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2016年上海市高三数学竞赛试卷答案


2016 年上海市高三数学竞赛试卷
2016 年 3 月 27 日上午 9:30~11:30

【说明】解答本试卷不得使用计算器.解答请写在答题纸上. 一、填空题(本大题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c 均为常数),函数 f1(x)的图像与函 数

f(x)的图像关于 y 轴对称,函数 f2(x)的图像与函数 f1(x)的图像关于直线 y=1 对 称,则函数 f2(x)的解析式是 2.复数 z 满足|z|=1, w=3z2 ? 方程为 3. . 关于 x 的方程 arctan 2 x ? arctan 2? x ? .
2 在复平面上对应的动点 W 所表示曲线的普通 z2

?
6

的解是



4. 红、蓝、绿、白四颗骰子,每颗骰子的六个面上的数字为 1,2,3,4,5,6;则 同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于 36,共有 能. 5. 已知函数 f(x)= cos(? x), g(x)=2xa ? =f( x2 )成立,则实数 a 的取值范围为 6. 如图,有 16 间小三角形的房间.甲、乙 两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房 间,那么他们在不相邻(指没有公共边)房间 的概率是 7. . (用分数表示) ??? ? ??? ? 在空间, 四个不共线的向量 OA 、OB 、
1 (a ≠ 0); 若存在 x1 、 x2 ? [0,1], 使 f( x1 ) 2

种可



??? ? ???? OC 、 OD ,它们两两间的夹角都是 ? ,则 ? 的
大小是 . .

8.已知 a>0,b>0,a3+b3=1,则 a+b 的取值范围为

二、解答题(本大题满分 60 分) 9. ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 已 知 五 边 形 A1B1C1D1E1 内接于边长为 1 的正五边形 ABCDE; 求证:五边形 A1B1C1D1E1 中至少有一条边的 长度不小于 cos
E1 A E D1 D

?
5



A1 B B1 C

C1

10. (本题满分 15 分)设 p , q 和 r 是素数,且 p | qr ?1 ( p | qr ?1 表示 qr ?1 能被 p 整除), q | rp ?1 和 r | pq ?1 ;求 pqr 的所有可能的值.

1 1 11. (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足递推关系 an ?1 ? ? an ? n( n ? N * ) ; 2 3

求所有 a1 的值,使 ?an ? 为单调数列,即 ?an ? 为递增数列或递减数列.

12. (本题满分 15 分)已知 等边三角形 ABC 的边长为 5,延 长 BA 至点 P,使得|AP|=9. D 是 线段 BC 上一点(包括端点) ,直 线 AD 与 ?BPC 的外接圆交于 E、 F 两点,其中|EA|<|ED|. (1) 设 |BD|=x, 试 将 |EA| ? |DF| 表示为关于 x 的函数 f(x); (2)求 f(x)的最小值.
B F A E P

D C

一、填空题 1. f ( x ) ? ax 2 ? bx ? 2 ? c. 2. x ?
2

y2 ? 1. 25

3. x ? log2 3.

4.48. 二、解答题

5. [?

1 3 , 0) ? (0, ] . 2 2

6.

17 20

7. arccos( ? )

1 3

8. (1, 3 4]

9 、已知五边形 A1 B1 C1 D1 E1内 接于 边 长 为 1 的 正方 形 ABCDE ; 求证 : 五边形
A1 B1 C1 D1 E1 中至少有一条边的长度不小于 cos

?
5



证明: AE1 , AA 1 , BA 1 , BB 1 , CB 1 , CC1 , DC1 , DD 1 , ED 1 , EE 1 的长分别为

a1 , a2 , b1 , b2 , c1, c2 , d1 , d2 , e1, e2 。
于是 (a1 ? a2 ) ? (b1 ? b2 ) ? (c1 ? c2 ) ? (d1 ? d2 ) ? (e1 ? e2 ) ? 5 由平均数原理, (a1 ? a2 ),(b1 ? b2 ),(c1 ? c2 ),(d1 ? d2 ),(e1 ? e2 ) 必有一个大于等于1 。 不妨设 a1 ? a2 ? 1 ,故 a2 ? 1 ? a1 。
2 A1 E12 ? a12 ? a2 ? 2a1a2 cos

3? 2? 2 ? a12 ? ?1 ? a1 ? ? 2a1 ?1 ? a1 ? cos 5 5

? 2a12 (1 ? cos

2? 2? ? ) ? 2 ?1 ? cos 5 5 ?

? ? a1 ? 1 ?

2? ? 1? 1? 2? ? ? 2 ? 2(1 ? cos ) ? a1 ? ? ? ?1 ? cos ? ? (cos ) 5 ? 2? 2? 5 ? 5

2

10.解:由题设可知 pqr | (qr ? 1)( rp ? 1)( pq ? 1) ;

?(qr ? 1)(rp ? 1)( pq ? 1) ? p2q2r 2 ? pqr ( p ? q ? r ) ? pq ? qr ? rp ? 1,
? pqr | pq ? qr ? rp ? 1, 即

pq ? qr ? rp ? 1 1 1 1 1 为正整数; ? ? ? ? pqr p q r pqr

记k ?

3 1 1 1 1 ? ? ? , 由于 p, q, r ? 2, 故 1 ? k ? , 从而只能 k ? 1 . 2 p q r pqr

由对称性,不妨设 p ? q ? r ; 若 p ? 3, 则 k ?

1 1 1 ? ? ? 1, 矛盾,故 p ? 2 . p q r
1 2 ? ? 1, 矛盾. 2 5

若 q ? 3, 则 q ? 5, k ?

若 q ? 2, 则 k ?

1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? 1, 也矛盾,故 q ? 3 . 2 2 r 4r

最后,由 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ,得r ? 5 . 2 3 r 6r

经检验, p ? 2, q ? 3, r ? 5 符合题意. ? pqr ? 30 . 11. 解: an?1 ? ?

1 1 1 an ? n ( n ? N * ) ? 3n?1 an?1 ? ? ? 3n?1 an ? 3, 2 3 2

令 bn ? 3n an , 则 bn?1 ? ?

3 6 3 6 bn ? 3, bn?1 ? ? (bn ? ),( n ? N * ) 2 5 2 5

? bn?1 ?

6 3 6 3 6 ? ( ? )n?1 (b1 ? ) ? ( ? )n?1 (3a1 ? ), 5 2 5 2 5

an ?

bn 1 6 6 3 2 1 2 1 ? n [ ? (3a1 ? )( ? )n?1 ] ? ( )n?1 ? (a1 ? )( ? )n?1 n 3 3 5 5 2 5 3 5 2

1 2 2 2 ? ( ? )n?1[ ( ? )n?1 ? (a1 ? )]. 2 5 3 5
若 a1 ?

2 2 2 2 5 2 ? 0, 则由 ( ? )n?1 ? a1 ? ,可得 n ? 1 ? log 2 ( a1 ? ), 5 5 3 5 2 5 3 2 2 2 2 5 2 a1 ? ) 时, ( ? )n?1 ? (a1 ? ) 与 a1 ? 同号; 5 3 5 5 2 5

故当 n ? N * , 且 n ? 1 ? log 2 (
3

而 (? )

1 2

n ?1

正负交叉,从而 an 正负交叉, {an } 不是单调数列.

当 a1 ?

2 2 1 n ?1 时, an ? ( ) 为递减数列; 5 5 3 2 时, {an } 为单调数列. 5

综上,当且仅当 a1 ?

12. 解: (1)设 u ? EA , v ? AD , ? ? DF , 则 f ( x ) ? u ? w . 在 ? ABD 中,由余弦定理得, v ?

AB ? BD ? 2 AB BD cos ?ABD

2

2

? 52 ? x 2 ? 2 ? 5 x ?

1 ? x 2 ? 5 x ? 25 . 2

在 ? PBC 的外接圆中运用相交弦定理,得 EA AF ? BA AP , ED DF ? BD DC ,
2 即 u(v ? w ) ? 45,( u ? v )w ? x(5 ? x ); 两式相减得 v(u ? w) ? x ? 5 x ? 45, 故

f ( x) ? u ? w ?
(2)设 t ?

x 2 ? 5 x ? 45 x 2 ? 5 x ? 45 ? (0 ? x ? 5) v x 2 ? 5 x ? 25

x2 ? 5 x ? 25 ? 0 ,则

f ( x) ?

x 2 ? 5 x ? 45 x 2 ? 5 x ? 25

?

t 2 ? 20 20 20 ?t? ? 2 t? ?4 5. t t t

当且仅当 t ?

20 5? 5 时等号成立,即 t ? x2 ? 5 x ? 25 ? 2 5 ,解得 x ? t 2

所以,当 x ?

5? 5 时, f ( x ) 取到最小值 4 5 。 2


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