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山东省济宁市任城区2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


山东省济宁市任城区 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题 理
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目填涂在答题卡的相应位置. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能

答在试题卷上. 3. 第Ⅱ卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置,答卷前请将答题纸密封线内的学 校、班级、姓名、考试号填写清楚. 4. 考试结束,监考人员将答题卡和答题纸按顺序一并收回. 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

2 ? i ( i 为虚数单位)等于 1? i
B.2+ i
2 2

( C. i D. 1 (



A.2-2 i

2.欲证 7 ? 1 ? 11 ? 5 ,只需证 A. ( 7 ? 1) ? ( 11 ? 5 ) C. ( 7 ? 5 ) ? ( 11 ? 1)
2



B. ( 7 ? 1) ? ( 11 ? 5 )
2

2

2

D. ( 7 ? 5 ) 2 ? ( 11 ? 1) 2 )

4 4 4 4 3. 命题“对于任意角 ? , cos ? ? sin ? ? cos2? ”的证明: “ cos ? ? sin ? ?

(cos2 ? ? sin 2 ? )(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2? .”该过程应用了(
A.分析法 B.综合法 C.间接证明法 4.下面几种推理中是演绎推理的是 ( ) A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可以导电; B.猜想数列 5,7,9,11,?的通项公式为 an ? 2n ? 3 ; D.反证法

2 C. 半径为 r 的圆的面积 S ? ? ? r ,则单位圆的面积 S ? ? . D. 由正三角形的性质得出正四面体的性质;

5.用反证法证明命题:“设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做 的假设是 ( )
3

A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
3 3

B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
3 3

C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 6.如果命题 P (n) 对 n ? k 成立,则它对 n ? k ? 1 也成立,现已知 P (n) 对 n ? 4 不成立, 则下列结论正确的是 ( ) A. P (n) 对 n ? N 成立 C. P (n) 对 n ? 5 成立 7.若 f ( x) ? ? 3 4
2
? ? B. P (n) 对 n ? 4 且 n ? N 成立

D. P (n) 对 n ? 3 不成立 ( )

2 ? x , x ? [0,1] ,则 ? f ( x)dx ? 0 ?2 ? x, x ? (1,2]

A.

B.

4 5

C.

5 6

D.不存在 )

8.设 f(n)=

1 1 1 1 + + +?+ (n∈N*) ,那么 f(n+1)-f(n)等于( n ?1 n ? 2 n ? 3 2n

1

1 1 1 1 + C. D. 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 2n ? 1 2 P P 9. 点 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为(
A. B. A. 3 B.

1 1 - 2n ? 1 2n ? 2

)

3 3 2

C.

2 2 3

D. 2 ( )

10.如图所示是 y ? f ( x) 的导数图象,则正确的判断是 ① f ( x) 在(-3,1)上是增函数; ②x=-1 是 f ( x) 的极小值点; ③x=2 是 f ( x) 的极小值点; ④ f ( x) 在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数. A.①②④ B.②④ C.③④ D.①③④ 第 10 题图

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上). 11.在复平面上复数 ? 3 - 2i , - 4 ? 5i , 2 ? i 所对应的点分别是 A 、 B 、 C ,则平行四边 形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 ; 12.圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的,比如圆可以看成特殊的椭圆,所以很多 圆的性质结论可以类比到椭圆,例如 : 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 可以被认为由圆 a 2 b2

x2 ? y 2 ? a2 作纵向压缩变换或由圆 x2 ? y 2 ? b2 作横向拉伸变换得到的. 依据上述论述我
们可以推出椭圆 C 的面积公式为 13.函数 f ( x ) ?
2

; ;

4x 在区间 (m,2m ? 1) 上为增函数,实数 m 的取值范围为 x ?1

14. 在对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:

? 1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 3 ? 4 ?? ? 5 ?? ? 6 ?? ? 7 ?? ? 8 ? ? 10 ? 9 ?? ? 10?? ? 11?? ? 12?? ? 13?? ? 14?? ? 15? ? 21

??
按照此规律第 n 个等式: [ n 2 ] ? [ n 2 ? 1] ? ? ? [ n 2 ? 2n ] ?
2 下列三个数: a ? ef (2) , b ? f (3) , c ? e f (?1) 从小到大排列为 然对数的底数)



15.设函数 y ? f ( x)(x ? R) 的导函数为 y ? f ' ( x) ,且 f ( x) ? f (? x) , f ' ( x) ? f ( x) .则 .( e 为自

三、解答题(本大题共 6 小题,满分共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知 z 为复数, z ? 3 ? 2i 和

z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 1 ? 2i
2

(Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)若复数 ( z ? mi) 2 在复平面上对应的点在第二象限,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 求由曲线 y ? x2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积.

y

B A
0 1 2

x

18. (本小题满分 12 分)

第 17 题图

已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 在 x ? ?1 处取得极值,且在点 (0,?1) 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 2 x 的极值.

19. (本小题满分 12 分)
? 当 n ? N 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 3) , Tn ?

(n ? 3)( n ? 4) . 2

(Ⅰ)求 S1 , S2 , T1 , T2 ; (Ⅱ)猜想 Sn 与 Tn 的数量关系,并用数学归纳法证明.

20. (本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位: 元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 7) 2 . 其中 3<x<7,a 为常数. 已知销售价格为 6 元 x?4
3

/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成本为 4 元/千克,试确定销售价格 x(单位:元/千克)的值,使商场每日 销售该商品所获得的利润最大.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ?

ln x . x

1 处的切线方程; e 2 (Ⅱ) 令 f ( x) ? ax ? bx ? x ? ( g ( x)) (a, b ? R) .○ 1 若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; 2 设 a ? 0 ,且对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ? 2b 的大小. ○
(Ⅰ) 求函数 y ? g ( x) 的图象在 x ?

高二模块考试(理科)数学试题参考答案 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C B C A D C A D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) .

10 B

2 11. 7 ? 11i ; 12. ?ab ; 13. (-1,0] ; 14. n(2n ? 1) 或 2n ? n ; 15. b ? a ? c 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设复数 z ? a ? bi(a, b ? R)

由题意, z ? 3 ? 2i ? (a ? 3) ? (b ? 2)i ? R

? b ? 2 ? 0 ,即 b ? ?2 .

????????2 分
4

z (a ? bi )(1 ? 2i ) a ? 2b ? (2a ? b)i ? ? ?R 1 ? 2i 5 5 1 ? 2a ? b ? 0 ,即 a ? ? b ? 1 2 ? z ? 1 ? 2i ????????????6 分 2 2 (Ⅱ) ( z ? mi) ? [1 ? (m ? 2)i] ? 1 ? (m ? 2) 2 ? 2(m ? 2)i ???8 分
又 因为对应的点在复平面的第二象限.

?1 ? (m ? 2) 2 ? 0 ?m ? ?3或m ? -1 ? m ? -3 即? ?? m ? -2 ? ? ? 2(m ? 2) ? 0 所以的取值范围为 m ? -3 ???????????12 分
17. (本小题满分 12 分) 解:由 ?

y

?y ? x ? 2 得 A (1,3) , B (2,6) .????4 分 解 :由题意知阴影部分的面积是 : ? y ? 3x
2
2 2 2 S= ?1 0 ( x ? 2 ? 3 x) dx ? ?1 (3 x ? x ? 2) dx

B A
0 1 2

1 3 3 2 1 3 2 ? ( x3 ? 2 x ? x 2 ) |1 x ? 2 x) |1 0 ?( x ? 3 2 2 3 ?5 1 2 5 ? ? ? ?1 6 3 6
18. (本小题满分 12 分)

x

?????12 分

第 17 题图

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ,得 f ' ( x) ? 2ax ? b ,

? f ' (?1) ? 0 ?? 2a ? b ? 0 ,即 ? , ? f ' (0) ? 2 ? b?2 解得 a ? 1, b ? 2 ,
由题设可得 ? 所以 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 . ?????????????5 分 (Ⅱ)由题意得 g ( x) ? xf ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2x 2 ? x , 所以 g ' ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)(x ? 1) , 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x 2 ? ? ,

1 3

1 1 g ' ( x) ? 0 , x ? ?1或x ? - , g ' ( x) ? 0 , - 1 ? x ? 3 3 x 变化时, g ' ( x), g ( x) 的变化情况如下表: 1 1 1 x (??,?1) ( ?1,? ) ? (? ,?? ) ?1 3 3 3

g ' ( x)
g ( x)

?

0
有极大值

-

0
有极小值

?

g ( x) 的极大值为 g (-1) ? -1? 2 - 1 ? 0 , 1 1 2 1 4 ? - ? - .????????12 分 g ( x) 的极小值为 g (- ) ? 3 27 9 3 27
19. (本小题满分 12 分)

5

(2 ? 3)( 2 ? 4) (1 ? 3)(1 ? 4) T2 ? ? 15 ? 10 2 2 (Ⅱ)猜想: S n ? Tn (n ? N * ) T1 ?
即: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 3) ? 下面用数学归纳法证明: 当 n ? 1 时,已证 S1 ? T1
? 假设 n ? k 时, S k ? Tk ( k ? 1, k ? N ) ,

解: (Ⅰ) S1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 , S 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 , ????4 分

(n ? 3)(n ? 4) (n ? N? ) ??????6 分 2

(k ? 3)( k ? 4) 2 (k ? 3)( k ? 4) ? (k ? 4) 则 S k ?1 ? S k ? (k ? 4) ? 2 (k ? 3)( k ? 4) ? 2(k ? 4) (k ? 4)( k ? 5) ? ? 2 2 ?(k ? 1) ? 3??(k ? 1) ? 4? ? T ? k ?1 2 由①,②可知,对任意 n ? N ? , S n ? Tn 都成立.???????????12 分
即: 1 ? 2 ? 3 ? ? (k ? 3) ? 20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 x=6 时,y=11,所以, +10=11,a=2. ???????2 分 2 (Ⅱ)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为

a

2 2 +10(x-7) , x?4

f(x)=(x-4)[

2 2 2 +10(x-7) ]=2+10(x-4)(x-7) , (3<x<7) ??????6 分 x?4
2

从而,f′(x)=10[(x-7) +2(x-4)(x-7)]=30(x-5)(x-7), 令 f′(x)=0,得 x=5 或 x=7(舍去). 因为当 x∈(3,5)时,f′(x)>0,当 x∈(5,7)时,f′(x)<0, 所以 f (x)在(3,7)取得唯一的极大值,也就是最大值. 所以,当 x=5 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42.. 答:当销售价格为 5 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.?????13 分 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ?

ln x . x

1 处的切线方程; e 2 (Ⅱ) 令 f ( x) ? ax ? bx ? x ? ( g ( x)) (a, b ? R) .○ 1 若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; 2 设 a ? 0 ,且对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ? 2b 的大小. ○
(Ⅰ) 求函数 y ? g ( x) 的图象在 x ?

1 1?1 1 ? ln x 1 g'( ) ? ? 2e 2 , g ( ) ? ? e 2 1 e e x e2 1 2 2 所以切线方程为 y ? e ? 2e ( x ? ) 即 2e x ? y ? 3e ? 0 ????????3 分 e
解:(Ⅰ) g ' ( x) ?
6

(Ⅱ)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x , x ? (0,??) ,得 f ' ( x) ? ①当 a=0 时, f ' ( x) ?

bx ? 1 . x 若 b≤0,当 x>0 时, f ' ( x) <0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) . 1 若 b>0,当 0<x< 时, f ' ( x) <0,函数 f(x)单调递减. b 1 当 x> 时, f ' ( x) >0,函数 f ( x) 单调递增. b ? 1? ?1 ? 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? .??????6 分 ? b? ?b ? 2 ②当 a>0 时,令 f ' ( x) =0,得 2ax +bx-1=0.
由 Δ =b +8a>0 得
2

2ax 2 ? bx ? 1 . x

?b ? b 2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a , x2 = . x1 = 4a 4a 显然, x1 <0, x2 >0. 当 0<x< x2 时, f ' ( x) <0,函数 f ( x) 单调递减; 当 x> x2 时, f ' ( x) >0,函数 f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,x2 ) ,单调递增区间是 ( x2 ,??) .??9 分
综上所述, 当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) ;

? 1? ?1 ? ? b? ?b ? 当 a>0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,x2 ) ,单调递增区间是 ( x2 ,??) .???10 分 (2)由题意,函数 f ( x) 在 x=1 处取得最小值,
当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? ;

?b ? b2 ? 8a 由(1)知 是 f ( x) 的唯一极小值点, 4a ?b ? b2 ? 8a 故 =1,整理得 2a+b=1,即 b=1-2a. 4a 1? 4x 1 令 ? ( x) ? 2 ? 4 x ? ln x ,则 ? ' ( x) ? , ? ' ( x) ? 0 ,得 x= . 4 x 1 当 0<x< 时, ? ' ( x ) >0, ? ( x) 单调递增; 4 1 当 x> 时, ? ' ( x ) <0, ? ( x) 单调递减. 4 1 1 因此 ? ( x) ≤ ? ( ) =1+ ln = 1 ? ln 4 <0, 4 4 故 ? (a ) <0,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b . ?????????????????14 分

7


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