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高2014级成都一诊模拟试题(数学)(文)


高 2014 级成都一诊模拟题

文科数学试题
第一部分(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.集合 M ? {x || x ? 3 |? 4}, N ? { x | x ? x ? 2 ? 0, x ? Z}, 则M ? N =
2

A. {x | ?1 ? x

? 1} 2.复数

B. {x | 2 ? x ? 7}

C.{2}

D.{0}

1? i 的虚部是 4 ? 3i 1 1 1 1 A. B. C. ? D.— i i 25 25 25 ?25 ? ? 3.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误的是 .. ? ? ? ? A. c ∥ b B. a ? b ? ? ? ? C.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k 2 ,使得 d ? k1b + k2c ? ? ? D.向量 c 与向量 a ? b 的夹角为 45?
4..下列有关命题的叙述错误的是( ) A.对于命题 p: ? x∈R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 p 为: ? x∈R,
2
?

开 始 T=0,i=1

x2 ? x ? 1 ? 0
B.命题“若 x -3x + 2 = 0,则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D. > 2”是“ x -3x + 2 > 0”的充分不必要条件 “x 5.执行如图的程序框图,则输出的 T 值等于 A.91 B. 55 C.54 D.30 6.某小区住户共 200 户,为调查小区居民的 7 月份用水量,用分层抽样 的方法抽取了 50 户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频 率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过 l5m3 的住户的户数为 A.10 B.50 C.60 D.140 7.要得到函数 y=3cos(2x 一
2 2 2

T=T+i2 i=i+1


i>5?


输出 T 结 束 缚

? )的图象,可以将函数 y ? 3sin 2 x 的图象 4 ? ? A.沿 x 轴向左平移 个单位 B.沿 x 向右平移 个单位 8 8 ? ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 D.沿 x 向右平移 个单位 4 4
·1·

8.有 3 个课外学习小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性 相同,则这两位同学参加同一个学习小组的概率为

1 2 3 C. D. 3 3 4 1 c b 9. 已知存在正数 a, b, c ,满足 ? ? 2, c ln b ? a ? c ln c ,则 ln 的取值范围是 e a a 1 A. [1, ??) B. [1, ? ln 2] C. (??, e ? 1] D. [1, e ? 1] 2
A. B. 10.若函数 y ? f ? x ? ,存在区间 ? m, n ? ,同时满足下列条件:① f ? x ? 在 ? m, n ? 内是单调的;②当

1 2

x ? ? m, n ? 时 , f ? x ?的值域也是 ? m, n ?,则称 ? m, n ? 是该 函 数 的 “ 和 谐 区 间 ”. 若 函 数
f ? x? ? a ?1 1 1 1 ? ? a ? 0 ? 有“和谐区间”,则函数 g ? x ? ? x3 ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 5 的极值点 a x 3 2

x1 , x2 满足
A. x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? C. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? ??, 0 ? B. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? 0,1? D. x1 ? ?1, ?? ? , x2 ? ?1, ?? ?

第二部分(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 y ? 1 ? log 3 x 的定义域为 12.设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) ?

5 2



13. cos ?

? ? 5? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ,且 ?? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? _ 2 12 3 12 ? ? ? ?



?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 14.若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 _ . x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ? ? ? ? ? 15.设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足对任意向量 a ? ( x1 , y1 ) ? V,

? ? ? ? ? ? b ? ( x2 , y2 ) ? V, 以及任意 ? ? R ,均有 f (?a ? (1 ? ? )b ) ? ?f (a ) ? (1 ? ? ) f (b ) .则称映射 f 具有
性质 P .现给出如下映射: ① f1 : V ? R, f1 (m) ? x ? y, m ? ( x, y ) ? V ; ② f 2 : V ? R, f 2 (m) ? x ? y, m ? ( x, y ) ? V ;
2

?

?

?

?

?

?

?

?

·2·

③ f 3 : V ? R, f 3 (m) ? x ? y ? 1, m ? ( x, y ) ? V

?

?

?

?

其中,具有性质 P 映射的序号为 .(写出所有具有性质 P 映射的序号). 三、解答题:共 6 小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an }中,已知a1 ? 2, a4 ? 16. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {an ? bn } 的通项公式及

前n项和Sn .

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3, x ? R.
2

(I)求函数 f(x)的周期和最小值 (II)在锐角△ABC 中,若 f ( A) ? 1, AB ? AC ?

??? ???? ?

2 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 有两个箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3,4. (I)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字 大谁获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (II)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不同则 乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由. 19. (本小题满分 12 分) 已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动,?MCN ?

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 3

B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . (Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;
(Ⅱ)若 c ?

3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 F ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的图像过原点, 3

函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图像交于不同的两点 A、 B. f ( x) ? F ?( x), g ( x) ? f ?( x), f (1) ? 0 , (I) y ? F ( x)在x ? ?1 处取得极大值 2,求函数 y ? F ( x) 的单调区间; (II)若使 g ( x) ? 0的x值满足x ? [? , ] ,求线段 AB 在 x 轴上的射影长的取值范围.
·3·

1 1 2 2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax,(a ? R) . (Ⅰ)判断函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 f ( x) ? 0 对于 x ? (0, ??) 上恒成立时,求的取值范围; (Ⅲ)若 k , n ? N ,且 1 ? k ? n .
*

证明:

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? ? ? (1 ? n ) . 1 2 k n e (1 ? )n (1 ? )n (1 ? )n (1 ? )n e ? 1 n n n n
高 2014 级成都一诊模拟题

文科数学试题
参考答案 一、选择题(每小题 5 分 共 50 分) DBCCB CABDB 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

(0,3]

12.

?

1 2

; 13. ?

2 2 3

14. [ ,11] ;

3 2

15.①③.

三、解答题:共 6 个题,共 75 分。 16.解: (Ⅰ)由

a4 ? q3 ? 8 得 a1
an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

q?2

???(2 分)



???(3 分)

(Ⅱ)

? b3 ? b 1? 2d ? a 3? 8 ? ?b5 ? b 1? 4d ? a 5? 32



?b1 ? ?16 ? ? d ? 12

???(6 分)



bn ? ?16 ? (n ? 1)12 ? 12n ? 28

???7 分

1 Sn ? (?16 ? 12n ? 28)n ? 6n2 ? 22n 2
anbn ? (12n ? 28) ? 2n
3 Sn ? ?1 6 1 2 ? ( ? 42? ?2 ? ? ? 2 n ? ? ? ) 8

(n 2

2 8 ) 2

·4·

2Sn ? ?16 ? 22 ? (?4) ? 23 ? ? ? (12n ? 40)2n ? (12n ? 28)2n?1
∴ ∴

Sn ? 2Sn ? ?16 ? 21 ? 12(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (12n ? 28)2n?1 ? Sn ? 12(21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1
∴ Sn ? (3n ? 10)2
n ?3

????(10 分)

2(1 ? 2n ) = 12 ? 56 ? (12n ? 28)2n?1 1? 2

? 80

??(12 分)

17.解: f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? (Ⅰ) 即x??

?
3

) ?(2 分)

T?

2? ? ? ? ? ?(3 分) 2 x ? ? ? ? 2k? 2 3 2
k∈Z 时 ?(4 分)

5 x ? 2k? 12

f ( x)min ? ?2
(Ⅱ) ∴ 由

??(5 分)

f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 3

?



0? A??
??? ? ????

得 ∴ A?

?
4

? 1 2sin(2 A ? ) ? 3 2

???(6 分)

???(8 分) ∴ | AB | ? | AC |? 2 ??(10 分)

而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?COSA ?

??? ???? ?

2



S?ABC ?

1 2 | AB | ? | AC | sin A ? 2 2

???(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构成的基本 事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有 16 个 ------------------------------------------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3)共有 6 个, ---------------5 分[来源:学+科+K P( A) ? 即甲获胜的概率为

6 3 ? 16 8

3 ----------6 分 8 (2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)共有 4 个, --------------------------------------------8 分 4 1 4 3 则 P ( B) ? ? , P(C ) ? 1 ? ? , -----------10 分 16 4 16 4 -----------12 分 P( B) ? P(C ) ,∴ 不公平
19. 解: (Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2, ? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 .??????????????1 分
·5·

又? ?MCN ?
2

2 2 2 2 1 ? , cos C ? ? ,? a ? b ? c ? ? 1 , 3 2 2ab 2

??????4 分

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2

??

1 , 恒等变形得 c 2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 又? c ? 4 , 2
?????????6 分

?c ? 7.

20.解: f ( x) ? ax ? 2bx ? c
2

g ( x) ? 2ax ? 2b 0

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0

c?2 b a ?

(Ⅰ) 由

F( 0 ? d ? )

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0 f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0

1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2 3
? a?3 ? ∴ ?b ? d ? 0 ? c ? ?3 ?


F ( x) ? x 3 ? 3x

???(3 分)

·6·

F ?( x) ? f ( x) ? 3x 2 ? 3

x ? (?1,1) F ?( x) ? 0

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ( x) 单减

???(4 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ) 由

???(5 分)

? y ? ax 2 ? 2bx ? c ? ? y ? 2ax ? 2b

消y 得

ax 2 ? (2a ? 2b) x ? 2b ? c ? 0

(a ? 0 )

2a ? 2b b ? ? 2 ? 2? ? x1 ? x2 ? ? a a ? ? x ? x ? 2b ? c ? 4 b ? 1 ? 1 2 a a ?

??(7 分)

∴ AB 在 x 轴上射影长 l ? ∴

( x1 ? x2 ) 2

b b l 2 ? (2 ? 2 )2 ? 4(4 ) ? 1 a a b 2 b b ? 4( ) ? 8( ) ? 8 ? 4( ? 1)2 ? 4 a a a b 1 1 而 g ( x) ? 0 x ? ? [ ? , ] a 2 2 b 1 ∴ 时 lmax ? 13 ??(11 分) ?? a 2 b 1 lm i ? 5 ??(12 分) 时 ? n a 2
∴ 21.解:

??(9 分)

5 ? l ? 13

??(13 分)

(2) ln x ? ax 对于 (0, ??) 上恒成立 ? f ( x) max ? 0
·7·

由(1)知: a ? 0 时,舍去.

1 1 1 (8 ? 1 ? 0 ? a ? ,故 a 的取值 范围是 ( , ??) 。 分) a e e 1 (3)由(2)知: a ? 1 时, f ( x)max ? ln ? 1 ? ?1 ,有 ln x ? x ? ?1 ,有: ln x ? x ? 1 a
当 a ? 0 时 , f ( x) max ? ln 令 x ? 1?

k ? k? k ? k? ,代入上式 ? ln ? 1 ? ? ? ? n ln ?1 ? ? ? k ? [来源:学|科|网 Z|X|X|K] n ? n? n ? n?
n

k ? k? ln ?1 ? ? ? k ? (1 ? )n ? ek . n ? n?
所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? n ) .(14 分) ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 2 ? ??? ? n ? 1 2 k n e e ?1 e (1 ? )n (1 ? )n (1 ? ) n (1 ? ) n e e n n n n

·8·


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