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2009-10长春市十一高中高二上学期期末考试


长春市十一高中 2009—2010 学年度高二上学期期末考试 数 学 试 题 (理科)
一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 1. 复数
3?i ?( 1? i

) B. 1? 2i C. 2 ? i ) C. 3 D. ?3 ) D. 2 ? i

A. 1? 2i

2. f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 7 的极大值是( A. ?7 3. 复数 z ? B. 7

?1 ? i ?1 ,在复平面内 z 所对应的点在( 1? i

A. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限 )

4. y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在区间 ?0,3? 上的最大值和最小值依次是( A. 12,?15 5.复数 B. 5,?4 )
1 C. ? i 5

C. 5,?15

D. ?4,?15

1 1 的虚部是( ? ? 2 ? i 1 ? 2i

1 A. i 5

B.

1 5

D. ? )

1 5

6.曲线 y ? xe x ? 1 在点 ?0,1? 处的切线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

7.有四名同学同时参加了学校的 100 米、 米、 800 1500 米三项跑步比赛, 则获得冠军 (无 并列名次)的可能性有( ) A. 4 种 8.曲线 y ? x 2 , y ? A.
1 3 e ?4 3
3

B. 3 种

4

C. 12 种

D. 24 种 )
1 2 e ?1 3

1 和直线 x ? e 所围成的平面区域的面积等于( x

?

?
3 2

B.

1 2 e ?4 3

?

?

C.

1 3 e ?1 3

?

?

D.

?

?


9. 若 f ( x) ? x ? ax ? 1在 (0,2) 内单调递减,则实数 a 的范围是( A. a ? 3 B. a ? 2 C. a ? 3 D. 0 ? a ? 3 10.某同学逛书店,发现三本喜欢的书,决定至少买其中一本,则购买方案 有( ) A. 3种 B.6 种 C.7 种 D. 9 种 11. 设 f (x) 在定义域内可导, y ? f (x) 的图象如右图,则导函数 y ? f ?(x) 的 o
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y

x

图象可能为下图中的(



y

y

o

x

o

x

A y

B y

o

x

o

x

C

D

12.若 y ? f ?x ? 在 x ? 0 上可导, 且满足:xf / ?x? ? f ?x? ? 0 恒成立, 又常数 a, b 满足 a ? b ? 0, 则下列不等式一定成立的是( A. bf ?a ? ? af ?b? B. af ?a ? ? bf ?b? ) C. bf ?a ? ? af ?b? D. af ?a ? ? bf ?b?

长春市十一高中 2009—2010 学年度高二上学期期末考试 数学答题纸(理科)
二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.已知
z ? 2 ? i, 则 z ? ____________ 1? i
3 2

14. y ? x ? 3x ? 9 x ? 5 的减区间是___________ 15.用 4 种不同的颜色涂入图中编号为 1,2,3,4 的 1 3 2 4 正方形,

要求每个正方形只涂一种颜色,且有公共边的两个正方形颜色不同,则不同 的涂法有__________种
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1 1 1 1 1 1 3 16.观察下列不等式: 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ... ? ? , 2 2 3 2 3 7 2 1? 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ... ? ? 2,1 ? ? ? ... ? ? ,... 2 3 15 2 3 31 2

由 此 猜 想 第 n 个 不 等 式 为

________________________ 三、解答题(17、18 题每题 10 分,19—21 题每题 12 分,共 56 分)



号 考 号

1 17.求 f ?x ? ? ln?1 ? x ? ? x 2 在 ?0,2? 上的最大值和最小值。 4

18.已知集合 A ? ?2,4,6,8?, B ? ? ,3,5,7,9?, 今从 A 中取一个数作为十位数字, 1 从 B 中取一个数作为个位数字,问: (1) 能组成多少个不同的两位数? (2) 能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?

1 3 4 x ? ax ? b(a, b ? R) 在 x ? 2 处取得极小值 ? 3 3 1 3 10 2 (1)求 f (x) ; (2)若 x ? ax ? b ? m ? m ? 对 x ? [?4,3] 恒成立,求 m 的取 3 3
19. 已知函数 f ( x) ?
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值范围。

座位号

20. 设 f ?x? ? ?1 ? x?2 ? 2 ln?1 ? x? (1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)求 f ?x ? 在 x ? ? ? 1, e ? 1? 上的最值;
? ?1 ?e ?

(3)若关于 x 的方程 f ?x? ? x 2 ? x ? a 在 ?0,2? 上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的范 围。

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21.已知函数 f ?x ? 的导函数 f

/

?x ? 满足 0 ?

f

/

?x? ? 1, 常数 ? 为方程 f ?x ? ? x

的实数根 (1)若函数 f ?x ? 的定义域为 I,对任意 ?a, b? ? I , 存在 x 0 ? ?a, b?, 使等式 f ?b? ? f ?a ? ? ?b ? a ? f
/

?x0 ? 成立。

求证:方程 f ?x ? ? x 不存在异于 ? 的实数根。 (2)求证:当 x ? ? 时,总有 f ?x ? ? x 成立。

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2009—2010 高二数学期末考试参考答案
一、CBBCB AAAAC DA 二、13、 10
/

14、 ?? 1,3?

15、84 16、 1 ?

1 1 1 n ? ? ... ? n ? . 2 3 2 ?1 2

三、17、令 f

?x ? ?

1 1 2 ? x2 ? x ? x? ? 0, 解之得: x ? 1. x ?1 2 2?x ? 1?

f ?x ? 在 ?0,1? 上递增,在 ?1,2? 上递减,
所以最大值为 f ?1? ? ln 2 ?

1 . 4

f ?0? ? 0, f ?2? ? ln 3 ? 1 ? 0,?最小值是 0。
18、 (1) 4 ? 5 ? 20 (个) (2)若十位数字取 2,有 4 个;若十位数字取 4,有 3 个;若十位数字取 6,有 2 个; 若十位数字取 8,有 1 个;由加法原理,共 10 个。 19、 (1) f
/

?x? ? x 2 ? a, f / ?2? ? 4 ? a ? 0,? a ? ?4.
8 4 1 ? 8 ? b ? ? ,? b ? 4. ? f ?x ? ? x 3 ? 4 x ? 4. 3 3 3

f ?2? ?
(2) f
/

?x? ? x 2 ? 4 ? 0, x ? ?2, x ? 2.
28 4 4 , f ?2? ? ? , f ?? 4? ? ? , f ?3? ? 1. 3 3 3 28 10 28 ? .? m 2 ? m ? ? . ? m ? 2 或 m ? ?3. 3 3 3

f ?? 2? ? ? f ?x ?max

20、 (1)函数的定义域为 ?? 1,??? ,

?f

/

?x ? ? 2 x?x ? 2? , 令 f / ?x? ? 0, 得 x ? 0.
x ?1

? 增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0?.
(2)由(1)知, f ?x ? 在 x ? 0 处取得最小值。最小值为 1。

1 ?1 ? 1 f ? ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2, 且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2. e ?e ? e
所以 f ?x ? 的最大值为 e ? 2.
2

(3)令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2 ln?1 ? x ?,? g ? x ? ?
/

x ?1 , x ?1

? g ?x ? 在 ?0,1? 上递减,在 ?1,2? 上递增,为使方程有两个相异实根,

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? g ?0 ? ? 0 ? 只须 g ?x ? ? 0 在 ?0,1? 和 ?1,2? 上各有一个实根,? ? g ?1? ? 0 . ? g ?2 ? ? 0 ?

?a ? ?2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3?.
21、 (1)假设存在 ? ? ? , f ?? ? ? ? , 不妨令 ? ? ? , 则 f ?? ? ? f ?? ? ? ? ? ? , 由已知,存在 c ? ?? , ? ?, 使 f ?? ? ? f ?? ? ? ?? ? ? ? f / ?c?,? ?? ? ? ? f / ?c? ? ? ? ? .
?f
/

?c? ? 1. 与 0 ? f / ?x? ? 1 矛盾。
/

(2)令 g ?x? ? f ?x? ? x, g / ?x? ? f

?x? ?1,? 0 ? f / ?x? ? 1,? g / ?x? ? 0.

? g ?x ? 在其定义域内是减函数。

?x ? ? 时, g ?x ? ? g ?? ? ? f ?? ? ? ? ? 0.? f ?x ? ? x.

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