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导数深


10.已知函数 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=A,求 lim
x?a

f ( 2 x ? a ) ? f ( 2a ? x ) . x?a

11.在抛物线 y ? x 2 上求一点 P,使过点 P 的切线和直线 3x-y+1=0 的夹角为

? . 4

? x( x ?

0) 12.判断函数 f ( x) ? ? 在 x=0 处是否可导. ?? x( x ? 0)

13.求经过点(2,0)且与曲线 y ?

1 相切的直线方程. x

?x 2 ? x ? 1 12.已知函数 f(x)= ? ?ax ? b

x?0 ,试确定 a、b 的值,使 f(x)在 x=0 处可导. x?0

13.设 f(x)=

( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? n) ,求 f′(1) . ( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? n)

14.利用导数的定义求函数 y=|x|(x≠0)的导数.

12.求证:双曲线 xy=a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数.

14.已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 一点 P,使△PAB 面积最大.

上求

11.水以 20 米 3/分的速度流入一圆锥形容器,设容器深 30 米,上底直径 12 米,试求当水深 10 米时, 水面上升的速度.

11.已知函数 y=(x)是可导的周期函数,试求证其导函数 y=f′(x)也为周期函数.

7.已知曲线 y= 400 ? x 2 +

3 (100-x) (0 ? x ? 100 ) 在点 M 处有水平切线, 5

8.若可导函数 f(x)是奇函数,求证:其导函数 f′(x)是偶函数.

5.函数 y=log3cosx 的导数为___________. 1 c 9.设函数 f(x)满足:af(x)+bf( )= (其中 a、b、c 均为常数,且|a|≠|b|) ,试求 f′(x) . x x

13.试证方程 sinx=x 只有一个实根.

14.三次函数 f(x)=x3-3bx+3b 在[1,2]内恒为正值,求 b 的取值范围.

12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值.求这个极小 值及 a、b、c 的值.

13.函数 f(x)=x+

a +b 有极小值 2,求 a、b 应满足的条件. x

14.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 式.

1 时,f(x)的极小值为-1,求函数的解析 2

11.求下列函数的最大值和最小值 (1) f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 2(?1 ? x ? 1) (2) f ( x) ?
1? x ? x2 (0 ? x ? 1) 1? x ? x2

12.已知实数 x,y 满足 x 2 ? y 2 ? 2x ,求 x 2 y 2 的取值范围。

13.求函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) 在[-2,2]上的最大值和最小值。
2

2 3

1 4

14.矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y ? 4 ? x 2 在 x 轴上方的曲线上,求这种矩形面 积最大时的边长分别是多少?

9.体积为 V 的正三棱柱,底面边长为___________时,正三棱柱的表面积最小. 11.过曲线
x2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 上一点引切线,分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于 A、B 两点,求当 4

线段|AB|最小时的切点的坐标。

13.求函数 y ? lg 1 ? x 2 的单调区间。

11.已知正三棱柱的体积为 V,试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。

12.有一印刷器的排版面积(矩形)为 432cm ,左、右各留 4cm 宽的空白,上、下各留 3cm 宽的空白。应如何选择 纸张的尺寸,才能使纸的用量最少?

2


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