当前位置:首页 >> 数学 >>

上课用高中数学选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介


复习
1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?

1、半径为a,圆心坐标为

(a,0)(a>0)的圆的 极坐标方程 ?=2a cos ? ...........(1) 2、以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标 方程

? ? r.........(2)

3.半径为a的圆的圆心坐标为 C ? a,?1 ? a>0)的 圆的方程

4、以 ? ?1 ,?1为圆心,r为半径的圆的极坐标方 ? 程 2 2 2

? ? 2a cos(? ? ?1 )........(3)

? ? 2 ??1 cos(? ? ?1 ) ? ? ?1 ? r ? ? 0........(4)

练习1求过点A (a,?/2)(a>0),且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系, 设点 M ( ? , ? ) 为直线L上除点

A
o

A外的任意一点,连接OM
在 Rt ?MOA 中有

? ﹚?

M x

IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ? sin ? =a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

练习2、求过点A(2,0)(a>0),且垂直于极轴的 直线L的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) M 为直线L上除点A外的任意一点, 2 连接OM 在 Rt ?MOA 中有 ﹚? OM cos ?MOA ? OA o A x 即

? cos? ? 2

可以验证,点A的坐标也满足上式。

课堂练习2 设点A的极坐标为 ( a , 0) ,直线 l 过点 A且与极轴所成的角为? ,求直线l 的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) 为直线 l 上异于A点的任意一点,连接OM, 在 ?MOA 中,由正弦定理 得 M


? a ? ? ﹚ ﹚? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) o A

?

x

化简得

? sin(? ? ? ) ? a sin?

显然A点也满足上方程

例3:设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ),直线 l 过点P且 与极轴所成的角为 ? ,求直线 l 的极坐标方程。 解:如图,设点 ( ? , ? )为直线上除点P外 M 的任意一点,连接OM,则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1 设直线L与极轴交于点A。则在?MOP 中 ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 ) M ? 由正弦定理得 OM ? OP ?1 P sin ?OPM sin ?OMP ?1 ? ? ? 即 ﹚?1 ﹚ sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? ) o x A ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。

练习3 求过点P(4,?/3)且与极轴夹角为?/6的直线 l 的 方程。

? sin(? ? ) ? 2
6

?

直线的几种极坐标方程 1、过极点

l

? ? ? 0( ? ? R)

o ﹚
?

?

M A M x

2、过某个定点垂直于极轴

? cos? ? a

o

﹚? A

3、过某个定点平行于极轴 o x ? sin ? =a 4、过某个定点 ( ?1 ,?1 ) ,且与极轴成的角度a M ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) ?
?1

? ﹚?

o

? ﹚1

P ? ﹚ x A

空间直角坐标系下一点的坐标表示:
z
P P(x , y , z)

o y x Q (x,y)

柱坐标系与球坐标系

1.柱坐标系

思考:在一个圆形体育场内,如 何确定看台上某个座位的位置?

探究(一):柱坐标系

思考1:有一个圆形体育场,自正东方向 起,按逆时针方向等分为十二个扇形区 域,顺次记为一区,二区……十二区, 那么每个座位票是如何设定的? 第几区,第几排,第几座.

思考2:设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m,前后相邻两排的间距都 为1m,每层看台的高度为0.6m,那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m?从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少?位置A距地面的 高度为多少m?
17? 302m, ,1.8m 12

思考3:根据坐标思想,可以用数组 17? (302, ,1.8)表示点A的准确位置,那
12

么这个空间坐标系是如何建立的?
z

在水平面内建立极坐标系Ox, 过极点O作水平面的垂线 Oz.

O

x

柱坐标系

建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z) 是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为 Q,Q点的极坐标为(ρ,θ ),则P的位置可用 有序数组(ρ,θ, z)表示, (ρ,θ, z)叫做点P的 z 柱坐标. P(ρ,θ, z)z) P(x , y ,

o x θ

y Q (ρ,θ)

柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标

? x=ρcosθ ? ? y=ρsinθ ? z=z ?

柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标

?? ? x ? y ? y ? ? tan ? ? ??( x ? 0) x ? ?z ? z ?
2 2 2

练习

1.设P点的柱坐标为 (2, , 7) , 6 求它的直角坐标.

?

( 3,1, 7)
2.设M点的直角坐标为 (?1, ? 3,3) 求它的柱坐标.

4? (2, , 3) 3

思考:

点P的柱坐标为(ρ,θ, z),
圆柱面 (1)当ρ为常数时,点P的轨迹是____ 半平面 (2)当θ为常数时,点P的轨迹是___

(3)当z为常数时,
平面 点P的轨迹是_____

z

P(ρ,θ, z)

o x θ
Q

y (ρ,θ)

小结
1.柱坐标系学习目标:

(1)理解柱坐标三个分量的几何意义;
(2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.

2.柱坐标与空间直角坐标的互化

(1)柱坐标转化为直角坐标

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ?z ? z ?
?? ? x ? y ? y ? ? tan ? ? x ? ?z ? z ?
2 2 2

(2)直角坐标转化为柱坐标

2.球坐标系

思考:

?某市的经纬度:

北纬42°,东经119°.

地球的纬度

地球的纬度与经度:

球坐标系

建立空间直角坐标系Oxyz.设 P(x,y,z)是空间任意一点,记 |OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j. 点P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按 逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小 正角为θ.则P的位置可用有序数组(r, j?,?)表示, (r, j ,?)叫做点P的球坐标.

球坐标系

z

P(r, j ,?) P

j
P(r, j ,?)

r
o θ x Q

y

r?0
0 ?j ??
0 ? ? ? 2?

将球坐标转化为直角坐标:

z
P(r, j ,?)

? x ? r sin j cos ? ? ? y ? r sin j sin ? ? z ? r cos j ?
r?0 0 ?j ??
0 ? ? ? 2?
x

j r
o θ Q

y

练习

3? 3? , ), 1.设Q点的球坐标为 (2, 4 4

求它的直角坐标.

(?1,1, ? 2)

练习

2.设M点的直角坐标为 (?1, ?1, 2), 那么它的球坐标是

A.(2,

? ?
4 4 ,

)

B.(2,

? 5?
4 , 4

)

5? ? C.(2, , ) 4 4

3? ? D.(2, , ) 4 4

思考:

点P的球坐标为(r, j ,?) ,
(1)当r为常数时,点P的轨迹是____ (2)当
圆锥面或平面 j为常数时,点P的轨迹是____ 球面

(3)当?为常数时,
半平面 点P的轨迹是___

z

P(r, j ,?)

j r
o θ
x Q

y

小结
1.球坐标系学习目标:

(1)理解球坐标三个分量的几何意义;
(2)能够将球坐标转化为直角坐标. 2.将球坐标转化为直角坐标:

? x ? r sin j cos ? ? ? y ? r sin j sin ? ? z ? r cos j ?

小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)求曲线的极坐标方程的步骤 (3)会求圆的极坐标方程 (3)会求直线的极坐标方程


相关文章:
四.柱坐标系与球坐标系的简介
四.柱坐标系与球坐标系的简介_数学_高中教育_教育专区。四、 柱坐标系与球...上课用高中数学选修4-4 ... 36页 5下载券 柱坐标系与球坐标系简介 24页...
四、柱坐标系与球坐标系
四、柱坐标系与球坐标系_数学_高中教育_教育专区。高二选修 4-4 数学导学案 编制: 班级: 小组: 姓名: 等级: 四、柱坐标系与球坐标系简介【学习目标】 1....
2015-2016学年高中数学 1.4柱坐标系与球坐标系简介练习 新人教A版选修4-4
2015-2016学年高中数学 1.4柱坐标系与球坐标系简介练习 新人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。1.4 ?预习梳理 1.柱坐标系. 柱坐标系与球坐标系简介 建立...
人教A选修4-4_柱坐标系与球坐标系简介
高二数学选修 高二数学选修 4-4 柱坐标系与球坐标系简介重点:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互 化. ...
7、柱坐标系与球坐标系简介
7、柱坐标系与球坐标系简介_数学_高中教育_教育专区。柱坐标系与球坐标系简介...参数方程和普通方程的互化高二文科数学选修 4-4 学案编号:09 编写人:沈娟梅 ...
§1.4柱坐标系与球坐标系简介
2013 年 安图一中◆选修 4-4◆导学案 姓名: 第一讲平面直角坐标系 §1.4 柱坐标系与球坐标系简介学习目标 1、掌握直线的极坐标方程。 2、会求直线的极坐标方...
柱坐标系与球坐标系简介01
柱坐标系与球坐标系简介01_数学_高中教育_教育专区。1.在空间坐标系中的点 M...θ∈[0,π ], 4.把点 M 的直角坐标(﹣1,1,1)化为柱坐标是( ) A. ...
2015-2016学年高中数学 第一章 柱坐标系和球坐标系练习 北师大版选修4-4
2015-2016学年高中数学 第一章 柱坐标系和球坐标系练习 北师大版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。柱坐标系和球坐标系练 习 1 设点 M 的直角坐标为(-1,...
高二导学案柱坐标与球坐标
洛阳市东方高中高二文科数学※※※学习单选修 4-4 柱坐标系与球坐标系简介编制:高二数学___负责人:___ 【使用说明】: 1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单...
更多相关标签:
选修44平面直角坐标系 | 选修课上课感想 | 上课教师简介 | 选修课课程简介 | 平面直角坐标系 | 坐标系 | 在平面直角坐标系中 | 笛卡尔坐标系 |