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2015年高中数学同步检测:2.3.1《直线与平面垂直的判定》(人教A版必修2)]


数学·必修 2(人教 A 版)

2.3

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1
基 础 达 标 1.下列说法中错误的是(

直线与平面垂直的判定

)

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; ②如果一条直线和平面的一条

平行线垂直,该直线必在这个平面内; ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③

解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误. 答案:D

2.一条直线和平面所成角为 θ ,那么 θ 的取值范围是( A.(0°,90°) C. B.

)

D.[0°,180°)

答案:B

3.线段 AB 的长等于它在平面 α 内射影长的 2 倍,则 AB 所在直线与平面 α 所成的角 为( ) A.30° B.45° C.60° D.120°

1 解析:解直角三角形可知,直线与平面 α 所成角的余弦值为 . 2 答案:C

4.设 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,P 为平面 AC 外一点且有 PA=PC,PB=PD, 则 PO 与平面 ABCD 的关系是________.

答案:垂直

5.给出下列命题: ①若直线 a⊥平面 α ,且直线 a⊥直线 b,则 b⊥平面 α ; ②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直; ③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面 垂直. 其中正确命题的序号是________.

解析:解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义,对不正确的命 题,可通过举反例说明.①b 与平面 α 可以平行或者 b? α .②直线垂直于平面 α 内的无数 条平行直线时,直线与平面不一定垂直.③由反证法可知正确. 答案:③

6.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 ( A.平行 B.相交 C.不在同一平面内 D.A、B、C 三个选项均有可能

)

答案:D

巩 固 提 升 7.设三棱锥 PABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H,给出以下命题: ①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 是△ABC 的垂心; ②若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则 H 是△ABC 的垂心; ③若∠ABC=90°,H 是 AC 的中点,则 PA=PB=PC;

④若 PA=PB=PC,则 H 是△ABC 的外心. 其中正确的命题是________(填序号).

解析:根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断. 答案:①②③④

8.如图,在四棱锥 PABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 1 DC 上的点,且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明:PH⊥平面 ABCD;

证明:∵PH 为△PAD 中的高,∴PH⊥AD. 又 AB⊥平面 PAD,PH? 平面 PAD, ∴PH⊥AB,AB∩AD=A. ∴PH⊥平面 ABCD.

(2)证明:EF⊥平面 PAB.

证明:取 PA 的中点 Q,连接 EQ,DQ, ∵E 是 PB 的中点, 1 ∴EQ∥AB 且 EQ= AB. 2 1 又 DF= AB 且 DF∥AB, 2 ∴EQ 綊 DF,∴四边形 EQDF 是平行四边形. ∴EF∥DQ.

由(1)知 AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥DQ. 又∵PD=AD,∴DQ⊥PA. ∵PA∩AB=A,∴DQ⊥平面 PAB. ∵EF∥DQ,∴EF⊥平面 PAB.

9.如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE =3,AB=6.

(1)求证:AB⊥平面 ADE;

证明:∵AE⊥平面 CDE,CD? 平面 CDE, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE.

∵AB∥CD, ∴AB⊥平面 ADE.

(2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

解析:在 Rt△ADE 中,AE=3,AD=6,

∴DE= AD -AE =3 3. 如图,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, ∵AB⊥平面 ADE,EF? 平面 ADE, ∴EF⊥AB. ∵AD∩AB=A, ∴EF⊥平面 ABCD. ∵AD·EF=AE·DE, AE·DE 3×3 3 3 3 ∴EF= = = . AD 6 2 又正方形 ABCD 的面积 S 正方形 ABCD=36, 1 1 3 3 ∴V 多面体 ABCDE=VEABCD= S 正方形 ABCD·EF= ×36× =18 3. 3 3 2 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3.

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