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高二物理竞赛(9)参考答案


高二物理竞赛(9)参考答案
一、1. 用作图法求得物 AP ,的像 A' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 如图预解16-5所示. 图中 O 为 L 的光心,AOF ' 为主轴,F 和 F ' 为 L 的两个焦点,AP LM , 为物,作

图时利用了下列三条特征光线:

(1)由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M ,然后 被 M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 ? 。反射线射入透镜时通过光心 O , 故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ' . (2) 由 P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR , 它经过 L 折射后的出射线与主轴 平行,垂直射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L ,经 L 折射后的出射线通过焦点 F ,即为图中的 RFP . (3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦 点 F ' ,即沿图中的 QF ' 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ' 对称的 F 点, 即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 的辅助线
S ' OS , S ' OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点,由于入射平行光线经透镜 后相交于焦面上的同一点, 故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点, 图中的 QT 即为 QF 经 L

折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P' 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A' 即 A 的像点.由 图可判明,像 A' P ' 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A' P ' ,即为正确的 解答。 2. 按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的伙置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 v1 ? 2 f ,即像在平 向镜后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2 f 处,对 M 来说是 虚物,成实像于 M 前 2 f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物,而经透镜 L 而成的像为第三像,这时因为光线由 L 右方入射,且物(第 二像)位于 L 左方,故为虚物,取物 u3 ? ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 ? ? 可得像距 u3 v3 f

v3 ?

fu3 2 ? f ?0 u3 ? f 3
1

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离

2 f 处,像的大小 H ??? 3

可由

H ??? v3 1 ? ? 求得,即 H ?? u3 3

1 1 H ??? ? H ?? ? H 3 3
像高为物高的 。 二、 物体 S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。 设透镜的主轴与玻璃板下表面和 上表面的交点分别为 A 和 B , S 作为物,通过玻璃板 H 的下表面折射成像于点 S1 处,由图 预解17-3,根据折射定律,有 n? sin i ? n sin r 式中 n? ? 1.0 是空气的折射率,对傍轴光线, i 、 r 很小, sin i ? tan i , sin r ? tan r ,则

1 3

AD AD ?n SA S1 A
式中 SA 为物距, S1 A 为像距,有

S1 A ? nSA

(1)

将 S1 作为物, 再通过玻璃板 H 的上表面折射成像于点 S2 处, 这时物距为 S1B ? S1 A ? AB . 同 样根据折射定律可得像距

S2 B ?

S1 B n

(2)

将 S2 作为物,通过透镜 L 成像,设透镜与 H 上表面的距离为 x ,则物距 u ? x ? S2 B .根据 题意知最后所成像的像距 v ? ?( x ? SA ? AB) ,代入透镜成像公式,有

1 1 1 ? ? x ? S2 B x ? SA ? AB f
由(1)、(2)、(3)式代入数据可求得 x ? 1.0 cm

(3)

(4)

即 L 应置于距玻璃板 H 上表面1.0 cm 处。 三、1.先求凸球面的曲率半径 R 。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射,它在球 面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图 预解 18-3-1 所示。 C 点为球面的球心,

CO ? R ,由正弦定理,可得

2

R? f sin r ? R sin(r ? i )
由折射定律知

(1)

sin i 1 (2) ? sin r n 当 i 、 r 很小时, sin r ? r , sin(r ? i ) ? r ? i , sin i ? i ,由以上两式得 1?
所以

f r n 1 ? ? ?1? R r ? i n ?1 n ?1

(3)

R ? (n ? 1) f
2. 凸面镀银后将成为半径为 R 的凹面镜,如图预解 18-3-2 所示 令 P 表示物所在位置, P 点经平 面折射成像 P ? ,根据折射定律可推出

(4)

P?O ? nPO

(5)

由于这是一个薄透镜, P ? 与凹面镜的 距离可认为等于 P?O ,设反射后成像 于 P ?? ,则由球面镜成像公式可得 1 1 2 ? ? (6) P??O P?O R 由此可解得 P??O ? 36 cm ,可知 P ?? 位于平面的左方,对平面折射来说, P ?? 是一个虚物,经 平面折射后,成实像于 P ??? 点。

P ???O 1 ? P ??O n
所以

(7)

P???O ? 24 cm

(8)

最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。 四、

由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光 线在棱镜中的部分与光轴平行。由 S 射向 L1 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对
3

称性可知

i1 ? r2 i2 ? r1
由几何关系得 由图可见

① ② ③

r1 ? i2 ? ? ? 60?

i1 ? ? ? r1
又从 ?FSO1 的边角关系得



tan ? ? y / f
代入数值得

⑤ ⑥

? ? arctan(14.3/ 30.0) ? 25.49?
由②、③、④与⑥式得 r1 ? 30? , i1 ? 55.49? 根据折射定律,求得

n?

sin i1 ? 1.65 sin r1



五、 (1) 右 f 实 倒 1 。 (2) 左 2f 实 倒 1 。 六、把酒杯放平,分析成像问题. A α P C n1 i θ O n0=1 r β
图1

P?

1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1 和 n0=1.在图 1 中,P 为画片中 心,由 P 发出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变方向进入空气中;由 P 发出的与 PO 成 ??角的另一光线 PA 在 A 处折射.设 A 处入射角为 i,折射角为 r,半径 CA 与 PO 的夹角为 ??,由折射定律和几何关系可得? ? ? 在△PAC 中,由正弦定理,有

n1 sin i ? n0 sin r ?

???? ?2??

? ? i ?? ?

R PC ? sin ? sin i 考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有

?3?

r?

n1 i n0

(4)

4

??

R PC

i

(5)

由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R 的数值及 PC ? PO ? CO ? 4.8cm ,可得

? ? 1.31i
r ? 1.56i

?6? ???

由?6?、???式有? r ? ? ?? ???? ??? ? ? 由上式及图 1 可知,折射线将与 PO 延长线相交于 P , P 即为 P 点的实像.画面将成实像 于 P ? 处. 在△CA P'中,由正弦定理有

R CP ? ? sin ? sin r
又有 考虑到是近轴光线,由?9)、????式可得

(9) ?????

r ?? ? ?

CP? ?
又有

r R r ??

(11)

OP ? ? CP ? ? R
由以上各式并代入数据,可得

(12)

OP ? ? 7.9cm

(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距 O 点 7.9cm 处.已知 O 到杯口平 面的距离为 8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画 片上的景物. 2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为 n1 和 n2,如图 2 所示,考 虑到近轴光线有

r?

n1 i n2

(14) P? ?15? β

A

r O n2

代入 n1 和 n2 的值,可得

r ? 1.16i
与???式比较,可知 r ??

P

??
n1
图2

i C

θ

?16? 由上式及图 2 可知,折射线将与 OP 延长线相交于 P ? , P ? 即为 P 点的虚像.画面将成虚像 于 P ? 处.计算可得

CP? ?
又有

r R ? ?r

(17)

OP? ? CP? ? R
由以上各式并代入数据得

(18)

5

OP ? =13cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于 P'处,距 O 点 13cm.即距杯口 21cm. 虽然该 虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离, 但仍然离杯口处足够远, 所以人眼 在杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像.? 七、?

八、

f (R ? f ) 九、 (1) f (R ? f ) ; R R (2)1 ;1 (3)对凹面镜光路图如图 5-a 所示。 对凸面镜光路图如图 5-b 所示。

6

十、

入射的两条光线如图所示。α1、β1 是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角; α2、β2 是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有 nsinα1=sinβ1 (1) sinα2=nsinβ2 (2) 由几何关系有 β1=α1+δ1 (3) α2=β2+δ2 (4) 设球面的半径为 R,注意到 α1、α2、δ1、δ2 都是小角度,故有 Rα1=aδ1 (5) Rα2=bδ2 (6) 根据题给的条件,(1)、(2)式可近似表示成 nα1=β1 (7) α2=nβ2 (8) 由(3)式?(8)式得 n ? 十一、

b a

(9)

十二、

7

十三、图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进 入的区域) ,光线在球面上的入射角和折射角分别为 i 和 i ? ,折射光线与坐标轴的交点在 P 。 令轴上 OP 的距离为 x , MP 的距离为 l ,根据折射定律,有

sin i? ?n sin i

(1)

在 ?OMP 中

l x ? sin i sin i? 2 l ? R 2 ? x 2 ? 2 Rx cos i
由式(1)和式(2)得
x ? nl

(2) (3)

再由式(3)得

x2 ? n2 ( R2 ? x2 ? 2Rx cos i)
设 M 点到 Ox 的距离为 h ,有
h ? R sin i

R cos i ? R2 ? R2 sin 2 i ? R2 ? h2


x2 ? R 2 ? x2 ? 2 x R 2 ? h2 n2
8

x2 (1 ?
解式(4)可得

1 ) ? 2 x R 2 ? h2 ? R 2 ? 0 2 n

(4)

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(5)

为排除上式中应舍弃的解,令 h ? 0 ,则 x 处应为玻璃半球在光轴 Ox 上的傍轴焦点,由上 式

x?

n(n ? 1) n n R? R或 R 2 n ?1 n ?1 n ?1

由图可知,应有 x ? R ,故式(5)中应排除±号中的负号,所以 x 应表示为

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(6)

上式给出 x 随 h 变化的关系。 因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有 h ? h0 ,其中折射光 线与 Ox 轴交点最远处的坐标为

x0 ?

2 2 n 2 R 2 ? h0 ? n R 2 ? n 2 h0

n2 ? 1

(7)

在轴上 x ? x0 处,无光线通过。 随 h 增大,球面上入射角 i 增大,当 i 大于临界角 iC 时,即会发生全反射,没有折射光 线。与临界角 iC 相应的光线有

hC ? R sin iC ? R
这光线的折射线与轴线的交点处于

1 n

n2 R 1 ? xC ? n ?1
2

1 n2 ?

nR n2 ? 1

(8)

在轴 Ox 上 R ? x ? xC 处没有折射光线通过。 由以上分析可知,在轴 Ox 上玻璃半球以右

9

xC ? x ? x0

(9)

的一段为有光线段, 其它各点属于无光线段。x0 与 xC 就是所要求的分界点, 如图复解 20-4-2 所示。 十四、 (1)考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求,组合 透镜所在的平面应垂直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光源的连线,O2 位 ? 、 S2 ? 、 S3 ? 为三个光束中心光 于 z 轴上,如图 1 所示.图中 M M ? 表示组合透镜的平面, S1 线与该平面的交点. S 2 O2 = u 就是物距.根据透镜成像公式

1 1 1 ? ? u L?u f

(1)

1 u ? [ L ? L2 ? 4 fL ] 2
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点, 来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交 叉,必须有 2utan? ≤h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,算得

u ? (6 ? 3 2 )h ≈1.757h

(2)

此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线. 为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点, 3 个透镜的光 心 O1、O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) .由几何关系知,有

L?u 1 1 h?( ? 2 )h ? 0.854h L 2 4 ? 之下与 S1 ? 的距离为 即光心 O1 的位置应在 S1 ?O1 ? h ? O1O2 ? 0.146h (4) S1 ? 之上与 S 3 ? 的距离为 0.146h 处.由(3) 同理,O3 的位置应在 S 3 O1O2 ? O2 O3 ?

(3)

K 式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于 C1 圆 1 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. S 1’ (2)现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合 0.146h O1 0.439h 透镜. Q W2 Q’ x2 T 因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置 h T’ 0.854h N N’ 到 O1、O2、O3 处时,由于 O1O2 =O2 O3 =0.854h<2r,透镜必 x1 0.439h W1 然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然 O2 (S2’) 后再将它们粘起来,才能满足(3)式的要求.由于对称关系, 圆2 我们只需讨论上半部分的情况. C2’ 图 2 画出了 L1、L2 放在 M M ? 平面内时相互交叠的情况 ?、 (纸面为 M M ? 平面) .图中 C1、C2 表示 L1、L2 的边缘, S1 图2 ? 为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 与 S2 ? 为圆心的圆 1 和以 S 2 ? (与 O2 重合)为圆心的圆 2 分别是光源 S1 和 S2 投 O1O2 的交点. S1 射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径均为 ? ? u tan ? ? 0.439h (5) 根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜.首先,圆 1 的 K 点(见图 2)是否落 在 L1 上?由几何关系可知

? ? ?0.439 ? 0.146?h ? 0.585h ? r ? 0.75h O1 K ? ? ? O1 S1

(6)

10

故从 S1 发出的光束能全部进入 L1. 为了保证全部光束能进入透镜组合, 对 L1 和 L2 进行加工 时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分. 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法.在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与 圆 1 和圆 2 相切的切线 QQ? 和 NN ? . 若沿位于 QQ? 和 NN ? 之间且与它们平行的任意直线 T T ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割,去掉两透镜的弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需 组合透镜的上半部.同理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起 来,就得到符合需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都会 聚到 P 点. 现在计算 QQ? 和 NN ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜 L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则对任意一条切割线 T T ? , x1、x2 之和为

d ? x1 ? x2 ? 2r ? O1O2 ? 0.646h
最小值(x2m),

(7)

由于 T T ? 必须在 QQ? 和 NN ? 之间,从图 2 可看出,沿 QQ? 切割时,x1 达最大值(x1M),x2 达

?O1 ? ? x1M ? r ? S1 ?O1 的值,得 x1M ? 0.457h 代入 r,??和 S1 (8) x2m ? d ? x1M ? 0.189h 代入(7)式,得 (9) 由图 2 可看出,沿 NN ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m), x2M ? r ? ? x 2 M ? 0.311h 代入 r 和??的值,得 (10) x1m ? d ? x2 M ? 0.335h (11) 由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同.
十五、 (1)圆筒内光学元件的相对位置如图 1 所示.各元件的作用如下:

圆筒轴

S

狭缝

L1
图1

L2

P

L3

狭缝 S:光源的光由此进入分光镜,观察到的谱线就是狭缝的像. 透镜 L1: 与狭缝的距离为 f1, 使由狭缝射来的光束经 L1 后成为与圆筒轴平行的平行光束. 分光棱镜:使由 L1 射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的 平行光束. 透镜 L2:使各种单色平行光束经 L2 成像在它的焦平面上,形成狭缝的像(即光谱线) . 观察屏 P:位于 L2 焦平面上,光源的谱线即在此屏上. 透镜 L3:与 P 的距离 ? f3,是人眼观察光谱线所用的放大镜(目镜) . (2)已知钠黄光的谱线位于 P 的中央,S 的像位于 L2 的焦点上,由此可知,对分光棱镜
11

系统来说,钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行,由于棱镜系统是左右对称,因此钠黄 光在棱镜内的光路应该是左右对称的, 在中间棱镜中的光路应该与轴平行, 分光元件中的光 路图如图 2 所示,左半部的光路如图 3.用 i1、r1、i2、r2 分别表示两次折射时的入射角和折 射角,用 n1、n2 分别表示两块棱镜对 D 线的折射率,由图 3 可以看出,在两棱镜界面上发 生折射时, i2 ? r2 ,表明 n2 ? n1 ,即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成,两侧棱镜 用冕牌玻璃制成,故有 n1 ? n D =1.5170, n 2 ? n ? D =1.7200. i1

?
r1 i2

n2 r2

n1
图2 图3

? 2

由几何关系可得

i1 ? r2 ?

?
2

( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

r1 ? i2 ? ?
由折射定律可得

sin i1 ? n1 sin r1
n1 sin i2 ? n2 sin r2
从以上各式中消去 i1 、 i2 、 r1 和 r2 得

1 ?? ?? ? ?? ? ? 2n1 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? ? n2 n1 2? ?2? ?2? ?
解(5)式得

( 5)

sin ? ? ? ?2?
以 n1 ? 1.5170 , n2 ? 1.7200 代入,得

2?

??

4n12 ? ?n2 ? 1? 4 n12 ? n2

2

?

?

( 6)

? ? 123.6
十六、旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此抛物凹面镜的焦距为

( 7)

f ?
由(1)式,旋转抛物面方程可表示为

g . 2? 2

(1)

12

z?

r2 . 4f

(2)

停转后液面水平静止. 由液体不可压缩性, 知液面上升. 以下求抛物液面最低点上升的高度. 抛物液面最低点以上的水银,在半径 R 、高

R 2 4 f 的圆柱形中占据体积为 M 的部分, 即附图中
左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体;其余体积

V

M

?

为 V 的部分无水银.体 M 在高度 z 处的水平截面为圆环,利用抛物面方程,得 z 处圆环面 积

S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ? .
将体 V 倒置,得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体 ? ,相应抛物面方程变为

(3)

z?
其高度 z 处的水平截面为圆面,面积为

R2 ? r 2 , 4f

(4)

S? ? z ? ? πr 2 ? π ? R 2 ? 4 fz ? ? S M ? z ? .
由此可知

(5)

M ? ? ?V ?
即停转后抛物液面最低点上升

1 2 R2 , πR 2 4f

(6)

h?

M R2 . ? πR 2 8 f

(7)

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜,抛物镜的焦点就是球面镜的焦 点,故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反 射而成,而先后看到的像的大小、正倒无变化,这就要求两像对眼睛所张的视角相同.设眼 长为 y 0 .凹面镜成像时,物距 u 即所求距离,像距 v 与像长 y 分别为

v?

fu , u- f

(8)

y??

v f y0 ? y0 . u f ?u

(9)

平面镜成像时,由于抛物液面最低点上升,物距为

u? ? u ? h ? u ?

R2 , 8f

(10)

13

像距 v? 与像长 y? 分别为

v? ? -u? , v? y ? ? ? y0 ? y0 . u?
两像视角相同要求

(11) (12)

y y? ? , u ? v u? - v ?


(13)

1 1 , ? 2 2u ? u f 2u ? R 2 4 f
此处利用了(8)—(12)诸式.由(14)式可解得所求距离

(14)

u?
十七、 (1) (2)

R . 2

(15)

D ?s l

l ? d

附 1、2 两问的参考解法: (1)求 S ? 经双缝产生的干涉图像的零级亮纹 P0? 的位置

?, 设 P0? 点的坐标为 y0 它也就是光源 S ? 与 S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离,


? ? 0 ? y0 ? P0?P0 ? ? y ? y0 ? ? ? ? 由双缝到 P0? 点的光程差 ?1 ? S2 P 0 ? S1 P 0 ,从 S 1 作 S 2 P 0P 0 0 的垂线交于 H 点,三角形 OP
与三角形 S1HS2 相似,因 D ?? d , 则

?1 ?

d d ? ? ?y y0 D D
y

(附 1)

P0?

?2

G S ?s S? l d

S1 O S2 H ?1 D

? y0
z

P0

图1

从 S2 作 S? S1 的垂线交于 G, S ? 到双缝的光程差

?2 ? S?S2 ? S?S1
? d ,则 三角形 S OS? 与三角形 S1GS 2 相似,因 l ?

(附 2)

14

d ? 2 ? S?S2 ? S?G ? GS1 ? ?GS1 ? ? ? s l
对满足零光程差条件的 P0? 而言,

?

?

(附 3)

d d? s ?S?S2 ? S2 P ?? ? ? ?? ?y? ?0 0 ? ? ?S S1 ? S1 P 0 ? ? ?1 ? ?2 ? ? D l


?y?

D ?? s l D ? d

(附 4)

(2)在线光源情况下,可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为

?y ?

(附 5)

? s 值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源. 不难证明, 它们经双缝产生干涉条纹
的间距 ?y 均如(5)式所示.宽度为 w 的扩展光源是由一系列 ? s 值不同的、连续分布的、 相互独立的线光源构成. 因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产 生干涉条纹的强度相加而成.当扩展光源宽度为 w 时,对于光源最边缘点有

?s ? w
代入(4)式

(附 6)

?y?


D l

w

(附 7)

?y ? ? y

(附 8)

则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距. 由于扩展光源各部 分产生的干涉条纹的光强分布都相同,各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等, 变得一片模糊而无法分辨.由(5)式和(7)式,求得为使条纹能被分辨,扩展光源允许的 最大宽度

w?
(3)解法一: 如图 2 所示, aa ? 是由扩展光源上端边缘发出 的平行光, bb ? 是由扩展光源下端边缘发出的平行 光 . 设 ab 光 线 交 于 M 1 点 , a ?b ? 光 线 交 于 M 2 点. aa ? 光束中的光线 a 经过 M1 M 3 S1 P 到达观察 屏上 P 点; 光线 a ? 经过 M 2 M 4 S2 P 到达观察屏上 P 点, 两相干光波产生干涉, 在观察屏上产生一套干 涉条纹.同理,平行光束 bb ? 在观察屏上产生另一 套干涉条纹. 从扩展光源不同部位发出的、 倾角在 0 和 ? 之间不同角度入射的平行光束,经迈克尔逊

l ? d
a b

(附 9)


h

?

M1 H

双孔屏 S1 d

观察屏 P

y

M3
M4

S2

P0

a? b?

?

M2

图2

15

测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔, 然后在观察屏上产生很多套干涉条纹. 这些干涉 条纹光强度彼此相加,屏幕上就形成了光强度的分布图像.根据第 2 问的结果,其清晰度取 决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光 aa ? 与 bb ? 分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对 位置错开的程度. 由对称性考虑,平行光束 aa ? 中两条光线 a 和 a ? 在观察屏上 P0 的光程差为 0,即平行光

aa ? 产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在 P0 处.现讨论以倾角 ? 斜入射的平行光束 bb ? 通过
整个光学装置后,在观察屏上某点发生干涉时的光程差.光束 bb ? 中的光线 b 入射 M1 的光 线经 M3 反射到达 S1 ,光线 b 从 M 1 点算起,所经光程为 M1M3 ? M3 S1 ;光线 b ? 入射 M2 的光 线经 M4 反射到达 S2 ,光线 b ? 从 M 2 点算起,所经光程为 M 2 M 4 ? M 4 S 2 .由对称性可得

M1M3 ? M3S1 ? M 2 M 4 ? M 4 S2

( 1)

也就是说从 M1 和 M2 算起,光线 b 和 b ? 到达 S1 与 S2 的光程是相等的,但是光线 b 和 b ? 在到 达 M1 和 M2 时,二者的相位却不同.由 M 2 作斜入射光线 bM 1 的垂线交 H 点, M 2 与 H 相 位相等,因此,斜入射的两条平行光线 b 和 b ? 到达 S1 和 S2 时的相位差是光程差 HM1 引起 的

? ? ? M2 M4 S2 ? ? ? HM1M3 S1 ? ? ?HM1 ? ?h? ?1
坐标为 y(坐标原点取在 P0 上)的 P 点上引起的光程差

( 2)

从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪, 经双孔后发出的相干光在观察屏上

? ? ?1 ? ?h? ? ? ? ?1
其零级亮纹所在位置 P0? 对应的光程差 ? ? 0 ,故 P0? 的坐标

d y D

( 3)

? ? h? ? y0

D d D d

( 4)

这也就是平行光 aa ? 与 bb ? 产生的干涉条纹的零级亮纹(也是两套条纹)错开的距离

? y ? h? ?

( 5)

因在线光源情况下,可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为

?y ?

D ? d

(6)

当二者错开一个条纹间隔时,即 ?y ? ? y ,代入(6)式(星光波长采用 ? ) ,得

??

?
h

( 7)

远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔,在屏上观察到干涉条纹的 清晰度下降,由小到大调节 M1、M2 距离 h, 当屏幕上条纹消失时, 记下此时 h 的值代入(7) 式就可确定扩展光源角直径 ? 的大小. 注:实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源,通过调节 h 使屏幕上的干涉条纹消失, 即各处强度完全相等时, 通过数学计算, 用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径 ? ? 1.22 解法二:
16

?
h



? 以及光线 如图 3 所示,对 M1、M3 而言,找出 S1 对 M 3 的中间像 S1?? 和对 M 1 所成的像 S1
a 在 M1、M3 的反射点 F 和 G.由物像的对称性可知 GS1 ? GS1?? , FS1? ? FS1?? ,故

FS1? ? FG ? GS1
即从光线 a 上一点到 S1? 和到 S1 的光程相等.同理可证,从光线 b 上一点到 S1? 和到 S1 的光程

? 和到 S2 的光程相等;从光线 b ? 上 相等;对 M2、M4(未画出)而言,从光线 a ? 上一点到 S2 ? 和到 S2 的光程相等. 一点到 S2 ?lb

a b

?

F

M1

? b
S1?

H
?
h

S1?

M3 G

S1

S1??
图3 图4

? b?

? S2

因此,光线 a 到 S1 处与光线 a ? 到 S2 处引起的光程差 ?la 与没有反射镜 M1、M2 时两光

? 处的光程相等.因 a、 a ? 垂直双孔屏,故 线到 S1? 、 S2
?la ? 0
通过双孔 S1 、 S2 后,光线 a、 a ? 在 P0 的光程差 ( 1) ( 2)

?la? ? 0 ? H (见图 4) ? 作 bS1? 的垂线 S2 , S2

? 处求 b、b ? 两光线到达 S1 、S2 处的光程差 ?lb .由 平行光束 b b ? 斜入射时,可从 S1? 、 S2

?lb ? HS1? ? h sin? ? h?
说明光线 b ? 超前于光线 b.

( 3)

P0?
b

S1
d

? y0

?
? S2 ?lb

?

b?

a

a?

P0

图5

通过双孔 S1 、 S2 后光线 b、 b ? 射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于 P0
17

处,因为二者到达双孔前光线 b ? 已超前了光线 b,如图 5 所示,光线 b ? 经过 S2 孔后要多走 一段光程来抵消前面的相位差,以达到与光线 b 在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上, 形成干涉零级亮纹.该点所对应的 b ? 经过 S2 孔后多走的光程

? ? S2 P ? ? ?lb 0 ? S1P 0 ? d sin ? ? d?

( 4)

? 可求得平行光束 bb ? 经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置 P0? .由(3) 从 ?lb ? ?lb
式和(4)式,得

?? ?
P0? 的位置坐标
? ? D tan ? ? D? y0

h d

( 5)

( 6)

? 之间的距离)h,直到屏幕上 由小到大调节反射镜 M1、M2 之间的距离(也就是 S1? 、 S2
的干涉条纹消失,即各处强度完全相等时,记下此时 h 的值.这时相干光 bb ? 在屏幕上零级 亮纹位置 P0? 与 P0 的距离

? ? P 0P 0 ? y0 ? 0 ? ? y ? D? ? 当P 0P 0 等于条纹间隔 ?y ,即

( 7)

P0 P0? ?
代入(7)式得

D ? d

( 8)

??
由(5) 、 (9)两式,得

?
d

( 9)

??
解法三:

?
h

(10)

根据第 2 问的结果,为使条纹能被分辨,扩展光源的允许宽度为 w ? 光源对双缝中心的张角为

l ? ,从而扩展 d
( 1)
'

?? ?

w ? ? l d

如图 3 所示,对 M1、M3 而言,找出 S1 对 M 3 的中间像 S1?? 和对 M 1 所成的像 S1 以及光线 a 在 M1、M3 的反射点 F 和 G.由物像的对称性可知 GS1 ? GS1?? , FS1? ? FS1?? ,故

FS1? ? FG ? GS1
即从光线 a 上一点到 S1? 和到 S1 的光程相等.同理可证,从光线 b 上一点到 S1? 和到 S1 的光程

? 和到 S2 的光程相等;从光线 b ? 上 相等;对 M2、M4(未画出)而言,从光线 a ? 上一点到 S2 ? 和到 S2 的光程相等.从分析可知, S1? 为 S1 经 M3、M1 反射的等效像点,S2 ? 为 S2 经 一点到 S2 ? 的等效杨氏双缝干涉,其 M4、M2 反射的等效像点,从而可将测星干涉看作是经双孔 S1? 、 S2
缝距为

18

?S2 ? ?h S1

( 2)

? 之间的距离)h,直到屏幕上 由小到大调节反射镜 M1、M2 之间的距离(也就是 S1? 、 S2
的干涉条纹消失,即各处强度完全相等,这时只需将测得的 h 直接替换(1)式中的 d,可 得计算星体角直径的公式

??
得到与前两种解法相同的结果. 十八、

?
h

( 3)

19

20

十九、 (1)3R (2)6R (3)

I 2 与 L 的距离
6R (4)

I 2 在 L 左方还是右方
右方

I 2 的大小
2h

I 2 是正立还是倒立
倒立

I 2 是实像还是虚像
虚像

I 3 与 L 的距离
18R

I 3 在 L 左方还是右方
左方

I 3 的大小
2h

I 3 是正立还是倒立
倒立

I 3 是实像还是虚像
实像

二十、 (1)19.2(4 分,填 19.0 至 19.4 的,都给 4 分) 10.2(4 分,填 10.0 至 10.4 的,都给 4 分) (2)20.3(4 分,填 20.1 至 20.5 的,都给 4 分) 4.2(4 分,填 4.0 至 4.4 的,都给 4 分) 二十一、 (1) 考虑射到劈尖上某 y 值处的光线, 计算该光线由 x ? 0 到 x ? h 之间的光程 ? ? y ? . 将该光线在介质中的光程记为 ? 1 ,在空气中的光程记为 ? 2 . 介质的折射率是不均匀的,光入 射到介质表面时,在 x ? 0 处,该处介质的折射率 n ? 0? ? 1 ;射到 x 处时,该处介质的折射 率 n ? x ? ? 1 ? bx . 因折射率随 x 线性增加,光线从 x ? 0 处射到 x ? h1 ( h1 是劈尖上 y 值处光 线在劈尖中传播的距离)处的光程 ? 1 与光通过折射率等于平均折射率

21

1 1 1 n? ? n? 0? ? n ? ? 1 ?1 ? b 1 ? 1 bh ? 1h ?? ?h ? 1 ? ? 2 2 2
的均匀介质的光程相同,即

(1)

?1 ? nh1 ? h1 ? bh12

1 2

(2)

忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线 (事实上, 可通过选择台阶的尺度和档板上 狭缝的位置来避开这些光线的影响),光线透过劈尖后其传播方向保持不变,因而有

? 2 ? h ? h1
于是

(3)

? ? y ? ? ?1 ? ? 2 ? h ? bh12
由几何关系有
h1 ? y tan ?

1 2

(4)

(5)



? ? y ? ? h ? y 2 tan2 ?

b 2

(6)

从介质出来的光经过狭缝后仍平行于 x 轴,狭缝的 y 值应与对应介质的 y 值相同,这些平行 光线会聚在透镜焦点处. 对于 y ? 0 处,由上式得

d ( 0) = h
y 处与 y ? 0 处的光线的光程差为

(7)

? ? y ? ? ? ? 0? ?

b 2 2 y tan ? 2

(8)

由于物像之间各光线的光程相等, 故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜 焦点处时保持不变;因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此 加强,要求两束光的光程差为波长的整数倍,即

b 2 2 y tan ? ? k? , k ? 1, 2, 3, 2
由此得
y? 2k ? cot ? ? A k , b A? 2? cot ? b

(9)

(10)

除了位于 y = 0 处的狭缝外,其余各狭缝对应的 y 坐标依次为

A,

2A ,

3 A,

4 A ,

(11) 将各狭缝彼此等距排列仍可

(2)各束光在焦点处彼此加强,并不要求(11)中各项都存在. 能满足上述要求. 事实上,若依次取 k ? m, 4m, 9m,

,其中 m 为任意正整数,则

22

ym ? mA, y4m ? 2 mA, y9m ? 3 mA,

(12)

这些狭缝显然彼此等间距,且相邻狭缝的间距均为 m A ,光线在焦点处依然相互加强而形 成亮纹. 二十二、

23

24

二十三、

25

二十四、 (1)单球面折射成像公式可写成 n′ -n n′ n + = s′ s r , (1)

式中 s 为物距,s′ 为像距,r 为球面半径,n 和 n′ 分别为入射光和折射光所在介质的折 射率. 在本题中,物点 P 经反射器的成像过程是:先经过左球面折射成像(第一次成像) ;再 经右球面反射成像(第二次成像) ;最后再经左球面折射成像(第三次成像) . (1)第一次成像.令 s1 和 s′1 分别表示物距和像距.因 s1 = s ,n = n0 = 1 ,n′ = ng ,r = R ,有 ng -1 ng 1 + = , s′1 s1 R 即 s′1 = ngRs . ( ng -1 ) s-R (3) (2)

(2)第二次成像.用 s2 表示物距,s′2 表示像距,有

26

1 1 2 + = . s′2 s2 r 因 s2 = 2R -s′1 ,r = R ,由(3) , (4)两式得 s′2 = ( 2s + 2R -ngs )R . 3R + 3s -ngs

(4)

(5)

(3)第三次成像.用 s3 表示物距,s′3 表示像距,有 n0-ng n0 ng + = . s′3 s3 r 因 s3 = 2R -s′2 ,n0 = 1 ,r = -R ,由(5) , (6)两式得 s′3 = ( 4s-ngs + 4R )R . 2ngs -4s + ngR -4R (7) (6)

(2)以 v′ 表示像的速度,则

v? ?

(4s ? ng s ? 4 R) R ? ? △s3 1 ? ? [4( s ?△s) ? ng ( s ?△s) ? 4 R]R ? ? ? ? ? △t △t ? ? ? 2ng ( s ?△s) ? 4( s ?△s) ? ng R ? 4 R 2ng s ? 4s ? ng R ? 4 R ? ( 8) 2 2 ?ng R △s /△t ? . (2ng s ? 4s ? ng R ? 4 R) 2 ?△s(2ng ? 4)(2ng s ? 4s ? ng R ? 4 R)

由于△s 很小,分母中含有△s 的项可以略去,因而有 v′ = △s . (2ngs -4s + ngR -4R )2 △t
2 -n2 gR

(9)

根据题意,P 从左向右运动,速度大小为 v ,则有 v= - 由此可得,像的速度
2 n2 gR v

△s . △t

(10)

v′ =

(2ngs -4s + ngR -4R )2



(11)

可见,像的速度与 s 有关,一般不做匀速直线运动, 而做变速直线运动.当 n =2 (12)

时, (11)式分母括号中的头两项相消,v′ 将与 s 无 关.这表明像也将做匀速直线运动;而且(11)式变为 v′ = v ,即像的速度和 P 的速度大小相等. 二十五、 (1)在图 1 中,z 轴垂直于 AB 面.考察平行光 束中两条光线分别在 AB 面上 C 与 C ′ 点以入射角 i 图1
27

射入透明圆柱时的情况, r 为折射角, 在圆柱体中两折射光线分别射达圆柱面的 D 和 D′ , 对圆柱面其入射角分别为 i2 与 i′2 .在△OCD 中,O 点与入射点 C 的距离 yc 由正弦定 理得 yc R sin i2 = ,即 yc = R . sin i2 sin ( 90°+ r) cos r 同理在△OC ′D′ 中,O 点与入射点 C ′ 的距离有 yc ′ R sin i′2 = ,即 yc ′ = R . sin i′2 cos r sin ( 90° -r) (2) (1)

当改变入射角 i 时, 折射角 r 与柱面上的入射角 i2 与 i′2 亦随之变化. 在柱面上的入射角 满足临界角 i20 = arcsin ( 1 / n ) ≈ 41.8° 时,发生全反射.将 i2 = i′2 = i20 分别代入式(1) , (2)得 yoc = yoc ′ = 即 sin i20 R , cos r (4) (5) (3)

sin i20 d = 2yoc = 2 R . cos r

当 yc > yoc 和 yc ′ > y oc ′ 时,入射光线进入柱体,经过折射后射达柱面时的入射角大于 临界角 i20 , 由于发生全反射不能射出柱体. 因折射角 r 随入射角 i 增大而增大. 由式 (4) 知,当 r = 0 ,即 i = 0(垂直入射)时,d 取最小值 dmin = 2Rsin i20 = 1.33 R . 当 i →90° (掠入射)时,r → 41.8° .将 r = 41.8° 代 入式(4)得 dmax = 1.79 R . (7) (2)由图 2 可见,φ 是 Oz 轴与线段 OD 的夹角,φ′ 是 Oz 轴与线段 OD′ 的夹角.发生全反射时,有 φ = i20 + r , φ′ = i20 - r , 和 θ = φ + φ′ = 2i20≈83.6° . (8) (9) (10) (6)

由此可见,θ 与 i 无关,即 θ 独立于 i .在掠入射 时,i ≈90° ,r = 41.8° ,由式(8),(9)两式得 φ = 83.6° ,φ′ = 0° . (11) 图2

二十六、 (1)光路图如下,指出被球面镜反射的光线汇累于凸透镜的焦点。

28

(2)参照所给光路图,可知 CO ? x ,设 ∠CAO ? a ,有如下几何关系:

sin ? ?

x , R

(1) (2)

r ? f cot ? 2? ?

两式联立,可求得
f ? ?1 x ? R sin ? arctan ? 。 r? ?2

(3)

二十七、参考解答(一) : (1)考虑光线仅从 AB 面上法线下方入射,如图 1 所示,在 AB 面上发生折射,根据折射定 律有
sin i0 ? n sin r

(1)

式中, i0 和 r 分别是光线在 AB 面上入射角和折射角, n 是棱镜的折射率。在 AC 面上发生 全反射应满足
n sin i1 ? 1

(2)

式中, i1 是光线在 AC 面上的入射角,在 ?ADE 中有
A

D i0

α

E

B 图1

C

由此可得
i1 ? ? ? r ? 0

(3)

将(3)式代入(2)式有
n sin i1 ? n sin(? ? r ) ? 1

(4)

因为 i0 , ? 都为锐角,结合(1)式,利用三角函数关系得
29

sin ? n2 ? sin2 i0 ? 1 ? cos? sin i0
对(5)式两边平方得

(5)

sin 2 i0 ? 2cos ? sin i0 ? (1 ? n2 sin 2 ? ) ? 0
上式取等号时的解为
sin i0 ? ? cos? ? n2 ? 1sin ?

(6)


sin i0 ? n sin(?? ? ?)

(7)

式中,已利用了
n sin ? ? 1

由于 0 ? sin i0 ? 1 , (6)式的解 sin i0 应满足
0 ? sin i0 ? min{1, n sin(n ? ?)}

(8)
A α i0 r i1

从(8)式可看出,当光线仅从 AB 面上法线的下方入射时, 为零使入射角 i0 取任意值时, 光线在 AC 面上都发生全反射, 三棱镜顶角 ? 的取值范围为 ? ? 2?

(9) (2)考虑光线仅从 AB 面上法线的上方入射,如图 2 所示, 根据几何关系得
i1 ? ? ? r

(10)

在 AC 面上发生全反射应满足 n sin(? ? r ) ? 1 采用 1 中相同的方法可得

(11)

B

C 图2

sin 2 i0 ? 2cos ? sin i0 ? (1 ? n2 sin 2 ? ) ? 0
上式取等号时的解为
sin i0 ? cos? ? n2 ? 1sin ?

(12)

A α


sin i0 ? n sin(? ? ? )

(13)

由于 0 ? sin i0 ? 1 , (12)式的解 sin i0 应满足

D Θ

max{0, n sin(? ? ? )} ? sin i0 ? 1
其中(14)式可看出 ? ??

(14)
C 图3

(15)

B

30

当光线仅从 AB 面上法线的上方入射时,我们还必须保证光线以任意入射角入射到 AB 面上,经一次折射后,能入射到 AC 面上的条件。为此,让光线沿 AB 面掠入射到 D 点
(i0 ? 90o ) 发生折射,如图 3 所示,容易看出,当且仅当

? ? 90o ? ? (16) 时,折射光线才能射到 AC 面上,联立条件(15)和(16)式得
? ? 45o

这与题设条件一致。 由于(15)和(16)式知,当光线仅从 AB 面上法线的上方入射时,为零使入射角 i0 取 任意值时,光线在 AC 面上都发生全反射,三棱镜顶角 ? 的取值范围为
? ? ? ? 90o ? ?

(17)

参考解答(二) : (1)考虑光线仅从 AB 面上法线的下方入射。先考虑沿 AB 面掠入射的光线,此时的折射角 r 即为全反射临界角 r?? (1) 如图 1 所示,如果此光线在面上能发生全反射,则此光线在 AC 面上的入射角 i1 应当满足
i1 ? ?

(2)

在 ?ADE 中有

? ? (90o ? r ) ? (90o ? i1 ) ? 180o
由此可得

? ? r ? i1
A α

(3)

D Θ

E

B 图1

C

由(1) 、 (2)和(3)式得 (4) 再考虑垂直于 AB 面入射的光线,如图 2 所示,如果此光线在 AC 面上能发生全反射, 则此光线在 AC 面上的入射角 i1 应当满足
31

? ? 2?

i1 ? ?
A α D

(5)

E

B

图2

C

在 ?ADE 中有

? ? 90o ? (90o ? i1 ) ? 180o
由此可得

? ? i1
由(5)和(6)式得
? ??

(6)

(7)

由(4)和(7)式可看出,当光线仅从 AB 面上法线的下方入射时,为了使入射角 i0 取 任意值时,光线在 AC 面上都发生全反射,三棱镜顶角 ? 的取值范围为 ? ? 2? (8) (2)考虑光线仅从 AB 面上法线的上方入射,考虑沿 AB 面掠入射的光线,此时的折射角 r 即为全反射临界角 r?? (9) 如图 3 所示,如果此光线能与 AC 面相交,则
90o ? ? ? ?

(10) (11)

由图 3 从几何关系可知
i1 ? ? ? ?

A

D α E B 图3 C

可见光线能在 AC 面上发生全反射。 由(7)和(10)式得,当光线仅从 AB 面上法线的上方入射时,为了使入射角 i0 取任
32

意值时,光线在 AC 面上都发生全反射,三棱镜顶角 ? 的取值范围为
? ? ? ? 90o ? ?

(12)

二十八、

33

二十九、

34

三十、某一光线在直光纤中在界面的入射角 (如图) , 在弯曲部分内、 外侧入射角 、

三者是不同的, 决定端向入射临界角是由三者中 最小的角度。设 X 点离 O 点坐标为 X, 在 内,

35







内,





故决定光线入射端临界角

的为





时,



R?d,

光纤弯曲后

变小,曲率越大

越小。

36


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