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2015秋高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(第1课时)课件 新人教A版必修1


2.1.1 指数与指数幂的运算
(第 一 课 时)

问题:
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定 的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半 ,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得 了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这 个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来 考虑这样 的问题: 当生物死亡了5730,2×5

730,3×5730,…年 后,它体内 碳14的含量P分别为原来的多少?

问题 1: 什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根? 一个数的平方根有几个,立方根呢?

2 3 若 x ? a ,则 x 叫做 a 的平方根.同理,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的立方根.

问题 2:如果 x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?

问题 3:①如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的平方根;②如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根;③如果 x4=a,那么 x 叫做 a 的 4 次方根 .你能否据此得到一个 一般性的结论?

一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.

问题 4:上述结论中的 n 的取值有没有什么限制呢?

方根的定义:
一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root) , 其中 n>1,且 n∈N*.

试根据 n 次方根的定义分别求出下列各数的 n 次方根: (1)25 的平方根是________; (2)27 的三次方根是________; (3)-32 的五次方根是________; (4)16 的四次方根是________; (5)a6 的三次方根是________; (6)0 的七次方根是________.

(1)±5; (2)3; (3)-2; (4)±2; (5) a 2 ; (6)0.

问题 5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?

1.以上各数的对应方根都是正整数; 2.第(1) 、第(4)的答案有两个,第(2) 、第(3) 、 第(5) 、第(6)的答案只有一个; 3.第(1) 、第(4)题的答案中的两个值互为相反数.

问题 6:请仔细分析问题 4 中各题,并结合问题 5 中 同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?

归纳:一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.
问题 7:是否任何一个数都有偶次方根?0 的 n 次方根如何规定更合理?
归纳:因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根; 0 的 n 次方等于 0,所以 0 的 n 次实数方根等于 0.

问题 8:同学们能否把所得到的结论再总结的具体一些呢?

方根性质:
(1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.这时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示. (2)当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以 合并写成± n a (a>0). 注:①负数没有偶次方根; ②0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0; ③当 a≥0 时, n a ≥0,所以类似 4 16 =±2 的写法是错误的. 另外,我们规定: 式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

问题 9:利用上面所学 n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1) ( 5); (2) 3 (?2) 3 ; (3) 4 ( ?2) 4 ; (4) (3 ? a) 2 (a>3)
2

解: ( 1) ( ( 3)
4

5 ) 2=5; ( 2)

3

(?2) 3 = - 2 ; (3 ? a) 2 = | 3 - a | = a - 3 .

( 4) (?2) 4 = | - 2 | = 2 ;

问题 10:上面的计算中涉及了哪几类问题?
(1) ( n a )n=a.例如, ( 3 27 )3=27, ( 5 ? 32 )5=-32.

?a, (2)当 n 是奇数时, a =a;当 n 是偶数时, a =|a|= ? ?? a,
n n n n

a ? 0, a ? 0.

例如, 3 (?2) 3 =

-2, 5 2 5 =2; 4 34 =3, (?3) 2 =|-3|=3.

例 1. 求下列各式的值: (1) ( 3 ? 8 )3; (3) 4 (3 ? π ) 4 ; (2) (?10) 2 ; (4) (a ? b) 2 (a>b).

解: (1) ( 3 ? 8 )3=-8; (3) 4 (3 ? π ) 4 =π -3;

(2) (?10) 2 =10; (4) (a ? b) 2 =|a-b|=a-b.

例 2. 化简下列各式: (1) 6 81 ; (4) 4 x 8 ; (2) 6 (?2) 2 ; (5) 6 a 2 b 4 .
(2) 6 (?2) 2 = 6 2 2 = 3 2 ; (4) 4 x 8 = 4 ( x 2 ) 4 =x2;

(3) 15 ? 32 ;

解: (1) 6 81 = 6 34 = 3 32 = 3 9 ; (3) 15 ? 32 =- 15 2 5 =- 3 2 ; (5) 6 a 2 b 4 = 6 (| a | ?b 2 ) 2 = 3 | a | ?b 2

课堂巩固:
1.若 x∈R,y∈R,下列各式中正确的是 A. 4 ( x ? y) 4 =x+y C. ( x ? 3) 2 + ( x ? 3) 2 =2x 2. B. 3 x 3 - 4 y 4 =x-y D. x ? 3 + 3 ? x =0

x?2 x?2 = 成立的条件是 x ?1 x ?1

A.

x?2 ≥0 x ?1

B.x≠1

C.x<1

D.x≥2

3.在① 4 (?4) 2 n ;② 4 (?4) 2n?1 ;③ 5 a 4 ;④ 4 a 5 (各式中 n∈N,a∈R)中,有意义的是 A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

4.当 8<x<10 时, ( x ? 8) 2 - ( x ? 10) 2 =________.

参考答案: 1.D 2.D 3.B 4.2x-18
1.若 xn=a(n>1,n∈N*) ,则 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根用符 号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根用符号± n a 表示,负数的偶次方根无意义. 式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0 的任何次方根都是 0. 3.(1) ( n a )n=a.

?a, (2)当 n 为奇数时, a =a;当 n 为偶数时, a =|a|= ? ?? a,
n n n n

a ? 0, a ? 0.

作业:

1.复习课本 P48?50 内容,熟悉巩固有关概念和性质; 2. 课本 P 59 习题 2.1A 组第 1 题.


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