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高中数学3.3.2均匀随机数的产生课件2新人教A版必修


第三章
3.3.2 均匀随机数的产生

命题方向

估计几何概型的概率

[例1]

在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段

AM为边作正方形,用随机模拟方法求这个正方形的面积介 于36cm2与81cm2之间的概率. [分析] 正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为

在12 cm长的线段上取一点M,求使得AM的长度介于6 cm与 9 cm之间的概率.

[解析]

步骤:(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机

数,a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=12a1得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1. N1 (4)计算频率 N . 记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={边长介于6 N1 cm与9cm之间},则P(A)的近似值为 N .

规律总结:用随机模拟方法估计几何概型的步骤:① 确定需要产生随机数的组数,如长度、角度型只用一组,面 积型需要两组;②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围;③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式;④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率.

取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随 机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率.

[分析]

在任意位置剪断绳子,则剪断位置到某一端点

的距离取遍[0,3]内的任意数,并且取到每一个实数都是等可 能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应 [0,3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪 断位置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段的长都不小于1 m.这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数 之比就是事件发生的频率.

[解析] 解法1:设“剪得两段长都不小于1 m”为事件 A. (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数a1= RAND. (2)经过伸缩变换,a=3a1. (3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数 N. N1 (4)计算频率fn(A)= N 即为概率P(A)的近似值.

解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上 刻度[0,3](这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示 剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N,则 N1 fn(A)= N 即为概率P(A)的近似值.

规律总结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用 转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费 力,试验次数不可能很大;解法1用计算机可以产生大量的 随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内 多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻 的认识.

命题方向
[例2]

估计不规则图形的面积

利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=2x

与x轴、x=± 1围成的部分)的面积.

[分析]

在坐标系中画出正方形,用随机模拟方法可以

求出阴影部分与正方形的面积之比,从而求得阴影部分面积 的近似值.

[解析]

步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随

机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5),b=2b1,得到 一组[-1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数. (3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a,b)的个数].

N1 (4)计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值. N S (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P= 4 , N1 S 则 N =4. 4N 1 4N 1 故S= ,即阴影部分面积的近似值为 . N N

规律总结:利用随机模拟方法估计图形面积的步骤 是:①把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规 则图形(长方形或圆等)的一部分,并用阴影表示;②利用随 机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部分的概 NA 率P(A)= N ;③设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是 S N1 N1 S′,则有 = ,解得S= S′,则所求图形面积的近似 N S′ N N1 值为 S′. N

利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y=x3和x=2以及x 轴所围成的部分)的面积.

[分析]

解答本题可先计算与之相应的规则图形的面

积,然后利用随机模拟的方法求出几何概率,并对阴影部分 的面积进行估算.

[解析]

在坐标系中画出矩形(x=0,x=2,y=0,y=8

所围成的图形),利用面积比与概率、频率的关系进行求解. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=2a1,b=8b1; (3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足b<a3)点(a, b)的个数N1;

N1 (4)计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值; N (5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点落在 S S N1 16N1 阴影部分的概率为 .所以 = .所以S≈ 即为阴影部分 16 16 N N 面积的近似值.


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