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1.4.3 正切函数的图象与性质 问题提出 1. 正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的? 2. 正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容?这些性质是怎样得到的? 3. 三角函数包括正、余弦函数和正切函 数,我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质, 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然. 知识探究(一):正切函数的性质 思考1:正切函数的定义

域是什么?用区 间如何表示? ? ? (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ? 思考2:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数是周期函数吗?其最小正周期为 多少? 正切函数是周期函数,周期是π. ) 思考3 :函数 y ? tan(2 x ? 的周期为多少? 8 y ? tan(? x ? ? )(? ? 0) 一般地,函数 ? 的周期是什么? 思考4:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数具有奇偶性吗? 正切函数是奇函数 思考5:观察下图中的正切线,当角x ? ? 在 ( ? 2 , 2 ) 内增加时,正切函数值发生 什么变化?由此反映出一个什么性质? y T2 O O T1 A x 思考 6 :结合正切函数的周期性,正切 函数的单调性如何? ? ? 正切函数在开区间 (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ? 都是增函数 思考7:正切函数在整个定义域内是增函 数吗?正切函数会不会在某一区间内是 减函数? 思考8:当x大于 且无限接近 时,正 ? 切值如何变化?当x小于 2 且无限接近 ? 2 时 , 正切值又如何变化?由此分析, 正切函数的值域是什么? y T2 ? ? 2 ? ? 2 O O T1 A x 正切函数的值域是R. 知识探究(一):正切函数的图象 思考1:类比正弦函数图象的作法,可以 ? ? 利用正切线作正切函数在区间 (? 2 , 2 ) 的图象,具体应如何操作? y ? ? 2 O ? 2 x 思考2:上图中,直线 切函数的图象的位置关系如何?图象的 凸向有什么特点? p p x = 和 x = - 与正 2 2 思考 3:结合正切函数的周期性, 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象? y ?? ? 2 ?? ? ? 2 O ? 2 ? ?? 2 x 思考4:正切函数在整个定义域内的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数, 所以正切曲线关于原点对称,此外,正 切曲线是否还关于其它的点和直线对称? 正切曲线关于点 ( kp , 0) 2 对称. 思考5:根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质?一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少? 理论迁移 例 1 求函数 周期和单调区间. ? ? y ? tan( x ? ) 2 ? 的定义域、 例2 试比较tan8 和tan( 大小. 28? ? ? )的 例3 若 ?1 ? tan x ? 3,求x 的取值范 围. 小结作业 1. 正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 kp 关于点 ( 2 , 0) 对称 , 正切函数的性质应 结合图象去理解和记忆. 2. 正切曲线与 x 轴的交点及渐近线 , 是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线. 3.研究正切函数问题时,一般先考察 ? ? (? , )的情形, 2 2 再拓展到整个定义域. 作业:P45练习:2,3,4,6

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