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福建省龙岩市2015届高三教学质量检查数学(理)试题 Word版含答案


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
注意事项: 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” .

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共

50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 2sin15? cos15? =

3 3 D. ? 2 2 2 2.命题“对任意实数 x ? [1,2] ,关于 x 的不等式 x ? a ? 0 恒成立”为真命题的一个必要不
A. B. ? C. 充分条件是 A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 3 D. a ? 3 3.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品 频率 的中位数为 0.08 组距 A. 20 B. 25 C. 22.5 D. 22.75 4.已知复数 z ? a ? (a ? 2)i ( a ? R, i 为虚数单位)为实数, 则

1 2

1 2

?

a 0

( 4 ? x ? x)dx 的值为
2

0.04 0.03 0.02

A. 2 ? ?

B. 2 ?

?

10

15 20

25

30

35 长度(mm)

C. 4 ? 2? 5.如图所示是一个几何体的三视图,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的表面积是 A.

2 D. 4 ? 4?

(第 3 题图)
3
1 1 1

[来源:学优高考网 gkstk]

3 3 B. 3 2 C. 3 ? 7 D. 3 ? 7 ? 1 俯视图 (第 5M 题图) 6.如图, A, B 分别是射线 OM , ON 上的两点,给出下列向量:① OA ? 2OB ; A 1 1 3 1 3 1 3 1 ② OA ? OB ;③ OA ? OB ;④ OA ? OB ;⑤ OA ? OB 2 3 4 3 4 5 4 5 若这些向量均以 O 为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有 O B N
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正视图

侧视图

(第 6 题图)

A.①② B.②④ C.①③ D.③⑤ 2 7.已知过抛物线 y ? 12x 焦点的一条直线与抛物线相交于 A , B 两点,若 AB ? 14 ,则线 段 AB 的中点到 y 轴的距离等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? a ? 1 (a ? R) 在区间 ?0, ? 上有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 6 ? 2?

2? 2? 2? 2? ? 1, ? 1) D. [ , ? 1) 3 3 3 3 3 3 3 3 9.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 A (1,0) 对称.设 2 2 动点 M ( x, y ) ,若实数 x , y 满足不等式 f ( x ? 8 y ? 24) ? f ( y ? 6x) ? 0 恒成立,则
A. (

则 x1 ? x2 ? a 的取值范围是

?

? 1,

?

? 1)

B. [

? ?
,

? 1)

C. (

OA ? OM 的取值范围是 A. (??, ? ?) B. [?1, 1] C. [2, 4] D. [3, 5] 10.定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆为若干个不同
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? , 1? ? ? ? , , ?? 2 5 6 12 20 2 3 6 2 4 6 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 依此类推可得: 1 ? ? ? , 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156 x? y?2 其中 m ? n , m, n ? N * .设 1 ? x ? m,1 ? y ? n ,则 的最小值为 x ?1 23 5 8 34 A. B. C. D. 2 7 2 3

1? 的单位分数之和. 如:

[ 来源:

学优高考网]

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 11.如右图所示的程序执行后输出的结果 S 为 . i ?1 12.二项式 ( x ?
2

1 5 ) 展开式中的常数项为 x3

(用数字作答).

x2 y 2 13.已知点 P 在渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 的双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 上,其中 F 1 F2 的面积为 16 且 1 , F2 分别为其左、右焦点.若 ?PF

(第 11 题图) 14.若用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中的六个数字组成没有重复数字,且任何相邻两个数字 的奇偶性不同的六位数,则这样的六位数共有 个(用数字作答) . 15.已知动点 P 在函数 f ( x ) ? ?

PF1 PF2 ? 0 ,则 a ? b 的值为

S ?0 WHILE i ?? 5 S ? S ?i i ? i ?1 WEND PRINT S END



4 的图像上,定点 M (?4,?2) ,则线段 PM 长度的最小 x?2

值是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 ?B b(b ? 3c) ? (a ? c)(a ? c) ,
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为钝角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ?

1 ,求 b ? 3c 的取值范围. 2

17.(本小题满分 13 分) 某运动队拟在 2015 年 3 月份安排 5 次体能测试,规定:依次测试,只需有一次测试合格 就不必参加后续的测试.已知运动员小刘 5 次测试每次合格的概率依次构成一个公差为 等差数列,他第一次测试合格的概率不超过

1 的 9

4 8 ,且他直到第二次测试才合格的概率为 . 9 27

(Ⅰ)求小刘第一次参加测试就合格的概率; (Ⅱ) 在小刘参加第一、 第二次测试均不合格的前提下, 记小刘参加后续测试的次数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 13 分) 如图,已知 AC, BD 是圆 O 的两条互相垂直的直径,直角梯形

F

ABEF 所 在 平 面 与 圆 O 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 其 中 N ?FAB ? ?EBA ? 90? , BE ? 2 , AF ? 6 , AC ? 4 2 ,点 N 为 线段 EF 中点. E (Ⅰ)求证:直线 NO // 平面 EBC ; (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且点 M 在平面 CEF 上的射影为 B 线段 NC 的中点,请求出线段 AM 的长.
19.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :

A

O

D

C (第 18 题图) y

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 a 2 b2

M

2 2 A2 x A1 O ,其左、右顶点分别为 A 1 (?3,0), A2 (3,0) .一条不经过原 3 N 点的直线 l:y ? kx ? m 与该椭圆相交于 M 、 N 两点. (第 19 题图) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 m ? k ? 0 ,直线 A1M 与 NA2 的斜率分别为 k1 , k2 .试问:是否存在实数 ? ,使 得 k1 ? ? k2 ? 0 ?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分 14 分)

( x ? a) ? e x 已知函数 f ( x) ? ( e 为自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切 x ?1 线与直线 4 x ? 3ey ? 1 ? 0 互相垂直. (Ⅰ)求实数 a 的值; 2 (Ⅱ)若对任意 x ? ( ,?? ) , ( x ? 1) f ( x) ? m(2 x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围; 3 1 2 3 n ?1 ( x ? 1) f ( x) )] ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? , Tn ? 1 ? 2[g( ) ? g( ) ? g( ) ? ? g( x n n n n x( e ? e ) (n ? 2,3 ) . 问 : 是 否 存 在 正 常 数 M , 对 任 意 给 定 的 正 整 数 n(n ? 2) , 都 有
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1 1 1 ? ? ? T3 T6 T9

?

1 ? M 成立?若存在,求 M 的最小值;若不存在,请说明理由. T3n

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. ( 1 )已知二阶矩阵 M ? ?

? 2 1? ? (a, b ? R) ,若矩阵 M 属于特征值 ? 1 的一个特征向量 ?a b? ? ? 1? ?1? ?1 ? ? ?3 ? ? ,属于特征值 3 的一个特征向量 ? 2 ? ? ?1? ?. ? ? ? ? (Ⅰ)求实数 a , b 的值; ? ?3 ? (Ⅱ)若向量 ? ? ? ? ,计算 M 5 ? 的值. ?5 ?

1 ? x?? t ? 2 ? (2)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以原点 O 为 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ? C 极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? , 设M 是
圆 C 上任一点,连结 OM 并延长到 Q ,使 OM ? MQ . (Ⅰ)求点 Q 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ) 若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A, B 两点, 点 P 的直角坐标为 (0, 2) , 求 PA ? PB 的值.

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说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的 评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 ACCAD 6-10 BDBCC 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11.15 12.10 13.7 14.288 15. 2 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 b(b ? 3c) ? (a ? c)(a ? c) 得 b ? 3bc ? a ? c ,得 b ? c ? a ? 3bc
2 2 2 2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 3 ? 2bc 2 ? 又 A ? (0, ?) ,∴ A ? ?????????????????6 分 6 (Ⅱ)∵ B 为钝角 ? ? ? 于是 A ? C ? ,又 A ? ,∴ 0 ? C ? 2 6 3 1 a 由正弦定理可知, 2 R ? ? 2 ?1 sin A 1 2 所以 b ? 3c ? sin B ? 3 sin C
于是 cos A ?

5? ? 1 3 ? C ) ? 3 sin C ? cos C ? sin C ? cos( ? C ) 6 3 2 2 ? ? ? 2? ?C? ? 又0 ? C ? , 3 3 3 3 ? ? 1 1? ∴ b ? 3c ? cos( ? C ) ? ? ? , ? ????????????????13 分 3 ? 2 2? ? sin(
[来源:学优高考网]

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设小刘五次参加测试合格的概率依次为 p, p ?

1 2 3 4 4 , p? , p? , p? (p ? ) , 9 9 9 9 9

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1 4 , 9 27 即 27 p 2 ? 24 p ? 5 ? 0 , (3 p ? 1)(9 p ? 5) ? 0 , 1 5 解得 p ? 或 p ? (舍去) 3 9 1 所以小刘第一次参加测试就合格的概率为 . 3
则 (1 ? p )( p ? ) ? 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 1,2,3,

??????????6

所以 ? 的分布列为

1 2 5 45 P(? ? 1) ? ? ? ? , 3 9 9 81 5 6 24 P (? ? 2) ? (1 ? ) ? , 9 9 81 5 6 12 P(? ? 3) ? (1 ? )(1 ? ) ? , 9 9 81
1 2 45 24 P 81 81 45 24 12 129 43 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . 81 81 81 81 27
[来源:gkstk.Com]

?

3 12 81
????????????13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题设 AF ? AB, 且平面 ABEF ? 平面 ABCD ,可知 AF ? 平面 ABCD 又 BD 是圆的直径, AB ? AD, 因此,以点 A 为原点可建立空间直角坐标系如图 由于 AC , BD 是圆 O 的两条互相垂直的直径,且 AC ? 4 2 所以四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形 则 B(4,0,0) , , C (4,4,0) , O(2,2,0) , E (4,0,2) , F (0,0,6) , N (2,0,4)

? AB, ? EB , AB, ? BC ,

? AB ? (4,0,0) 是平面 EBC 的法向量 ? NO ? (0,2,?4) , AB ? NO ? (4,0,0) ? (0,2,?4) ? 0
所以直线 NO // 平面 EBC ???????????????7 分 (Ⅱ)点 M 在线段 AC 上,可设 AM ? ? AC ? ? (4,4,0) ? (4?,4?,0)

NC 的中点为 Q(3,2,2) , MQ ? (3 ? 4?,2 ? 4?,2) , 由题设有 MQ ? 平面 CEF

F

z

? EF ? (?4,0,4) , EC ? (0,4,?2) ,
? ?MQ ? EF ? ?4(3 ? 4? ) ? 8 ? 0 ?? ? ?MQ ? EC ? 4(2 ? 4? ) ? 4 ? 0

N
E A D

O
y C (第 18 题图)

x

B
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解得 ? ?

1 4

AM ? (4?,4?,0) ? (1,1,0) ,
线段 AM 的长为 AM ? 19.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题设可知 a ? 3

2

????????????13 分

2 2 c 2 2 2 2 2 即 ? ,所以 c ? 2 2 .又因为 b ? a ? c ? 9 ? 8 ? 1 3 a 3 x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为: ???????????????4 分 9
因为 e ? (Ⅱ)解法一: 由 m ? k ? 0 知: D(1, 0) , ???????????????????5 分 设直线 A1M 的方程为 y ? k1 ( x ? 3) ,直线 NA2 的方程为 y ? k2 ( x ? 3) .

? y ? k1 ( x ? 3) ? 联立方程组 ? x 2 ,消去 y 得: (1 ? 9k12 ) x2 ? 54k1x ? 81k12 ? 9 ? 0 2 ? ? y ?1 ?9 3 ? 27k12 6k1 解得点 M 的坐标为 M ( ????????8 分 , ). 1 ? 9k12 1 ? 9k12

27k22 ? 3 ?6k2 ????????9 分 , ) 1 ? 9k22 1 ? 9k22 6k1 6k 2 ? 2 1 ? 9k1 1 ? 9k2 2 ? 由 M , D, N 三点共线,有 , ??????10 分 3 ? 27k12 27 k2 2 ? 3 ?1 ?1 1 ? 9k12 1 ? 9k2 2 化简得 (k2 ? 2k1 )(18k1k2 ? 2) ? 0 . 1 由题设可知 k1 与 k2 同号,所以 k2 ? 2k1 ,即. k1 ? (? ) k2 ? 0 ????12 分 2 1 所以,存在 ? ? ? 使得使得 k1 ? ? k2 ? 0 . ???????????13 分 2
同理,可解得点 N 的坐标为 N ( 解法二: 由 m ? k ? 0 知, m ? ? k , 直线 l 方程化为 y ? k ( x ? 1) ,所以 l 过定点 D(1, 0) 当直线 l 的倾斜角 ? ? ? 时, M ? (1, ????????5 分

2 2 2 2 ) , N ? (1,? ) 3 3 ? k1 1 2 2 此时 k1 ? , k2 ? ,? ? ?? k2 2 6 3 1 由此可猜想:存在 ? ? ? 满足条件,下面证明猜想正确 ???????7 分 2
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? y ? k ( x ? 1) ? 联立方程组 ? x 2 ? (1 ? 9k 2 ) x 2 ? 18k 2 x ? 9k 2 ? 9 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?9 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
18k 2 9k 2 ? 9 x ? x ? , 1 2 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2 y y2 ? k1 ? 1 , k2 ? x1 ? 3 x2 ? 3 1 y1 1 y2 所以 ? ? ? 时, k1 ? ?k2 ? ? 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2k ( x1 ? 1)(x2 ? 3) ? k ( x2 ? 1)(x1 ? 3) = 2( x1 ? 3)(x2 ? 3)
则 x1 ? x2 ? ???????10 分

k ( x1 x2 ? 5 x2 ? 5 x1 ? 9) ? 2( x1 ? 3)(x2 ? 3)

k(

9k 2 ? 9 18k 2 ? 5 ? 9) 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2 2( x1 ? 3)(x2 ? 3)
????????????12 分

?

k (9k 2 ? 9 ? 90k 2 ? 9 ? 81k 2 ) ?0 2(1 ? 9k 2 )(x1 ? 3)(x2 ? 3)

由此可得猜想正确,因此,存在 ? ? ? 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 使得 k1 ? ? k2 ? 0 成立 2

???13 分

[e x ? ( x ? a) ? e x ](x ? 1) ? ( x ? a) ? e x e x [ x 2 ? (a ? 1) x ? 1] ? ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 (3 ? a ) ? e 3 ? e, 依题意得: f ?(1) ? 4 4 ?a ? 0 ???????????4 分 2 (Ⅱ)对任意的 x ? ( ,?? ) , 3 ( x ? 1) f ( x) ? m(2 x ? 1) 恒成立等价于 xe x ? m(2 x ? 1) ? 0
[来源:gkstk.Com]

对 x ? ( ,?? ) 恒成立,即 m ? 令 t ( x) ?

2 3

xe 2 对 x ? ( ,?? ) 恒成立 3 2x ? 1

x

xe x 2 ( x ? ) , 则 m ? t ( x)最小 2x ? 1 3 x 2 e (2 x ? x ? 1) ? t ?( x) ? (2 x ? 1) 2 1 由 t ?( x) ? 0 得: x ? 1 或 x ? ? (舍去) 2 2 当 x ? ( ,1) 时, t ?( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, t ?( x) ? 0 3

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2 ? t ( x) 在 ( ,1) 上递减,在 (1,??) 上递增 3 ?t ( x)最小 ? t (1) ? e ?m ? e ???????????????9 分 x ( x ? 1) f ( x) e e1? x e e (Ⅲ) g ( x) ? = , g ( 1 ? x ) ? ? ? x x 1? x x x e ?e e ?e e ?e ? e e ? e x( e ? e )

ex ? e ???????????10 分 ?1 e ? ex k n?k ) ? 1, (k ? 1,2,3,??, n ? 1) 因此有 g ( ) ? g ( n n 1 2 3 n ?1 )] 由 Tn ? 1 ? 2[g( ) ? g( ) ? g( ) ? ? g( n n n n n ?1 n?2 1 Tn ? 1 ? 2[ g ( ) ? g( ) ? ? ? g ( )] n n n 得 2Tn ? 2 ? 2[1 ? 1 ? ? ? 1] ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n , ??????????11 分 ?Tn ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( ? ? ? ? ) ,取 n ? 2m ( m ? N * ), T3 T6 T9 T3n 3 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 ? ? ??? ? ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? m 1 2 3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 1 1 1 m ? 1 ? ? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? m ? 2m ?1 ? 1 ? , ??????12 分 2 2 2 2 2 m 当 m 趋向于 ?? 时, 1 ? 趋向于 ?? . ???????????13 分 2 所以,不存在正常数 M ,对任意给定的正整数 n(n ? 2) , 1 1 1 1 都有 ? ??????????14 分 ? ? ? ? M 成立. T3 T6 T9 T3n ? g ( x) ? g (1 ? x) ?

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(2) (Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,设 Q ( x, y ) ,则 M ( , ) ,

x y 2 2

x y 2 2 2 2 2 ∴ ( x ? 4) ? y 2 ? 16 这就是所求的直角坐标方程 .
∴ ( ? 2) ? ( ) ? 4 分

????? 3

1 ? x?? t ? 2 ? (Ⅱ)把 ? 代入 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,即代入 x2 ? y 2 ? 8x ? 0 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 1 2 3 2 1 得 (? t ) ? (2 ? t ) ? 8(? t ) ? 0 ,即 t 2 ? (4 ? 2 3)t ? 4 ? 0 2 2 2 令 A, B 对应参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t 2 ? ?(4 ? 2 3) ? 0 , t1 ? t2 ? 4 ? 0
所以 PA ? PB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? 4 ? 2 3 . 分 (3) (Ⅰ) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ,
2 2 由 f ( x) ? 0 得 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 2 x ? 1 ? x ? 4 x ? 4 ? x ?

??????? 7

1 , 2

1? ? ????????????4 分 ? ? ? (a ? 2) x ? a ? 4, x ? 2 ? (Ⅱ)当 b ? 1 时, f ( x ) ? ?( a ? 2) x ? a ? 4,?1 ? x ? 2 ? (2 ? a ) x ? a ? 4, x ? ?1 ?
所以所求不等式的解集为 ? ? ?, ? . 2 因为 f ( x) 既存在最大值,也存在最小值, 所以 a ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 所以 a 的取值集合为 ?2?. ???????????????7 分

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