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高考试卷浙江省余姚市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题


余姚市高三第三次模拟考试

高三数学(理)试题卷
第Ⅰ卷(选择题部分 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符 合题目要求的. 1. 设全集为 U=R,集合 A ? ?x || x |? 2? , B ? {x | A. [?2,1] B. (2, ??)

1 ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( x ?1 C. (1 , 2] D. (??, ?2)

)

2. 设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( A. 若 m / /? , n/ /? ,则 m/ / n C. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? ;
2 2



B. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? D. 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? )

3. 已知 a, b ? R, 则“ a ? b ? 1 ”是“ | a | ? | b |? 1 ”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( x ? R) 的图象的一部分如图 所示,若对任意 x ? R, 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) , 则 | x1 ? x2 | 的最小值为( A. 2? B. ) C. (第 4 题)

?

? 2

D.

? 4

? ? x ? y ? 1, ? 5. 已知实数变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 且目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 4,则实数 m 的值 ? 1 ?mx ? y ? 1 ? 0, 2 ?

为( A.

)

3 2

B.

1 2

C. 2

D. 1

6. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S2014 ? 0, S2015 ? 0 ,对任意正整数 n ,都有

| an |?| ak | ,则 k 的值为(

)

·1·

A. 1006

B. 1007

C. 1008

D. 1009

7. 设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是 C 的右支上的点, a 2 b2
1 | F1 F2 | , 则 C 3

O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP |? 射线 PT 平分 ?F 1PF 2 , 过原点
的离心率为( ) B. 3 C.

3 A. 2

2

D.

3
)

8. 已知实数 a, b, c 满足 A. (??, 4]

1 2 1 2 2 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? 2bc ? 2ca 的取值范围是( 4 4
B. [?4, 4] C. [?2, 4] D. [?1, 4]

第Ⅱ卷(非选择题部分

共 110 分)
5 2

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 4 分,共 36 分.

3 ) ? _____________; 9. 若指数函数 f ( x) 的图像过点 (?2, 4) , 则 f( 不等式 f ( x ) ? f ( ? x) ?
的解集为
2 2

.
2

10. 已 知 圆 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 25 ? 0 的 圆 心 在 直 线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 上 , 则

a?

;圆 C 被直线 l2 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为____________. ;外接球的 体积
3 2 正视图
侧视图

11. 某多面体 的三视图如图 所示,则该 多面体最长 的 棱长为 为 .

12. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 1
[:]

an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ? ) 则 a7 ? ____________;
若 a2017 ? m ,则数列 {an } 的前 2015 项和 是________________(用 m 表示) .
俯视图

3

(第 11 题) ? x3 , x ? 0 1 ? 2 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x ? 2 x ? ) ? m 有 4 个不同的实数根, 1 2 ?x ? ? 3 x ? 则 m 的取值范围是________________. 14. 定义:曲线 C 上的点到点 P 的距离的最小值称为曲线 C 到点 P 的距离。已知曲线

C:y?

1 3 2 ( x ? 0) 到点 P (a, a ) 的距离为 ,则实数 a 的值为___________. x 2

15. 设正 ?ABC 的面积为 2,边 AB, AC 的中点分别为 D, E , M 为线段 DE 上的动点,则
·2·

???? ???? ? ??? ?2 MB ? MC ? BC 的最小值为_____________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c. 已 知

sin C? siB n( ? A ?)
(Ⅰ)求角 A 的取值范围;

, 2 sA i nA2?

? . 2

(Ⅱ)若 a ? 1, ?ABC 的面积 S ?

3 ?1 , C 为钝角,求角 A 的大小. 4

17. (本题满分 15 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 PBC , PA ? PB ? 2 , PC ? 4 , ?BPC ? 60? . (Ⅰ)平面 PAB ? 平面 ABC ; (Ⅱ) E 为 BA 的延长线上的一点.若二面角 P ? EC ? B 的大小为 30 ? ,求 BE 的长.

P

C E A B

x2 y 2 18. (本题满分 15 分)如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,且焦 a b(第 17 题) 距为 2 2 ,动弦 AB 平行于 x 轴,且 | F 1A | ? | F 1B |? 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若点 P 是椭圆 C 上异于点 A, B 的任意一点, 且直线 PA, PB 分别与 y 轴交于点 M , N , 若 MF2 , N F2 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的取值范围.

·3·

19. (本题满分 15 分)已知数列 {an },{bn } 满足下列条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n ? 1.

bn ? an?1 ? an . (Ⅰ)求 {bn } 的通项公式; 1 9 1 . (Ⅱ)设 { } 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n ,均有 ? S n ? 4 20 bn

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? | x ? 1 ? a | ,其中 a 为实常数. (Ⅰ)判断 f ( x) 在 [ ? , ] 上的单调性; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使不等式 f ( x) ? 2 | x ? a | 成立,求 a 的取值范围.

1 1 2 2

·4·

余姚市高三第三次模拟考试

高三数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符 合题目要求的. B D B C D C A C 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 4 分,共 36 分.

1 32? ; (?1,1) 10. 2;8 11. 4; 8 3 1 26 14. ? 或 15. 2 3 2 2
9.

12. 13; m ? 1

13. (?1, ? ) ? (0, ??)

1 8

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(Ⅰ)由 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A , 得 sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 2 2 sin A cos A. 即 2sin B cos A ? 2 2 sin A cos A. 因为 cos A ? 0, 所以 sin B ? 2 sin A. 由正弦定理,得 b ? ?????3 分 ?????4 分 ?????6 分 ?????8 分

2a. 故 A 必为锐角。 2 又 0 ? sin B ? 1 ,所以 0 ? sin A ? . 2 ? 因此角 A 的取值范围为 (0, ]. 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)及 a ? 1 得 b ?

3 ?1 1 3 ?1 ,所以 ?1? 2 ? sin C ? . 4 2 4 7? 6? 2 . 从而 sin C ? 因为 C 为钝角,故 C ? ?????11 分 . 12 4 7? 6? 2 由余弦定理,得 c 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? ( ? ) ? 2 ? 3. 12 4 6? 2 故c ? ?????13 分 . 2 6? 2 1? a sin C 1 ? 4 ? ? . 因此 A ? . ?????15 分 由正弦定理,得 sin A ? 6 c 2 6? 2 2 17. (Ⅰ)在 ?PBC 中, PB ? 2, PC ? 4, ?BPC ? 60?, 由余弦定理,得 BC ? 2 3.

2.

又因为 S ?

2 2 2 经计算,得 AC ? 2 5, AB ? 2 2. 所以 AB ? BC ? AC ,故 BC ? AB.

因 为 PA ? 平 面 PBC , 所 以 P A?

B .C ? A? B 又因为 PA

又因为 BC ? 平面 ABC ,故平面 PAB ? 平面 ABC . (Ⅱ)方法 1 取 AB 的中点 F ,连结 PF .
·5·

PAB.

A 所 以 BC ? 平 面 , ????4 分 ????? 6 分

因为 PA ? PB ,所以 PF ? AB. 又因为平面 PAB ? 平面 ABC , 平面 PAB ? 平面 ABC ? AB , PF ? 平面 PAB , 所以 PF ? 平面 ABC 。 过 F 作 FG ? EC 于 G ,连 PG ,则 EC ? PG. 于是 ?PGF 是二面角 P ? EC ? B 的平面角, 因此, ?PGF ? 30?. ????? 10 分 又 PF ? 2 ,所以 FG ? 6. 设 BE ? x( x ? 2 2) ,

P

FG EF 6 x? 2 ? .因此, 。 ? BC EC 2 3 x2 ? 12 2 即 x ? 4 2 x ? 8 ? 0. 解得 x ? 2 2 ? 4. E 所以 BE ? 2 2 ? 4. ????? 15 分
由 ?EFG ~ ?ECB 得 方法 2 建立如图的空间直角坐标系。 则 C(0, 2 3,0) , P( 2,0, 2) . 设 BE ? t (t ? 2 2). 则 E (t , 0, 0). 所以 CP ? ( 2, ?2 3, 2), CE ? (t, ?2 3,0). 平面 ECB 的法向量为 n1 ? (0,0,1).

G A F B

C

z P y x E A B(O) C

??? ?

??? ?

??

?? ? 设 n2 ? ( x, y, z) 为平面 PEC 的法向量,则
? 2 x ? 2 3 y ? 2 z ? 0, ? ? tx ? 2 3 y ? 0, ? ? ?? ? 6 可取 n2 ? ( 2, t, t ? 2). 6 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? ? 因为 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ,得 | n1 | ? | n2 | 2

????? 10 分

t? 2

1 2 ? t 2 ? (t ? 2) 2 6 2 即 t ? 4 2t ? 8 ? 0. 解得 t ? 2 2 ? 4. 所以 BE ? 2 2 ? 4. ????? 15 分 18. (Ⅰ)因为焦距为 2 2 ,所以 2c ? 2 2, c ? 2. ????? 2 分 由椭圆的对称性及已知得 | F 1A | ? | F 1B |? 4, 所以 | F2 B | ? | F 1 A |?| F2 B | . 又因为 | F 1 B |? 4. 此 2a ? 4, a ? 2. ????? 4 分
x2 y2 ? ? 1. ????? 6 分 4 2 (Ⅱ)设 B(x 0 , y0 ),P( x1, y1) ,则 A(? x0 , y0 ). y ? y0 x y ?x y 直线 PA 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 ,得 y ? 1 0 0 1 , x1 ? x0 x1 ? x0 x y ? x0 y1 x y ? x0 y1 故 M (0, 1 0 同理可得 N (0, 1 0 ????? 9 分 ). ). x1 ? x0 x1 ? x0
于是 b ?

?

3 . 2



2.因此椭圆 C 的方程为

x y ? x0 y1 x y ? x0 y1 . 所以 k1 ? ? 1 0 , k2 ? ? 1 0 2( x1 ? x0 ) 2( x1 ? x0 )

2 2 2 ? x0 y1 1 x12 y0 因此 k1 ? k2 ? ? . 2 2 2 x1 ? x0

·6·

2 因为 A, B 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 2 ?

1 2 2 1 2 x1 , y0 ? 2 ? x0 . 2 2

[:.]

1 故 k1 ? k2 ? ? 2

x12 (2 ?

1 2 1 2 x0 ) ? x0 (2 ? x12 ) 2 2 ? 1. 2 x12 ? x0

????? 12 分 ????? 14 分

所以 | k1 ? k2 |?| k1 | ? | k2 |? 2 | k1 || k2 | ? 2. 因此 k1 ? k2 的取值范围是 (??, ?2) ? (2, ??). 19. (Ⅰ)由 an?1 ? 2an ? 2n ? 1 得 an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? 2) 即 bn ? 2bn?1 ? 2. 因此, bn ? 2 ? 2(bn?1 ? 2). 由①,及 a1 ? 1 得 a2 ? 5 ,于是 b1 ? 4. 因此, {bn ? 2} 是以 b1 ? 2 ? 6 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 bn ? 2 ? 6 ? 2
n?1 n?1

又因为当 k1 ? k2 时 M , N 重合,即 A, B 重合,这与条件不符,所以 k1 ? k2 . ????? 15 分 ①

② ????? 3 分

①—②得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) ? 2.

????? 6 分

????? 7 分 , 即 bn ? 6 ? 2 ? 2. 1 1 1 1 1 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 所以对任意正整数 n , ? . 因为 ? 0(n ? N *) , Sn ? S1 ? ? . n ?1 bn 6 ? 2 ? 2 bn b1 4 ????? 9 分

1 1 1 1 ????? 11 分 ? ? ? (n ? 2). n ?1 n ?1 n ?1 bn 6 ? 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 ? 2 5 ? 2n?1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以当 n ? 2 时, Sn ? ? ? ? ? ? ? ( ? 2 ? ? ? n?1 ) b1 b2 bn 4 5 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 2 1 1 9 2 ????? 14 分 ? ? ? ? ? ? . 1 4 5 4 5 20 1? 2 9 1 9 . 综上,对任意正整数 n ,均有 ? Sn ? . ???? 15 分 当 n ? 1 时,显然有 S1 ? 20 4 20 1 1 20. (Ⅰ)若 a ? 1 ? ? ,即 a ? , 2 2 1 1 1 2 3 2 当 x ? [ ? , ] 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ? a ? , 2 2 2 4 1 1 f ( x) 在 [? , ] 上递增; ????? 2 分 2 2 1 3 1 1 1 2 5 2 若 a ? 1 ? ,即 a ? 当 x ? [ ? , ] 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ? a ? , 2 2 2 2 2 4 1 1 f ( x) 在 [? , ] 上递减; ????? 4 分 2 2
因为
·7·

1 2 5 1 ? ( x ? ) ? a ? (? ? x ? a ? 1), ? 1 1 1 3 ? 2 4 2 若 ? ? a ? 1 ? ,即 ? a ? , f ( x) ? ? 1 3 2 2 2 2 ? ( x ? ) 2 ? a ? (a ? 1 ? x ? 1 ), ? ? 2 4 2 1 1 ????? 6 分 f ( x) 在 [ ? , a ? 1] 上递减,在 [ a ? 1, ] 上递增. 2 2 (Ⅱ)先求使不等式 f ( x) ? 2 | x ? a | 对 x ? R 恒成立的 a 的取值范围. 1 2 5 (1)当 x ? a ? 1 时,不等式化为 x2 ? x ?1 ? a ? 2(a ? x), 即 x2 ? x ? 1 ? a , ( x ? ) ? ? a. 2 4 5 1 1 若 a ? 1 ? ? ,即 a ? ,则 a ? ? 矛盾. 4 2 2 1 1 若 a ? 1 ? ? ,即 a ? ,则 a ? (a ?1)2 ? (a ? 1) ? 1, 即 a2 ? 2a ?1 ? 0, 解得 a ? 1 ? 2 或 2 2 a ? 1 ? 2. 所以 a ? 1 ? 2. ????? 8 分 2 2 (2)当 a ? 1 ? x ? a 时,不等式化为 x ? x ? 1 ? a ? 2(a ? x), 即 x ? 3x ? 1 ? 3a , 3 5 ( x ? ) 2 ? ? 3a. 2 4 3 3 1 5 5 3 1 若 a ? 1 ? ? ? a 即 ? ? a ? ? , 3a ? ? , a ? ? . 结合条件,得 ? ? a ? ? . 2 2 2 4 12 2 2 1 3 2 2 若 a ? 1 ? ? 即 a ? ? , 3a ? (a ?1) ? 3(a ? 1) ? 1, 即 a ? 2a ?1 ? 0, 解得 a ? 1 ? 2 或 2 2 3 1 2 a ? 1 ? 2. 结合条件及(1) ,得 ? ? a ? 1 ? 2. 若 a ? ? , 3a ? a ? 3a ? 1 恒成立. 2 2 综合得 a ? 1 ? 2. ????? 10 分 1 2 3 2 2 (3) 当 x ? a 时, 不等式化为 x ? x ? 1 ? a ? 2( x ? a), 即 x ? x ? 1 ? ?a ,( x ? ) ? ? ? a. 得 2 4 3 3 3 ? a ? , 即 a ? ? .结合(2)得 ? ? a ? 1 ? 2. ???? 12 分 4 4 4 3 所以,使不等式 f ( x) ? 2 | x ? a | 对 x ? R 恒成立的 a 的取值范围是 ? ? a ? 1 ? 2. 4 3 本题所求的 a 的取值范围是 a ? 1 ? 2 或 a ? ? . ????? 14 分 4

·8·

-END-

·9·


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