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函数的值域与定义域


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大方向教育个性化辅导教案
教师: 徐琨 学生: 学科: 数学 时间:
课 题(课型) 教学方法: 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练

1.函数的定义域 (1)函数的定义域是指______________________________________________

__________. (2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式组; ③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. ③一次函数、二次函数的定义域为________. ④y=a (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为________. ⑤y=tan x 的定义域为_______________________________________________________. ⑥函数 f(x)=x 的定义域为___________________________________________________. 2.函数的值域 (1)在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫____________,________________叫函 数的值域. (2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b (k≠0)的值域是______. ②y=ax +bx+c (a≠0)的值域: 当 a>0 时, 值域为____________; 当 a<0 时, 值域为____________. ③y= (k≠0)的值域是________________. ④y=a (a>0 且 a≠1)的值域是__________. ⑤y=logax (a>0 且 a≠1)的值域是______. ⑥y=sin x,y=cos x 的值域是________. ⑦y=tan x 的值域是______.
x
2 0

x

k x

-1-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 1.(课本改编题)函数 y= x+1+ 的定义域为___________________________________. 2-x 1 2.(2011·安徽)函数 y= 的定义域是________. 2 6-x-x 3.(课本改编题)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为_____________________________________.
x

【考点精练】
考点一:求函数的定义域 1、函数 y ? 2、函数 y ?

x( x ?1) ? x 的定义域
2 x ? x2 的定义域是 ln(2 x ? 1) (2 x ? 4)0 的定义域。 x ?3


3、求函数 f ( x) ?

抽象函数的定义域求法
例 1、(1)若设函数 f ( x) ?

x ?1 ,则此函数的定义域为


, f ( x ? 1) ?

,函数

y ? f ( x ? 1) 的定义域为

(2)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 [1,3) ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为



变式: (1)若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [1,3) ,则函数 y ? f ( x) 的定义域为 。

(2)若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [1,3) ,则函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域为



-2-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 考点二:函数的值域和最值 1、函数 f ( x ) ?

1 1 在区间 [a, b] 的最大值是 1,最小值是 ,则 a ? b ? 3 x ?1



2. (1)y=4- 3 ? 2 x ? x ; (2)y=x+
2

4 ; x

3.求下列函数的值域: ① y=
1 2? x
2



② y= x ? 2 x ? 3 , x ? [?2,3] ;
2

③y=x- x ? 1 ;

④y?

x ?1 . x?2

【巩固练习】
1、函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 2、函数 y ?

( x ? 1)0 x ?x

的定义域是

3、函数 y ?

2 的定义域是 (??,1) [2,5) ,则其值域是 x ?1

4.如果函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,则实数 a 的值 为 ▲ ;

? x2 ? ? ? 2 5.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? x ? ?1 ? x
若函数 f ( x ) 在 (t , t ? 2) 上的值域是 (? , 0] ,则实数 t 的值的集合为 6.函数 y ?

0? x?2


x?2
▲ ;

3 2

2x ? 4 ,x ? [0,3]且x ? 2 的值域为 x?2

.
-3-

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方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础.因此,我们一 定要树立函数定义域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组); 对于含有字母参数的函数定 义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义,数形结合可求 某些函数的值域. 3.函数的值域与最值有密切关系,某些连续函数可借助函数的最值求值域,利用配方法、 判别式法、基本不等式求值域时,一定注意等号是否成立,必要时注明“=”成立的条件. 失误与防范 1.求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别 要重视实际问题的最值的求法. 2.对于定义域、值域的应用问题,首先要用“定义域优先”的原则,同时结合不等式的性质. 课后作业:

一、基础题 1. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为[-2,3],则函数 f ( x ? 1) 的定义域为
2. f ( x) ? x ? 1, x ?{?1,0,1, 2} 的值域是
4

3. f ( x) ? 3x ? 5, x ?[3,6] 的值域是

4. 函数 y ? x

2

? 6x ? 7( x ?[?1,7]) 的值域是
__.

5. 函数 f ( x) ? 3x ? 1 ? x 的值域为___ 6. 函数 y ?

5x ? 4 的值域是 x ?1

7. 函数 f ( x) ?

? x2 ? x ? 2 值域是



二、提高题
8.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[0,3],则函数 f ( x) 的定义域为 9.用长为 30cm 的铁丝围成矩形,将矩形面积 S (cm ) 表示为矩形一边长 x(cm) 的函数,则函数解析 式为 ,函数的定义域为
2

-4-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 10.函数 y ? 2 ? 4 x ? x 的值域为
2

11.函数 f ( x) ?

1 的值域是 1 ? x(1 ? x)

x2 ?1 12.函数 y ? 2 的值域是 x ?1



三、能力题:
13.建造一个容积为 8m 、深为 2 m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为 120 元/ m
3 2



80 元/ m ,求总造价 y (元)关于底面一边长 x(m) 的解析式,并指出该函数的定义域。

2

14.(1) 若函数 f ( x) ? (2) 若函数 f ( x) ?

kx2 ? 4kx ? 3 的定义域为 R ,求实数 k 的取值范围.
2

kx ? 7 的定义域为 R ,求实数 k 的取值范围. kx ? 4kx ? 3

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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 能力提升:

活动一:复习引入
1、二次函数的图像: 2、函数最值的概念: 3、二次函数的最值:

活动二:定轴定区间的最值
例 1:求二次函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 的最大值以及取得最大值时 x 的值。 ⑴ 0? x?4 ⑵ 0? x?3 ⑶ 0 ? x ?1

活动三:动轴定区间的最值
例 2:求函数 y ? ? x 2 ? ax ? 3 ( 0 ? x ? 4 )的最大值。

活动四:定轴动区间的最值
2 例 3:求函数 y ? x ? 4 x ? 3 ( 0 ? x ? a )的最大值。

-6-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 变题:已知 y ? x ? 2 x ? 3 ( 0 ? x ? a )的最大值为 3,最小值为 2,求 a 的取值范围。
2

活动五:综合应用
例 4:若 ? , ? 是二次方程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实数根,求 (? ? 1) 2 ? (? ? 1) 2 的最小值。
2

变题:已知 ? , ? 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2kx ? 1 ? 0 的两实数根,求 ? 2 ? ? 2 的最小值。
2

活动七:课后巩固
一、基础题:
1、函数 y ? ?( x ? 1) ? 4 有最
2
2

值为

2、函数 y ? x ? 2x , x ? [2,3] 的最小值为 3、函数 f ( x) ?

1 , x ??1,3? 的最大值为 x

-7-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 4、函数 y ? x 2 ? px ? q 的最小值是 4,且当 x =2 时, y =5,则 p =______, q =_______。 5、若函数 y ? x 2 ? ax ? b 在 0 ? x ? 2 上有最小值 ? 则 a =________, b =________。

1 ,最大值 2,若 ? 4 ? a ? ?2 , 4

二、提高题:
6、试求关于 x 的函数 y ? ? x 2 ? mx ? 2 在 0 ? x ? 2 上的最大值。

7、已知函数 y ? ? x ? ax ?
2

a 1 ? ,当 0 ? x ? 1 时取最大值 2,求实数 a 的值。 4 2

2 2 8、已知 x1 , x 2 是方程 2 x ? 4mx ? 5m ? 12 ? 0 的两实根,求 x1 ? x 2 的最大值和最小值。
2 2

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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 三、能力题: 9、求 f ( x) ? x 2 ? 2 x , x ? [a ? 1, a ? 1] 的最小值.

10、求函数 y ? ? x( x ? a) 在区间 ? 1 ? x ? a 上的最大值。

1 2 11.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a、b 的值. 2

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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 12.已知函数 f(x)=x -4ax+2a+6 (a∈R). (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数的值域为非负数,求函数 g(a)=2-a|a+3|的值域.
2

教师评定: 1、学生上次作业评价: ○好 ○较好 ○较好 ○一般 ○一般 教师签字: 教导主任签字: 大方向教育教务 ○差 ○差

2、学生本次上课情况评价:○好

- 10 -


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