项公式的思路与步骤:①归项或归和;②若递推公式形若 an? 1 ? a n ? f ? n? 或

an ?1 ? f ? n ? ,则可一一列举(累加或累乘, )或迭代处理;否则,再写出一个等效的式子(两式相减或相除) an
求解。

四、检测与反馈
1.选择题

(1) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且 an ?1 ? A. 1 B.

1 1 an ? n ,则该数列的第 4 项是 ( 2 2

)

1 2

C.

3 4

D.

5 8
) D.不能确定

(2)已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 ( A.递增数列 (3) 数列 1, 3, 6 , 10, B.递减数列 的一个递推公式是 ( C.常数数列 )

A. an?1 ? an ? n , n ? N * C. an?1 ? an ? ? n ? 1? , n ? N , n ? 2
*

B. an ? an?1 ? n , n ? N , n ? 2
*

D. an ? an?1 ? ? n ? 1? , n ? N , n ? 2
*

(4)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对所有 n ? 2 ,都有 a1 ? a2 ? a3 A.

an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? (
D.

)

25 9

B.

25 16

C.

61 16

31 15

? 1? ? ?2an , ? 0 ? an ? 2 ? 6 ? ? ? (5)已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? ,则 a2013 ? ( 7 ?2a ? 1,? 1 ? a ? 1 ? n n ? ? ? ?2 ? ?
A.

)

6 7

B.

5 7

C.

3 7

D.

1 7

2.填空题 (6)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 3 ,当 n ? 2 时, 4Sn ? 6an ? an?1 ? 4Sn?1 ,则 an ? ________. (7)若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , 3.解答题 (8)已知数列 1,1,2,3,5,8,13,21, ,写出该数列的一个递推公式,并求满足 an ? 100 的 n 的最小值。

an ?1 n ? 2 ? ,则 an ? ________. an n

(9)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ①求证: an?3 ? an ; ②求 a2013 .

1 1 , an ? 1 ? ( n ? 2 ). an ?1 2

(10) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ?1 , an ?1 ? an ?

1 .求数列 ?an ? 的通项公式. n ? n ? 1?

(11) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 项与最小项。

n ? 98 ,试判断数列 ?an ? 的单调性,并求数列 ?an ? 的前 30 项中的最大 n ? 99


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