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第5讲函数的单调性与最值


程桥高级中学 2013 届高三数学复习学案

第5讲
一、复习目标:

函数的单调性与最值

理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性; 理解函数最大(小)值的概念及其几何意义; 二、基础梳理: 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义: 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都 当 x1<x2 时,都有 ,那么就说函 有 ,那么就说函

数 f(x)在区间 D 上是增函数

数 f (x )在区间 D 上是减函 数

图象 描述 图象自左向右图象是 的 图象自左向右图象 是 (2)单调区间的定义: 的

2、函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满 足 ①对于任意 x∈I,都 条件 . 有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 M为 值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M为 值

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3、一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= x 分 别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞, 0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0, +∞),不能用“∪”连接. 4、两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函 x1-x2 x1-x2 数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a, b]上是增函数; 1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x) (x 在[a,b]上是减函数. 5、两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 6、四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函 数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 三、双基自测 1、设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的 解集为 .

2、已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范 围为 .

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3 、 已 知 f(x) 为 R 上的 减 函数 ,则 满足 f ( 是 .

1 x

) ? f (1) 的 实 数 x 的取 值范 围

4、函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 2 5、若 x>0,则 x+ x的最小值为________. 四、考点探究: 考点一、函数的单调性的判断 例 1、试讨论函数 f(x)= x 的单调性. x +1
2

方法总结: 练习 1、讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

考点二、利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) x2+a 例 2、已知函数 f(x)= x (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围.

方法总结: x-5 练习 2、 函数 y= 在(-1, +∞)上单调递增, a 的取值范围是 则 x-a-2
3

.

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考点三、利用函数的单调性求最值 例 3、已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时, 2 f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

方法总结: ?x1? 练习 3、已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x> ? 2? 1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 规范解答 2——如何解不等式恒成立问题 【问题研究】 在恒成立的条件下,如何确定参数的范围是历年来高考考查的重 点内容,近年来在新课标地区的高考命题中,由于三角函数、数列、导数知识的 渗透,使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度,因而含参数不等式的 恒成立问题常出现在综合题的位置. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为 函数的最值问题, 或者区间根的分布问题,进而运用最值原理或者区间根原理使 问题获解,常用方法还有函数性质法,分离参数法等. 示例 1、已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 示例 2、 x∈(1,2)时, 当 不等式 x2+mx+4<0 恒成立, m 的取值范围是________. 则

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