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与三角形有关的竞赛题分类探究


第1 0期 

王姣 慧: 与 三 角 形有 关 的 竞赛 题 分 类探 究 

? 41?  

与 三 角 形 有 关 的 竞 赛 题 分 类 探 究 
●王姣 慧  ( 镇海蛟川书院 浙江宁波 3 1 5 2 0 1 )  
r 口+ b> c ,   ( 1 )  

角形 是最 基 本 的几何 图形 之一 , 平 面几 何 中  的许 多 问题 往 往可 归 结于 三角形 问题 进行 解 决. 三  角形 知 识 因其 基 础 性 强 、 起点低、 能 够 灵 活 地 融 人  到 其他 知识 中去 , 一 直 受 到 命 题 者 的青 睐 , 因此 熟 
由式 ( 1 ) 得 

1 ÷ +  >  ,  
b   C— a,  

( 2 )  

练掌握三角形边角关系、 全等三角形与特殊三角形  的性质和判定及应用 , 对 于解决线角的相等、 不等  以及和差等数量关系 , 研究平行、 垂直等位置关 系   很 有 必要 . 笔 者 以其 在初 中竞 赛 中的常 见类 型 进行  分类 , 拟 对这 类 问题 的常 见解 法作 一些 探讨 .   1 三 角 形边 角关 系的 相关 问题  三角 形 的 3条边 相互 制 约 , 3个 内角 之 和 为定  值, 边与角之间有密切的联 系, 如三角形三边关 系   定理及推论 、 三角形 内角和定理及推论等 , 大角对  大边 、 大边对大角等 , 它们在线段与角度的计算 、 图  形的计数等方面有广泛的应用.  
1 . 1   借 助 于三 角形 角的关 系解题 

代 入 式 ( 2 ) , 得  一 1 < ÷+ 一 1 < j 一 +  .  
2边 同乘 以 Ⅱ , 得  化 简得  1 <_ _ _   + 旦,   a  一 3 a c +d   < 0,  

2边 同除 以 c   , 得 

㈠ 一 3 ’ 詈 + 1 < 0 ,  
从 而   Z  < 号< C   
另一方 面 , 由n ≤6 ≤c , 得旦 ≤1 , 于是 
<旦 ≤ 1
.  

例1   已知锐 角 AA B C 的 3个 内角 A, B, C满 
足: A>B>C, 用 O t 表 示 A—B, B —C 以及 9 0 。一 A  

评 注  三 角 形 的三 边 关 系定 理 最 基 本 的应 用  是 判断 3条 已知线 段 能 否组成 三 角形 , 此类 问题 常 

中的最小者 , 则O t 的最大值为一   解  因为 O t =mi n { A— B, B—C, 9 0 。 一 A} , 所 以 
≤  一B ,   ≤  —C, a≤9 O。-A ,  

常变式为已知 2 条边 a , b , 确定第 3 条边 c 的范围 ,   同时还要 求 根据题 目的 实 际情况 进行 恰 当地放 缩 ,  
转 化 为关于 旦 的不 等式 , 综合 性 较强 .  
1 . 3 借 助 于边 角 关 系灵活 解 决综合 问题 

从 而  6  ≤2 ( 4一 B) +( B—C )+ 3 ( 9 0 。 一 A)=  
2 7 0 。 一(  +   +C )= 9 0 。 ,  
于是  ≤1 5   O .  

当且仅 当 A=7 5 。 , B =6 0 。 , C= 4 5 。 时 满 足 题 设 条 
件, 此 时  可 取得 最 大值 1 5 。 .  

例3   阅读 下 面 的情 景对 话 , 然后解 答 问题 :   老师 : 我们 新 定 义 一 种 三 角 形 , 2边 平 方 和等  于第 3条边 平方 的 2倍 的三 角形 叫做奇异 三 角形.   小华 : 等边 三 角形 一定 是 奇异 三 角形 !   ( 1 ) 根 据“ 奇 异 三角 形 ” 的定 义 , 请 你 判 断小华 

评 注 角 是几 何 中最 活跃 的元 素 , 与角 相关 的  知 识 十分 丰 富. 在 三 角形 中 , 内角和 定理 、 内外 角关 
系定理 、 等 腰 三角 形 2个 底 角 相 等 , 利 用 这 些 独 特 

的等 量 关 系 可 以 找 到 角 与 角 之 间 的 “ 和” 、 “ 差” 、   “ 倍 ”、 “ 分” 关 系.  
1 . 2 借 助 于三 角形 三边 关 系解题 

提出的命题是真命题还是假命题?   ( 2 ) 在R t   AA B C中 , / _ . A C B: 9 0 。 , A B=C , A C=   b , B C= a , 且 b>a . 若R t   A A B C是奇异 三角形 , 求 
( 3 ) 如图 1 , A B 是 oD  
的直 径 , C是 OD上 一 点 ( 不 
 

例 2 如果 正 数 , Y ,  可 以是一 个 三 角 形 的 3   条 边长 , 那么称(  , Y ,  ) 是 三 角形 数 . 若( a , b , c ) 和 

(   1 ,   1 , ÷ ) 均 为 三 角 形 数 , 且 n ≤ 6 ≤ c , 则 旦 C 的 取   与点 A, B重合 ) , D 是 半 圆 
值范围是一


B 

  ( 2 0 1 2年 全 国初 中数 学联 赛试 题 )   依 题 意得 

,   ‘。 、

A D B的中点 , c, D 在直 径 A B   的 2侧 . 若 在 o0 内存 在 点 


D 

图 1  

使得  = A D, C B=C E .  

?

4 2?  

中学教研 ( 数 学)  

①求 证 : Z  ̄ A C E是奇 异 三角形 ;   ② 当 AA C E是直角三角形时 , 求/ _ A O C的度 数   ( 2 0 1 1年 浙江省 宁波 市数 学 中考 试题 )   ( 1 ) 真命题( 过程略) .  
( 2 ) 倪 :b :c=l :   O0 的直径 , 所以  
/ _ACB =   』 4 DB =9 0。 .  

评注

试 题 以新 定 义 的 “ 奇 异 三 角 形 ”为 背 

景, 成功 地跳 出勾 股 定 理 的局 限. 新 颖 活 泼 的 对话  情 景将 等边 三角 形 、 直角三角形 、 圆 等初 中数 学 的  核 心 内容 巧妙 地融 合起 来. 问题 解决 从 三角 形边 和  角 的关 系人 口, 综合运用分类 、 代 数 的变 形 和 锐 角 

:   ( 过 程略 ) .  

( 3 ) ① 证 明  设 6 30 的半 经 为 R, 因为 A B 是 

三角函数, 起点低 、 落点高 , 学生经历了模仿 、 辨析 、   应 用 3个环 节 , 凸现 了问题 解 决 的全过 程.  
2 三 角形 “ 四心 ” 的 相关 问题 

由D是半 圆 A D B的中点, 知  
BD :   ,  

三角形 的 内心 、 外心、 垂 心及重心 ( 以 下 简 称 

从 而 

A B=  

D=   E .  

“ 四心” ) 是新颁发的《 初 中数学竞赛大纲》 特别加  强 的 内容 , 与 四心 有 关 的 几何 问题 涉及 知 识 面 广 、   难度 大 、 应 用 的技巧 性强 、 方 法灵 活 , 是 考查 学 生逻  辑思 维 能力 和创 造 思维 能 力 的较 佳题 型.  
2 . 1 借 助 于垂心 的性 质解题 

又 因为 A C   +B C   = A B   , B C:C E, 所以  
AC  +C E =2 A E。
. 

例4   已知 锐 角 AA B C的顶 点 A到 垂 心 日 的  距 离等 于它 的外接 圆半 径 , 则 
A. 3 0 ̄   B. 4 5o  

故 AA C E是 奇异 三角 形.  

的度 数是 (  

)  

②解  如 图 2 , AA C E是   直 角 三角 形.   若  = 9 0 。 , 则点 E与   点 B 重合 , 即 点 D 与 点 B 重 
合, 不 合题 意.  

C. 6 0o  

D. 75o  


D 

如 图3 , 锐 角 △A B C的垂 

心 H 在 三 角形 的 内部 , 设 AA BC  
的 外心为 0, D为B C 的 中点 , B O   的 延长 线交 00于 点 E . 联结 C E,  

图2  

若/ _ _ A E C=9 0 。 , 则A E  +  
CE2:ACz
. 

A E , 从而 C E ∥A H, A E / / I C H, 则  
OB =AH =CE =2 DD .  

当A C   +C   = 2 A E  时 ,  

= 2 C E   , 从 而 

于 是  O B D= 3 0 。 , / _ B O D= 6 0 。 ,  
因 此  A=   BO D =6 0 O .  

图3  

A D  c   , (  ) . = 2  ,  
即  A B =2 BC。  

故选 C .  

于是  因此 

C=3 0 。 。   / _ A O C:1 2 0 。 .  

评注 三角形 3条高线所在直线的交点叫做  三 角形 的垂 心. 由, 于垂 足 位 置 的不 确 定 性 , 遇 到 高 
线 时 常用 的 思 想 方 法 是 分 类 讨 论 、 构 造 相 似 三 角  形、 四点 共 圆等.  
2 . 2 借 助 于 内心的性 质 解题   例 5 在 AA B C中 , A B= 7, B C= 8 , C A:9 , 过 

当A C   + A E   =2 C E  时 , C E   = 2 A E   , 从 而 

B C  

B C   = 2 (  B  

即A B= BC , 不合 题 意.   若  C A E=9 0 。 , 则A E 。 + A C  =C E   .  

当C E   +  C   = 2 A E  时 ,  E   =2 A C   , 从 而 
AD。=2 Ac。


A A B C的内切圆圆心 作 D E ∥B C , 分别与 A B, A C   相 交 于点 D, E, 则D E的长 为一  
( 2 0 1 3年 全 国初 中数 学联 赛试题 )  

( T a B 1 ‘ = 2 A c   ,  

解 答过 程参见 本 刊 2 0 1 4年 第 7期第 1 5页.   评注 三 角 形 3条 角 平 分 线 的 交点 叫做 三 角  形 的 内心 , 即 内切 圆 圆心 . 由 于角 平 分 线 的轴 对 称  性, 遇 到 内心 问题 时 的解 法 有 构 造 对 称 图形 、 作 高  线、 面积 法等.  
2 . 3 借 助 于重心性 质 解题 

即  

A B=2 A C。  

于是 
因此 

/ _ A B C= 3 0 。 ,  
/ _ _ A O C= 6 0 。 .  

当 叩  + A E   : 2 A C  时, A C   = 2 A E   , 从 而 


2 (  B  

例 6 我们 知道 , 三 角形 的 3条 中线 一 定 会交 
于 一点 , 这一 点 叫做 三 角 形 的 重 心. 重 心 有 很 多美 

即A C= A B, 不合 题 意.  
综 上所 述 , / _ A O C=1 2 0 。 或/ _ _ A O C= 6 0 。 .  

妙 的性质 , 如 有关 线 段 比、 面 积 比就有 一 些 “ 漂亮 ”  

第l 0期 

王姣 慧: 与三 角形有 关的竞赛题 分类探 究 

?4 3?  

的结论 , 利用 这些 性 质 可 以解 决 三角形 中的若 干 问  题. 请 你利 用 重心 的概念 完成 如 下问题 :  

在 △A B E 中, 由O M/ / A B 知 
OM


:  

:  

( 1 ) 若 0是 A A B C的重心 ( 如图4 ) , 联结 A O  
并延 长交 B c于点 D, 证明:   A O:   2
.  

即 

O M=   1  B
,  

同理 可得 

O N=  

C .  

在AA G H 中, 由O M/ / A G知  
OM
C  


:  

图4  

图5  

同理 可得 

O N

OG
=   ,  

( 2 ) 若 A D 是 AA B C 的一 条 中线 ( 如图 5 ) , 0   是 D上 一 点 , 且 满 足  =   2


试判 断 0   AA B C  

从 而  
即  

+  =  + 器  
日  c 

的重心 吗 ?如 果是 , 请 给 出证 明 ; 如 果不 是 , 请说 明 
理 由.  

十  

=  ,  

( 3)如 图 6 , 若 0 是  AA B C的重 心 , 过 点 0 的一  条直线分 别与 A B, A C相 交  于点 G,  ( 均 不 与 △A BC的  顶点重合 ) , S 四 边 形 B 伽, J s △ A 础 B  

A 

亦 即  令 
C 

A B+   A C=3
.  

=  

I   m= 3  

从 而 

. s 四 边 形 口 c G H   S △ A 口 c—S△   G H  

分别 表 示 四边 形 B C H G和  △A   的 面 积 ,试 探 究  的最大值.  

图6  

S △  
—  

一  

S △ 删  

B? A C? s i n / _ _ . B A C一 ÷A G? A 日? s i n  
G ?A日 ?s i n/ _BAC 

c  

( 2 0 1 3年 四 川省 绵 阳市数 学 中考试题 )   ( 1 ) 证 明  由aO P D   AO C A, 得 
OD AO —AC 一 2 ’  
一 一   一  

A B? A C—A G? A H  A B? AC   .  
— —  

D t n一1=( 3—1 7 , ) l " g 一1 = 一n   +3 n一1 =  
,  


从 向 
,. 一  

AD  OD +OA   1+2   3  

3、  

5  

— 

丁  

,  

I  

J+  ,  


即 ‘    

A   D O   辱  3 。  
=   3, 而  A O=  

故当   = 凡:   3

G H / / B C 时 ,  

有 最 大 值 ÷ .  

( 2 ) 证 明  点 0是 AA B C 的重 心. 如图5 , 作  A A B C的中线 c P , 与边 A B交于点 P, 与AA B C的   另 一条 中线 A D 交 于 点 Q, 则 点 Q 是 AA B C 的 重  心. 根据 第 ( 1 ) 小 题 的 证 明 可 知 

评注

三角 形 3条 中线 的交 点 叫 三角 形 的重 

心. 解题 时涉 及 到 中线 、 比例 、 面积 等 多 种 知识 , 往 

÷, 即点 Q与 点 0 重合 ( 是 同 一个 点 ) , 故 点 0是 
AA B C的 重心.  

( 3 ) 解  如 图 6 , 联结 C O并延长 交 A B于点   F, 联结 B O并 延长 交 A C 于 点 E, 过 点 0 分 别 作 
A B, A C的 平 行 线 O M, O N, 分别 与 A C, A B交 于 点  


往入 口宽、 方法多、 综合能力要求很高 , 在各类竞赛  中频繁 出现.   2 . 4 借 助 于外 心性 质 解题  例 7 设 AA B C的外 心 , 垂 心 分 别 为 0, H, 若  点B , c , H, 0共圆 , 则对于所有 的AA B C , 求/ _ B A C   所 有可 能 的度数.   解答过程参见本刊 2 0 1 4年第 7 期第 1 4页.  
评注 三角形 3条边 的垂 直 平 分 线 ( 中垂 线 )  

Ⅳ _ 因为 点 0是 AA B C的重心 , 所以  
OE 


1  
一  

BE 一 3 ’ CF 一 3 ’  

的交点叫三角形 的外心. 外 心问题 常与 中点、 垂直  相联系, 由于外 心 的位 置 与 三 角 形 的 形 状 有关 , 因  此分 类讨 论是 常用 的思 想 方法 . 本 例 从外 心过 渡到 



4 4?  

中学教研 ( 数学)  

2 0 1 4正 

重心 , 很 是 自然 .  
3 与 三角 形面 积 相关 的 问题 

综 上 所 述 , . s   边 形 一=  一 吉 一   1 =   5 .  
评注 通 过 方 程模 型解 决 面 积 问 题是 一 个 锐 
利 武器 , 一般 思路 为 : 设元 , 在 图形 中找等 量关 系列 

平 面 几 何 学 的 产 生起 源 于人 们 对 土地 面积 的 

测量 , 面积 是平 面几 何 中一个 重 要 的概 念 , 联 系着  几何 图形 中的重要 元 素—— 边 与角 , 而 以三角 形 为  载体 的 面积 问题 尤 为常见. 计算 图形 的 面积是 几 何  中一 种 常见 的 问题 , 求 三角 形 面 积 的基 本 方 法 有 :   直接 法 、 割 补法 、 等积 法 、 等 比法等.   3 . 1 借 助 于 方程模 型 直接 解题 
例 8 如 图 7, z X A BC的面 积 是 1 , A D =D E=  

方 程并 求解 , 从 而使面 积 问题 迎 刃而 解.   A  3 . 2 借 助 于等积 模 型 解题 
例 9   如 图 9, 已 知 

AA B C 的面 积 为 2 4 , 点 D  

在线段 A C上 , 点 F在线段 
B G的延 长 线 上 , 且 B C=   4 C F, 四边形 D C 胞 是 平 行 
C 

E C   B G=G F=F C, 求 阴影 四边形 MN F G的 面积.   解  ( 1 ) 先 求 四边 形 F N E C的 面积. 设S   刚c =  


四边 形 , 则 图 9中 阴影 部 分 
的面积 为 
A. 3   B. 4  

图9  
D. 8  

S △ E c Ⅳ= Y , 贝 0  
s  B N c   3 x, S   z x a N c   3 y.  

(  

)  

C. 6  

由S   z x 8 髓 =S △ ^ F c =5 -   , 得 

( 2 0 1 3年 全 国初 中数 学联 赛试题 )   解  联 结 C E,因 为 D E / / C F, 所以S   。   口=   s   肌   , 因此 阴影部分 的面 积等 于 △A C E 的面 积. 联 

f 3   + y   寺 ,  

( 3 )  

I   + 3 y = 了 1 ,  
式( 3 ) +式( 4 ) , 得 4 x + 4 y = ÷ 

( 4 )  

结A F , 由E F ∥C D, 知S △   。   = S  c   , 又因为 B C=   4 C F, 所 以S △  c = 4 S △ 4  . 故 阴影部 分 的面 积为 6 .   评注 常见等积模型 : ( 1 ) 等底 等高 的 2个三  角形面积相等 ; ( 2 ) 2 个三角形高相等 , 面积比等于  它们的底之 比, 2个三角形底相 等, 面积 比等于它  们 的高 之 比 ; ( 3 ) 夹 在 一 组 平 行 线 之 间 的 等 积 变  形, 如图 l 0 , 若A B ∥C D, 则S z x a c D = S △   c 。 , 反之, 若  S A a c D = 5  c D , 则A B∥C D . 在利用 等积模型时 , 如  何选择“ 中间桥梁” 是关键.  

即  
故 

+ ) ,   言,  
s 口 边 形 , N E c  _- 1  

图 1 0  

图 1 1  

3 . 3 借助 于等 比定理 解题 

例1 0 如图 1 1 , P是 AA B C 内一 点 ,   , c P,   A P的延 长线 分别 与 A C , A B, B C交 于点 E, ,,  . 考 

虑下列 3 个等式 :  
从 而 

毒  
7   = ÷ ,  
Ⅱ=   1
,  

㈩  
,、 \

=   ;  

s  8 P c +s  A P c   A B  
. s △B P c   —   尸’  

( 3   C E ×  × 篇- 1 .  
其 中正确 的有  A . 0个  B . 1个  C . 2个  解 ( 1 ) 正确 , 理 由:   (   D . 3个  )  

即  

故 

s  伽 =   1
.  

第1 0期 

王姣 慧 : 与 三 角 形 有 关的 竞 赛 题 分 类 探 究 

?4 5?  

s  A 8 P   s  A P c   Ap   S  A B P   s  B P D   BD  s   D— s   D— P  s   c —s   D— CD 

别 是边 A B, A C上 的 点 , 且 厶4 肋 = 6 0 。 , E D- I - D B=   C E,  C D B= 2 /C D E, 则 LDC B=  
A. 1 5。   B. 2 O。   C. 2 5。  

(  
D. 3 0。  

)  

( 2 ) 正确, 理 由:  
AB  S  A B c   S  A B P   S  A B c—S  A B P  

BF  S A R F c   S  B F P   s  B F c—s  B F P  
Sa B p c+S   P c   s  B P c  



( 2 0 1 0年 全 国初 中数 学联 赛试题 )   如图1 3 , 延长 A B到 点 F, 使B F=E D, 联 
EDA =6 0。. L EDB =   CED = 1 2 0。 .  

结C F,  F . 因为 LE A B=  A E D= 6 0 。 , 所以  
由A D= A E=E D:B F, 知 
C E =ED +DB = DB + BF =D F .  

( 3 ) 正确, 理由:  
CE AB FP AE  BF   PC 一  


、,

、,





 

于是 
SA A P B  

A C= A F, LA C F=   A F C=6 0 。 .  
厶 CDE =4 0o。   CDB =8 0o。  

s  A B P  

×  

s  B P c  

× 

s  A P c+s  B P c —I ’  

又 因为  E D B=1 2 0 。 ,  C D B= 2  C D E, 所以  
EC D =1 8 0。一   cED 一  EDC =2 00 .  

故选 D .  

评注

此 例极 为 经 典 , 囊 括 了燕 尾 定 理 、 梅 涅 

劳斯 ( Me n e l a u s ) 定理( 简 称梅 氏定 理 ) 等 的 探 究 过  程, 因涉 及 到 的等 比定理 等知 识 均属 于初 中数 学 的  难点 , 适 当拓展 , 很 是有 趣.  
4 构造 图形解 决 三角 形综合 性 问题  4 . 1 构 造 全 等三 角形 解题   例1 1 如图 1 2 , 在 AA B C中 , LB=9 0 。 , M 为 

在 AC D A和 AC B F 中,  
C A =C F.   C A D=   C F B =6 0。 , AD =B F.  

从 而  于是  故 

AC D A   AC B F,   F C B=  A c D= 2 0 。 .   D C B=6 0 。 一   C D  一   F C B= 2 0 0 .  

评 注  当证 明相 等 的 2条 线 段 或 2个 角 所在  的三 角形全 等 的条 件不 充分 时 , 则需 根据 图形 的轴  对 称性 或其 他对 称性 质 , 先 证 明别 的 2个 三角 形全  等 以补 足条 件.   4 . 3 构造 等边 三 角形 解题  例1 2 如图 1 4 , 在 四边形  A B C D 中, A C, B D是 对角线,  
AA B C 是 等 边 三 角 形.  
L ADC = 3 0。, AD = 3, BD = 5 ,  
B  C  E  D 

A B上一点 , 使得 A M =B C , N为 B C上一 点 , 使 得 
C N=B M, 联结 A N, C M交于点 P . 试 求  A 胱 的度  数, 并 写 出推理 证 明 的过程.  
( 2 0 0 8年 全 国初 中数 学联 赛  天津赛 区试题 )   证明 过点M 作 A B的 垂线 MD, 使 MD=C N,  

联结 D A, D N, 则 四边 形 MD N C是平 行 四边 形 , 从 而  AD MA   △MB C, 于是 D A=MC , 而 MC:D N, 故 
D N=D A .因为 LA D N =9 0 。 , 所 以 /A N D =4 5 。 , 利 

则 C D 的长为 
A. 3√  
C. 2  

(  
B. 4  
D. 4. 5  

) .  

图l 4  

用 MC ∥D N, 得LA P M =L A N D= 4 5   0 .   评 注  当现 有 图形 的任何 2个 三角 形 之 间不  存 在全 等 关 系时 , 则需要添置辅助线 , 构 造 全 等 三  角形来 研 究平 面 图形 的性 质. 常见策略有 : 已 知角  平 分线 , 可利 用轴 对 称构 造全 等三 角形 ; 已知 中点 ,   可利用 中心对 称性构造全 等三角形 ; 已知特殊 角   度, 可 旋转 特 殊角 度 构造 全等 三角形 .  
C 

( 2 0 1 2 年全 国初 中数 学联赛试题)   解 如图1 4, 以C D 为边 作 等边 AC D E, 联 结  A E, 可 得 AB C D   AA C E, 从而 B D=  E .因 为  / _ A D C:3 0 。 , 所 以 LA D E =9 0 。 . 在 R t   AA D E 中,  
A E= 5 , A D: 3 , 故 
DE :   =4 ,  

所以  

C D=D E= 4 .  

评注
A  C 

对 于某 些几 何题 , 尤 其 是条 件 中出现 或 

隐含着 6 0 。 或1 2 0 。 的几何题 , 利用构造等边三角形 
的方法 , 可 找到 简捷 的解 题 途 径.  
图l 3  

图 1 2  

4 . 2 构 造 对称 图形 解题 

例1 2 在 AA B C中 , 已知  C A B=6 0 。 , D, E分 

与三角形有关 的竞赛题类 型多、 难度大 、 思维  要求高, 但只要我们夯实基础 , 拓宽思路 , 关注知识  间的纵横联系 , 熟练运用分类讨论 、 数形结合及转  化、 化 归等思 想 和方 法 , 必 能有 章可 循.  


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