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指数与指数函数图形以及性质(内含答案)


专题四 指数函数 了解层次的内容:理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质 重点掌握的内容:1.分数指数幂的概念及其运算性质; 2.指数函数的图象和性质. 常考知识部分:指数函数的概念、图象、性质 一、知识梳理 1.整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 (2)运算法则 ①; ②; ③; ④. 2.根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义: 若 xn=y(n∈

N*,n>1,y∈R),则 x 称为 y 的 n 次方根. n 为奇数时,正数 y 的奇次方根有一个,是正数,记为;负数 y 的奇次方根有一个,是 负数,记为;零的奇次方根为零,记为; n 为偶数时, 正数 y 的偶次方根有两个, 记为; 负数没有偶次方根; 零的偶次方根为零, 记为. (2)根式的意义与运算法则 3.分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论,我们约定 a>0,n,mN*,且为既约分数,分数指数幂可如下定义: 4.有理数指数幂的运算性质 (1) 用. 注意: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交 换.如 ; (3)幂指数不能随便约分.如. 5.指数函数 (1)定义: 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. (2)图象及性质: y=ax (2) (3) 当 a>0,p 为无理数时,ap 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适

0<a<1 时图象

a>1 时图象 图象

性质 ①定义域 R,值域 (0,+∞)

②a0=1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点

③ax=a,即 x=1 时,y 等于底数 a

④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数

⑤x<0 时,ax>1 x>0 时,0<ax<1 ⑤x<0 时,0<ax<1 x>0 时,ax>1

⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 规律方法指导 1.指数幂的一般运算步骤: 有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负 数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽 可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:a2-b2=(a -b) (a+b) , (a±b)2=a2±2ab+b2, (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3,a3-b3=(a- b) (a2+ab+b2) ,a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)的运用,能够简化运算. 2.指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若; ; ; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可. 二、精讲精练

类型一、指数运算、化简、求值 1.计算: (1); (2) (3); 解:(1)原式=; (2)原式=; (3)原式=-5+6+4--(3-)=2; 注意:[1]运算顺序(能否应用公式); [2]指数为负先化正; [3]根式 化为分数指数幂. 【变式 1】计算下列各式: (1); (2). 解:(1)原式=; (2)原式. 2.化简下列各式. (1) ; (2); (3). 思路点拨: (1)即合并同类项的想法,常数与常数进行运算,同一字母的化为该字母的指数运算; (2)对字母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系; (3)具体数字的运算,学会如何简化运算. 解:(1) (2) (3) 【变式 1】化简: . 解:原式=. 注意:当 n 为偶数时,. 3.已知,求的值. 解:因为, 所以 , 所以 故当 a>b 时, =a-b.当 a=b 时,=0.当 a<b 时,. 总结升华:本题在求解过程中要注意: ①要对所求的式子先进行化简; ②等式=的灵活运用. 【变式 1】(1)已知 2x+2-x=a(a 为常数),求 8x+8-x 的值. (2)已知 x+y=12, xy=9,且 x<y,求的值. 解: (1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3 (2) 又∵ x+y=12, xy=9, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 又 ∵ x<y, ∴x-y=代入(1)式得:. 总结升华: (1)对幂值的计算,一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂,再考虑同底幂的运算 法则以及乘法公式. (2)一般不采用分别把 x, y, 2x 的值求出来代入求值的方法,应先将原式进行分母有 理化,并用乘法公式变形,把 2x+2-x,x+y 及 xy 整体代入后再求值.

类型二、函数的定义域、值域 4.求下列函数的定义域、值域. (1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a 为大于 1 的常数) 解:(1)函数的定义域为 R (∵对一切 xR,2x≠-1). ∵ ,又∵ 2x>0, 1+2x>1, ∴ , ∴ , ∴ , ∴值域为(0,1). (2)定义域为 R, ,∵ 2x>0, ∴ 即 x=-1 时,y 取最小值,同时 y 可以取一切大于的实数,∴ 值域为[). (3)定义域为 R,∵|x|≥0, ∴ -|x|≤0, ∴ ,∴ 值域为(0,1]. (4)∵ ∴ 定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞), 又∵ ,∴ , ∴值域为[1,a)∪(a,+∞). 总结升华:求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉 y>0 的条 件,第(4)小题中不能遗漏. 【变式 1】求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) 解:(1)R (2) 需满足 3-x≥0,即 (3) 为使得函数有意义,需满足 2x-1≥0,即 2x≥1,故 x≥0 (4)a>1 时, ;0<a<1 时,. 总结升华: 本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性, 根据所给的同底指数幂的 大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 5.(利用指数函数的单调性比较大小)判断下列各数的大小关系: (1)1.7a 与 1.7a+1; (2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3)(4)22.5,(2.5)0,(5)1.080.3 与 0.983.1 (6) 解: (1)1.7a<1.7a+1. 底数 1.7>1,所以函数 y=1.7x 为单调增函数, 又因为 a<a+1,所以 1.7a<1.7a+1. (2)0.8-0.1<0.8-0.2 (3) (4) (5)1.080.3>1>0.983.1 (6)a>1 时, 0<a<1 时, 总结升华: (1)注意利用单调性解题的规范书写; (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性); (3)不能化为同底的,借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是 0 和 1). 【变式 1】比较大小: (1)22.1 与 22.3 (2)3.53 与 3.23 (3)0.9-0.3 与 1.1-0.1 (4)0.90.3 与 0.70.4 (5). 思路点拨:[1]辅助函数单调性; [2]数形结合; [3]搭桥——找一个中介值. 解: (1)22.1<22.3 (2)3.53>3.23.观察两函数值,底数不同,而指数不变——不是指数函数,而是 y=x3,它 为增函数.

(3)由 0.9-0.3,0<0.9<1, -0.3<0T0.9-0.3>1, 1.1>1, -0.1<00<1.1-0.1<1, 则 0.9-0.3>1.1-0.1; (4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合,0.90.3>0.70.4. (5)∵,又函数为减函数, , ∴ , ∵为增函数,时,y>1,. 另解:幂函数为增函数,则有,(下略). 6.求函数(x[-3,2])的单调区间,并求出它的值域. 解:令, 则, ∵ x[-3,2], ∴ , ∴, ∴ 值域为[,57], 再求单调区间. (1) 即 即 x[1,2]时,是单调减函数, 是单调减函数,故是单调增函数. (2)即即 x[-3,1]时,是单调减函数, 是单调增函数,故是单调减函数, ∴ 函数的单调增区间是[1,2],单调减区间是[-3,1]. 总结升华:形如 y=Aa2x+Bax+C(a>0,且 a≠1)的函数若令 ax=u,便有 y=Au2+Bu+C,但 应注意 u>0. 【变式 1】求函数的值域及单调区间. 思路点拨:[1]复合函数——分解为:u=-x2+3x-2, y=3u; [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [3]求值域. 解:设 u=-x2+3x-2, y=3u, 其中 y=3u 为 R 上的单调增函数,u=-x2+3x-2 在上单增, u=-x2+3x-2 在上单减, 则在上单增,在上单减. 又 u=-x2+3x-2, 的值域为. 类型五、指数函数的图象问题 11.为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ) A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 思路点拨:注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵,∴把函数的图象向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 5 个单位长度,可得到函数的图象,故选 C. 总结升华: 用函数图象解决问题是中学数学的重要方法, 利用其直观性实现数形结合解 题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 12. 已知函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1, 3), 且将其图象关于直线 y=x 翻折后图象过点(2, 0),求函数 f(x)的解析式. 解:因为函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1,3),所以 a+b=3 又因为其图象关于直线 y=x 翻折后图象过点(2,0),所以函数 f(x)=ax+b 的图象过点 (0,2),得 b=1 所以 a=2 所以函数 f(x)的解析式为 y=2x+1.

举一反三: 【变式 1】 (2011 四川文 4)函数的图象关于直线对称的图象大致是( ) 思路点拨:注意先将的图象向上移一个单位,得到的图象,所以的图象过定点. 解:图象过点,且单调递减, 故它关于直线对称的图象过点且单调递减,选 A. 基础达标 一、选择题: 1.化简,结果是( ) A. B. C. D. 2.等于( ) A. B. C. D.

3.若,且,则的值等于( ) A. B. C. D.2 4.函数在 R 上是减函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.下列函数式中,满足的是( ) A. B. C. D. 6.(2011 湖北理 6)已知定义在上的奇函数和偶函数满足 ,若,则( ) A.2 B. C. D. 7.已知,下列不等式(1) ;(2);(3);(4); (5)中恒成立的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 9.函数的值域是( ) A. B. C. D.

D.非奇非偶函数

10.已知,则函数的图像必定不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.是偶函数,且不恒等于零,则( ) A.是奇函数 B.可能是奇函数,也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 12.一批设备价值万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低,则年后这批设备的价 值 为( ) A. B. C. D. 二、填空题: 13.(2011 广东广州)设函数若,则的取值范围是_________. 14.函数的值域是_______________. 15.函数的单调递减区间是_______________. 16.若,则_______________. 三、解答题: 17.设,解关于的不等式. 18.已知,求的最小值与最大值.

19.设, ,试确定的值,使为奇函数. 20.已知函数,求其单调区间及值域. 21.若函数的值域为,试确定的取值范围. 22.已知函数, (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明是上的增函数. 答案与解析 基础达标 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、填空题 13.,当时,由可知, ;当时, 由可知, ,∴ 或 . 14.,令,∵ , 又∵为减函数,∴. 15.,令, ∵为增函数,∴的单调递减区间为.

16.0, 三、解答题: 17.∵,∴ 在上为减函数,∵ , ∴. 18., ∵, ∴. 则当,即时,有最小值;当,即时,有最大值 57. 19.要使为奇函数,∵ ,∴需, ∴,由, 得,. 20.令, ,则是关于的减函数,而是上的减函数, 上的增函数,∴在上是增函数,而在上是减函数, 又∵, ∴的值域为. 21.,依题意有 即,∴ 由函数的单调性可得. 22.(1)∵定义域为,且是奇函数; (2)即的值域为; (3)设,且, (∵分母大于零,且) ∴是上的增函数.


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