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2016届湖北七市教研协作体高三4月联考数学(文)试题(解析版)


2016 届湖北七市教研协作体高三 4 月联考数学(文)试题
一、选择题 1.设全集为 R ,集合 A ? {x || x |? 2} , B ? {x | x ? ?1或x ? 4} ,则 A ? B ? ( A. (?1, 2) 【答案】B 【解析】 试题分析:A ? {x || x |? 2} ? {x | ?2 ? x ? 2} , ,所以 A ? B ? ?x

| ?2 ? x ? ?1? , 故选 B. 【考点】1.含绝对值不等式的解法;2.集合的运算.
2 2.已知命题 p : 2 ? 2 ,命题 q : ?x0 ? R ,使得 x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ,则下列命题是真命题



B. (?2, ?1]

C. (?2, ?1)

D. (?2, 2)

的是( A. ? p

) B. ? p ? q

C. p ? q

D. p ? q

【答案】D 【解析】试题分析:由题意可知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,所以 p ? q 为真 命题,其余皆为假命题,故选 D. 【考点】逻辑联结词与命题. 3.已知集合 A ? {?1, i} , i 为虚数单位,则下列选项正确的是( A. ? A 【答案】C 【解析】试题分析: )

1 i

B. i 4 ? A

C.

1? i ?A 1? i

D. | ?i |? A

1 ? ? i ? A , 所 以 选 项 A 错 ; i 4 ? 1? A , 所 以 选 项 B 错 ; i

2 1? i (1? i ) 2 i ? ? ? i ? A ,所以 C 正确; | ?i |? 1? A ,选项 D 错,故选 C. 1 ? i (1? i )(1 ?i ) 2

【考点】1.复数的运算;2.元素与集合的关系. 4.已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 3, y ? 2.7 ,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是( A. y ? ?0.2 x ? 3.3 C. y ? 2 x ? 3.2
^ ^ ^



B. y ? 0.4 x ? 1.5 D. y ? ?2 x ? 8.6
^

【答案】A 【解析】 试题分析: 因数变量 x 与 y 负相关,所以回归方程中的回归系数为负, 排除 B,C, 又样本平均数 x ? 3, y ? 2.7 适合 A,不适合 D,故选 A.. 【考点】线性回归. 5.若函数 f ( x ) 定义域为 R ,则“函数 f ( x ) 是奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要 第 1 页 共 15 页 )

【答案】B 【解析】 试题分析: 当函数 f ( x ) 的定义域为 R 时, “函数 f ( x ) 是奇函数” “ f (0) ? 0 ” ? 成立,而“ f (0) ? 0 ”时, 函数 f ( x ) 不一定是奇函数,所以“函数 f ( x ) 是奇函数” 是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件,故选 B. 【考点】1.函数的奇偶性;2.充分条件与必要条件. 6. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是(



A. 36? 【答案】A

B. 30?

C. 24?

D. 15?

【解析】试题分析:由三视图可知,该几何体是一个圆锥,底面直径为 8 ,母线长为 5 , 所以其表面积为 S ? 4 ? 4 ? ? ?

1 ? 8 ? ? ? 5 ? 36? ,故选 A. 2 2 1 ? ? m 恒成立,则 m 的最大值等于 a b

【考点】1.三视图;2.旋转体的表面积与体积. 7 .已知 a ? 0, b ? 0 且 2a ? b ? 1 ,若不等式 ( ) A.10 B.9 【答案】B 【解析】试题分析:

C.8

D.7

2 1 2 1 2b 2a 2b 2a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ? 9 ,当且 a b a b a b a b

2b 2a 1 2 1 2 1 ? , 即 a ? b ? 时等号成立, 所以 ? 的最小值为 9 , 又因为 ? ? m a b 3 a b a b 恒成立,所以 m ? 9 ,即 m 的最大值为 9 ,故选 B.
仅当 【考点】基本不等式. 【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用,中档题;就用基本不等式求最值时要保 证所用的两个数均为正数、和或积为定值、且两个数相等,才能取到最大值或最小值, 三者缺一不可,在求最值过程中,有时还需要配凑系数或进行适当变形,如本题中的变 形

2 1 2 1 2b 2a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 5 ? ? . a b a b a b

8.执行如图所示的程序框图,当输入的 x ?[1,13] 时,输出的结果不小于 95 的概率为 ( )

第 2 页 共 15 页

A.

1 3

B.

11 12

C.

2 3

D.

1 6

【答案】C 【解析】试题分析:由程序框图可知,当输入

x 时,输出结果为

f ( x) ? 24 x ? 23 ? 22 ? 2 ? 1 ? 16 x ? 15 ,所以当 x ?[1,13] , f ( x) ?[31, 223] ,所以输
出结果不小于 95 的概率 P ?

223 ? 95 128 2 ? ? ,故选 C. 223 ? 31 192 3

【考点】1.程序框图;2.几何概型. 9. 在我国古代著名的数学专著 《九章算术》 里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐, 齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七 里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢? A.12 日 B.16 日 C.8 日 D.9 日 【答案】D 【解析】试题分析:良马每日所行里数构成一等差数列,其通项公式为

an ? 1 0 3? 1 3 n( ? 1) ? n 13 ? ,驽马每日所行走里数也构成一等差数列,其通项公式 90
为 bn ? 97 ? 以

n(

1 1 195 (n ? 1) ? ? n ? ,二马相逢时所走路程之和为 2 ? 1250 ? 2250 ,所 2 2 2 n(a1 ? an ) n(b1 ? bn ) ? ? 2250 有 , 即 2 2 1 1 9 5 n( ? n ? 9 7 ) ? n ?1 02 3 1 3 9 2 ? 2250 ,解之得 n ? 9 ,故选 D. ? 2 2

0

【考点】1.等差数列及其求和;2.数列应用. 10.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a , b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ?

?
4

处取得

第 3 页 共 15 页

最大值,则函数 y ? f ( x ?

?
4

) 是(



A.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) 对称 2 3? , 0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 2
B.偶函数且它的图象关于点 ( D.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 【答案】B 【解析】试题分析:因为 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 在 x ? 最 大 值 ,
2 x ? k? s?

?
4

处取得 即 数





? ? 2 k? ?
(x 2 ?

?
4
2 2 ,

? (k


, Z) 以) 函

f (x ? a )2 ? b y ? f (x ?

?
4

? i a ? nb

?
4

s

i

?
4

) ? a 2 ? b 2 sin( x ?

?
2

) ? a 2 ? b 2 cos x ,故函数 y ? f ( x ?

?
4

) 是偶函

数,且关于点 (

3? , 0) 对称,故选 B. 2

【考点】三角函数的图象与性质.
2 11.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与双曲线 x ?

2

y2 ? 1 的一条渐近线平 3


行, 并交抛物线于 A, B 两点, 若 | AF |?| BF | , 且 | AF | ?2 , 则抛物线的方程为 ( A. y ? 2 x
2

B. y ? 3x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? x
2

【答案】A 【解析】试题分析:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的坐标为 (
2

p , 0) ,准线方程为 2

x??

y2 p 2 ? 1 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 3x , 由 于 过 抛 物 线 ,与双曲线 x ? 2 3 y2 ? 1的一条渐近线平行, 并交抛物线 3
3( x ? p ) ,设 2

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与双曲线 x 2 ?

于 A, B 两 点 , 且 | AF |?| BF | , 所 以 可 设 直 线 AB 方 程 为 : y ?

p p p p ) ,则 | AF |? x0 ? ? 2, x0 ? 2 ? ,由 x0 ? 可得 0 ? p ? 2 ,所 2 2 2 2 p 2 以 y0 ? 3(2 ? p) ,由 3(2 ? p ) ? 2 p (2 ? ) 得 p ? 1 或 p ? 3 (舍去) ,所以抛物线 2 A( x0 , y0 ) ( x0 ?
方程为 y ? 2 x ,故选 A.
2

【考点】1.直线与抛物线的位置关系;2.抛物线和双曲线的定义与性质. 【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质,属中 第 4 页 共 15 页

档题;解决抛物线弦长相关问题时,要注意抛物线定义的应用,即将到焦点的距离转化 为到准线的距离,通过解方程组求解相关问题即可. 12.设函数 y ? g ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 k ,定义函数:

? g ( x),( g ( x) ? k ) ,取函数 g ( x) ? 2 ? ex ? e? x ,若对任意 x ? (??, ??) ,恒 g k ( x) ? ? k ,( g ( x ) ? k ) ?
有 gk ( x) ? g ( x) ,则( A. k 的最大值为 2 ? e ? C. k 的最大值为 2 【答案】D )

1 e

B. k 的最小值为 2 ? e ? D. k 的最小值为 2

1 e

【解析】试题分析:若对任意 x ? (??, ??) ,恒有 gk ( x) ? g ( x) ,所以有 k ? g ( x) 恒成 立,即 k ? g ( x)max , g ?( x) ? ?e ? e ,当 x ? ?1 时, g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在区
?x

间 (??, ?1) 上单调递增,又当 x ? ?1 时, g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在区间 (?1, ??) 上 单调递减,所以 g ( x)max ? g (?1) ? 2 ? e ? e ? 2 ,所以 k ? 2 ,即 k 的最小值为 2,故选 D. 【考点】1.分段函数的表示;2.导数与函数的单调性、最值. 【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法及导数与函数的单调性、最值,中档题;利 用导数研究函数的单调性与最值,是高考的热点与难点,通法是先求函数的导数,由导 数的符号确定函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的极值或最值,通常还要考虑 数形结合、分类讨论相关问题.

二、填空题 13.已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,则 OB ? OC ? 【答案】 ?

??? ? ??? ?

.

1 6

【解析】试题分析:由正三角形的性质可知, ? OB, OC ??

??? ? ????

? ???? 2? ??? 3 ,所 , OB ? OC ? 3 3

以 OB ? OC ?

??? ? ??? ?

3 3 2? 1 ? ? cos ?? . 3 3 3 6

【考点】1.正三角形的性质;2.向量数量积的定义. 14.某校 1200 名学生中, O 型血有 450 人, A 型血有 a 人, B 型血有 b 人, AB 型血 有 c 人,且 450, a, b, c 成等差数列,为了研究血型与血虚的关系,从中抽取容量为 48 的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则要抽取的 A 型血的人数为 【答案】 14 【解析】试题分析: .

因 为 450, a, b, c 成 等 差 数 列 , 设 其 公 差 为 d , 则 第 5 页 共 15 页

4?3 d ? 1800 ? 6d ? 1200 , 解 得 d ? ?100 , 所 以 2 48 ? 14 . a ? 350, b ? 250, c ? 150 ,所以要抽取的 A 型血的人数为 350 ? 1200 450 ? a ? b ? c ? 4 ? 450 ?
【考点】简单随机抽样.

? x ? ?1 y ? 15.若实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 的取值范围为 x?2 ?3 x ? 5 y ? 8 ?
【答案】 [ ?1, ] 【解析】试题分析: z ?

.

1 3

y 中的 z 的几何意义为可行域内的点 P( x, y) 与点 M (2,0) x?2

的 连 线 的 斜 率 k PM , 在 坐 标 系 内 作 出 可 行 域 ( 如 下 图 所 示 ) ,由图可知,

? kPM ?max ? k AM

1 y 1 ? , 的取值范围为 [ ?1, ] . ? kPM ?min ? kBM ? ?1 ,所以 z ? 3 x?2 3

【考点】线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式,中档题;对 线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义,结合可行域即可 找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,要熟悉 相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直线 型和斜率型.
2 16 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 s i nA ? 2 3 c o s ,

A 2

b cos C ? 3c cos B ,则
【答案】

b ? c

.

1 ? 13 2
A A A 2 A 得 2sin cos ? 2 3 cos ,即 2 2 2 2

2 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 sin A ? 2 3 cos

A tan ? 2

3, 所 以 A?

2? 3

s? , 由 bc o C

c 3

c及 B o 余 s 弦 定 理 得
, 又 因 为
2

b?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 3c ? 2ab 2ac

2 2 , 整 理 得 a ? 2b ? 2c

第 6 页 共 15 页

2 2 , 所 以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? bc , 所 以 2b2 ? 2c 2? b ? c ? bc

b 1 ? 13 b 1 ? 13 b 1 ? 13 ?b? b ,所以 ? . ? ? ? ? 3 ? 0 ,解之得 c ? 2 或 c ? 2 (舍去) c 2 ?c? c
【考点】1.三角恒等变换;2.正弦定理与余弦定理. 【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理,中档题;正、余弦定理是 应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产 生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依 据, 也是判断三角形形状、 证明三角形中有关等式的重要依据. 其主要方法有: 化角法, 化边法,面积法,运用初等几何法. 三、解答题 17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n2 ? 2n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若点 (bn , an ) 在函数 y ? log 2 x 的图象上,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 【答案】(1) an ? 4n ;(2) Tn ?

2

16n ?1 ? 16 . 15

【解析】试题分析: (1) 由 an ? ?

? S1 , n ? 1 求之即可; (2) 由点 (bn , an ) 在函数 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

y ? log2 x 的图象上得 an ? log2 bn ,从而求出数列 ?bn ? 的通项公式,由等比数列求和
公式求之即可. 试题解析: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? 2n ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 ? 4 ?1, ∴ an ? 4n . (2)由点 (bn , an ) 在函数 y ? log 2 x 的图象上得 an ? log2 bn 且 an ? 4n , ∴ bn ? 2
an

? 24n ? 16n ,故数列 {bn } 是以 16 为首项,公比为 16 的等比数列,

Tn ?

16(1 ? 16n ) 16n ?1 ? 16 ? . 1 ? 16 15

【考点】1. an 与 Sn 关系;2.等比数列的定义与性质. 18.某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据 绘制成频率分布直方图(如图) ,若上班路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组 为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . 第 7 页 共 15 页

(1)求直方图中 a 的值; (2)如果上班路上所需时间不少于 1 小时的工人可申请在工厂住宿,若招工 2400 人, 请估计所招工人中有多少名工人可以申请住宿; (3)求该工厂工人上班路上所需的平均时间. 【答案】(1) 0.025 ;(2) 288 ;(3) 33.6 (分钟) 【解析】试题分析: (1)在直方图中,由频率之和为 1 ,即各矩形的面积之和为 1 ,可 求 a 的值; (2)先由频率分布直方图计算工人上班时间不少于 1 小时的频率,再用工人 总数乘以其频率即可; (3)每个矩形的中点值乘以相应的频率求和即可. 试题解析:(1) 由直方图可得:0.125 ? 20 ? a ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 , 解得: a ? 0.025 . (2)工人上班所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 2400 ? 0.12 ? 288 , 所以所招 2400 名工人中有 288 名工人可以申请住宿. (3)该工厂工人上班路上所需的平均时间为: 10 ? 0.25 ? 30 ? 0.5 ? 50 ? 0.13 ? 70 ? 0.06 ? 90 ? 0.06 ? 33.6 (分钟). 【考点】1.频率分布直方图;2.用样本估计总体.

DC ? 6 , PD ? 面 ABCD ,AB / / DC ,AB ? AD , 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 8 , BC ? 10 , ?PAD ? 45? , E 为 PA 的中点.

(1)求证: DE / / 面 PBC ; (2)求三棱锥 E ? PBC 的体积. 【答案】(1)见解析; (2) 64 . 【解析】 试题分析: (1)要证 DE // 平面 PBC , 只要在平面 PBC 内找到一条直线与 DE 平行即可,取 PB 的中点 M ,构造平行四边形 CDAN 即可证明;(2) 由第(1)问得 DE / / 平 面 PBC , 则 E 点 和 D 点 到 平 面 PBC 的 距 离 相 等 , 利 用 等 体 积 转 换

VE ?PBC ? VD?PBC ? VP? DCB 求之即可.
试题解析: (1)取 PB 的中点 M ,连 EM 和 CM ,过 C 点作 CN ? AB ,垂足为 N , ∵ CN ? AB , DA ? AB ,∴ CN / / DA ,又 AB / / CD , ∴四边形 CDAN 为平行四边形, ∴ CN ? AD ? 8 , DC ? AN ? 6 ,在直角三角形 BNC 中, 第 8 页 共 15 页

BN ? BC2 ? CN 2 ? 102 ? 82 ? 6
∴ AB ? 12 ,而 E , M 分别为 PA, PB 的中点, ∴ EM / / AB 且 EM ? 6 ,又 DC / / AB , ∴ EM / / CD 且 EM ? CD ,四边形 CDEM 为平行四边形, ∴ DE / / CM CM ? 平面 PBC , DE ? 平面 PBC ,∴ DE / / 平面 PBC .

(2)由第(1)问得 DE / / 平面 PBC ,则 E 点和 D 点到平面 PBC 的距离相等, ∵ PD ? AD , ?PAD ? 45? ,∴ PD ? 8 , ∴ VE ? PBC ? VD ? PBC ? VP ? DCB ?

1 1 ? ? 6 ? 8 ? 8 ? 64 3 2

【考点】1.线面平行的判定与性质;2.多面体的体积.

x2 2 2 20.已知椭圆 C : 2 ? y ? 1 (常数 a ? 1 )的离心率为 , M , N 是椭圆 C 上的两 a 2
个不同动点, O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A(a,1), B(?a,1) ,满足 kOM ? kON ? kOA ? kOB ( kOM 表示直线 OM 的斜率) , 求 | MN | 取值的范围.

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) 【答案】(1) 2

2 ?| MN |? 2 .

c a2 ?1 2 【解析】试题分析:(1)由离心率为 e ? ? ,即可求出 a 的值,从而求 ? a a 2
出椭圆方程; ( 2)先讨论当 MN 的斜率不存在时,不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x1, ? y1 ) ,由

kOM ? kON

y12 1 ? ? 2 ? k OA ? k OB ? ? 及 点 M 在椭 圆上 求出点 M , N 的 坐 标,可 求得 x1 2

| MN |? 2 , 当 当 MN 有 斜 率 时 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? kx ? t ,

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 将 直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 消 去 y 得

第 9 页 共 15 页

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4ktx ? 2(t 2 ?1) ? 0 , 由 kOM ? kON ?
2t 2 ? 1 1 2 , 且 t ? , 由 2 2

y1 y2 1 ? kOA ? kOB ? ? ,用 t 表示 k x1 x2 2

可 得 k ?
2

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 ?

1 可 得 t2

. 2 ? |MN ?| ,综上可得结果 2

试题解析: (1)由题意得

a2 ?1 2 ,解得 a ? 2 ; ? a 2

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 2
(2)解法一: 由(1)得: a ?

2 ,故 A( 2,1), B(? 2,1)

①当 MN 的斜率不存在时,不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x1, ? y1 ) 且 x1 ? 0, y1 ? 0 则 kOM ? kON ? ?

y12 1 ? kOA ? kOB ? ? ,化简得: x12 ? 2 y12 , 2 x1 2

x12 ? y12 ? 1 由点 M ( x1 , y1 ) 在椭圆上得 2
联立方程解得 M (1,

2 2 ), N (1, ? ) 2 2

得 | MN |? 2 (为定值). ②当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? kx ? t , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4ktx ? 2(t 2 ?1) ? 0 ? y ? kx ? t ?
2 2 2 2 2 2 2 则 ? ? (4kt ) ? 4(1 ? 2k ) ? 2(t ?1) ? 8(2k ? 1 ? t ) ? 0 ,即 2k ? 1 ? t ? 0 ()

x1 ? x2 ?

2(t 2 ? 1) ?4kt x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

t 2 ? 2k 2 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) x ? t ? 1 ? 2k 2


kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? kOA ? kOB ? ? x1 x2 2





x1 x ? 2 2 y y ? 01

,2



第 10 页 共 15 页

2(t 2 ? 1) t 2 ? 2k 2 ?2 ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
解得 2t 2 ? 2k 2 ? 1 ,代入()得 t 2 ? 0 ,且 2t 2 ? 2k 2 ? 1 ? 1,
2 故t ?

2t 2 ? 1 1 2 ,且 k ? 2 2

∴ | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2 综上所述, 2 ?| MN |? 2 . 解法二: 由条件得:

2(2k 2 ? 1 ? t 2 ) 1 ? 2 ? 2 ? ( 2, 2] 2 1 ? 2k t

y1 y2 1 1 ?? 2 ?? , x1 x2 a 2

2 2 2 2 2 平方得 x1 x2 ? 4 y12 y2 ? (2 ? x12 )(2 ? x2 ) ,即 x12 ? x2 ?2 2 2 2 2 又 x1 ? 1,设 y1 ? cos? , y2 ? sin ? ? 2(1 ? y12 ) , x2 ? 2(1 ? y2 ) ,得 y12 ? y2

则 | MN |?

2 2 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? x12 ? x2 ? y12 ? y2 ? 2 x1 x2 ? 2 y1 y2

? 2 ? 1 ? 2 y1 y2 ? 3 ? sin 2?
当 sin 2? ? 1 时, | MN |max ? 2 当 sin 2? ? ?1 时, | MN |min ? 2 ∴ 2 ?| MN |? 2 . 【考点】1.椭圆的标准方程及几何性质;2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,中档题; 高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,主要由求值、求方程、求定 值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线, 解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 21.已知函数 f ( x) ?

mx ? n ? ln x , m, n ? R . x

(1)若函数 f ( x ) 在 (2, f (2)) 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求实数 n 的值; (2)试讨论函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上最大值; (3)若 n ? 1 时,函数 f ( x ) 恰有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 2 . 【答案】 (1) 6 ;(2) 当 n ? 1 时, f ( x)max ? m ? n ,当 n ? 1 时,f ( x)max ? m ?1 ? ln n ;(3) 见解析.

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【 解 析 】 试 题 分 析 : (1) 求 函 数 f ( x ) 的 导 数 f ?( x ) , 由 f ?( 2) ? 1求 之 即 可 ; (2)

f ' ( x) ?

n?x ( x ? 0) , 分当 n ? 1 与 n ? 1 分别讨论函数的单调性, 求其最值即可; (3) x2

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可 得 m ?

x ?x 1 x 1 1 ? ln x1 ? ? ln x2 , 即 2 ? ln 2, 设 x1 x 2 x 1 x1 x2

t 2 ?1 t ?1 x2 t ?1 ,即 x1 ? ,故 x1 ? x2 ? x1(t ? 1) ? ,用作差比较 t ? ? 1 ,则 ln t ? t ln t t ln t x1 tx1
法证明 x1 ? x2 ? 2 即可.
' 试题解析: (1)由 f ( x) ?

n?x n?2 ' , f (2) ? , 2 x 4

由于函数 f ( x ) 在 (2, f (2)) 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,

n?2 ? 1 ,解得 n ? 6 . 4 n?x ' ( x ? 0) ,由 f ' ( x) ? 0 时, x ? n ; f ' ( x) ? 0 时, x ? n , (2) f ( x) ? 2 x
故 所以①当 n ? 1 时, f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减, 故 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? m ? n ; ②当 n ? 1 , f ( x ) 在 [1, n) 上单调递增,在 (n, ??) 上单调递减, 故 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (n) ? m ? 1 ? ln n ; (3)若 n ? 1 时, f ( x ) 恰有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) , 由 f ( x1 ) ?

mx1 ? 1 mx ? 1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? 2 ? ln x2 ? 0 , x1 x2

得m ?

1 1 ? ln x1 ? ? ln x2 , x1 x2



t ?1 x2 ? x1 x x t ?1 , x1 ? , ? ln 2 ,设 t ? 2 ? 1 , ln t ? t ln t x1 x2 x1 x1 tx1

故 x1 ? x2 ? x1 (t ? 1) ?

t 2 ?1 , t ln t

∴ x1 ? x2 ? 2 ?

2(

t 2 ?1 ? ln t ) t 2 ?1 (t ? 1) 2 2t ? ln t ,因 h ' (t ) ? ? 0, ,记函数 h(t ) ? 2t 2t 2 ln t

∴ h(t ) 在 (1, ??) 递增,∵ t ? 1 ,∴ h(t ) ? h(1) ? 0 ,

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又t ?

x2 ? 1 , ln t ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 成立. x1

【考点】1.导数的几何意义;2.导数与函数的单调性、最值;3.函数与不等式. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值、函数与不等式, 难题; 在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行 转化,探究这类问题的根本,从本质入手,进而求解,利用导数研究函数的单调性,再 用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助 函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式. 22.选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A, C 重合) , 延长 BD 至 E ,延长 AD 至 F .

(1)求证: ?ABC ? ?EDF ;
? (2)若 ?ABC ? 75 , ?ABC 中 BC 边上的高为 2 ? 3 ,求 ?ABC 外接圆的面积.

【答案】(1)见解析; (2) 4? . 【解析】试题分析:(1)由等腰三角形性质可得 ?ABC ? ?ACB ,由同弧上的圆周角相 等可得 ?ACB ? ?ADB ,再由对顶角相等可得 ?ADB ? ?EDF ,等量代换查证结论 成立;(2) 设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ? BC ,由圆的性质用 圆的半径 r 表示 AH ,可求出 r ,从而求出圆的面积. 试题解析: (1)如图,由 AB ? AC 得 ?ABC ? ?ACB ∵ ?ACB 与 ? ADB 都是同弧 AB 所对的圆周角, ∴ ?ACB ? ?ADB 且 ?ADB ? ?EDF 故 ?ABC ? ?EDF . (2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ? BC , 连接 OC ,由题意易得 ?BAC ? 30 , ?OAC ? ?OCA ? 15 ,
0 0

且 ?ACB ? 75 ,
0 0 ∴ ?OCH ? 60 ,设圆半径为 r ,则 r ?

3 r ? 2? 3, 2

解得 r ? 2 ,故外接圆面积为 4? .

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【考点】圆的性质. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? ?2 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? 2sin ?

正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? . (1)求曲线 C1 与 C2 交点的坐标; (2) A, B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上,当 | AB | 最大时,求 ?OAB 的面积( O 为坐标 原点). 【答案】(1) (0, 0), (?2, 2) ;(2) 2 ? 2 2 . 【解析】试题分析:(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,曲线 C2 有极坐标方程化 为直角坐标方程,联立,解方程组即可;(2)由圆的性质可知,当当 A, C1 , C2 , B 依次排 列且共线时, | AB | 最大,此时 | AB |? 2 2 ? 4 ,求出点 O 到直线的距离,即可求三角 形 OAB 的面积. 试题解析: (1)由 ?

? x ? ?2 ? 2cos ? ? x ? 2 ? 2cos ? ,得 ? , ? y ? 2sin ? ? y ? 2sin ?

所以 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 又由 ? ? 4sin ? ,得 ? ? 4? sin ? ,得 x ? y ? 4 y ,
2 2 2

把两式作差得, y ? ? x , 代入 x ? y ? 4 y 得交点为 (0, 0), (?2, 2) .
2 2

(2)如图,

由平面几何知识可知,当 A, C1 , C2 , B 依次排列且共线时, | AB | 最大, 此时 | AB |? 2 2 ? 4 , O 到 AB 的距离为 2 , ∴ ?OAB 的面积为 s ?

1 (2 2 ? 4) ? 2 ? 2 ? 2 2 . 2

【考点】1.参数方程与普通方程的互化;2.极坐标与直角坐标的互化;3.圆的性质及应 用. 第 14 页 共 15 页

24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 6 | . (1)求不等式 f ( x) ? x 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? 2 | x ? 1|? a 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) {x | 2 ? x ? 6} ;(2) a ? ?4 . 【解 析】试题分 析: (1) 由绝 对值的意义 去掉绝对符 号解不等式 组即可; (2) 令

g ( x) ? f ( x) ? 2 | x ? 1|?| 2 x ? 6 | ?2 | x ?1| , 去 掉 绝 对 值 符 号 写 成 分 段 函 数 形 式

?4 ,x ? 1 ? g ( x) ? ? ? 4 x ? 8 , 1? x ? ,求出函数 3 g ( x) 的最小值即可. ? ?4 , x ? 3 ?
试题解析: (1)由 f ( x) ? x 得 | 2 x ? 6 |? x ,

∴?

?2 x ? 6 ? 0 ? 2 x ? 6 ? 0 或? , ?2 x ? 6 ? x ??2 x ? 6 ? x

解得: 3 ? x ? 6 或 2 ? x ? 3 ∴不等式 f ( x) ? x 的解集为 {x | 2 ? x ? 6} . (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2 | x ?1|?| 2 x ? 6 | ?2 | x ?1|

? 4, x ? 1 ? 则 g ( x ) ? ? ?4 x ? 8,1 ? x ? 3 , ? ?4, x ? 3 ?
∴ g ( x)min ? ?4 ∵存在 x 使不等式 f ( x) ? 2 | x ? 1|? a 成立, ∴ g ( x)min ? a , ∴ a ? ?4 . 【考点】1.含绝对值不等式的解法;2.分段函数的表示.

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