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第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


?               中学数学月刊          48? 2001 年第 4 期

第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答
竞赛日: 2001 年 3 月 18 日
   1 . ( 满分 20 分 ) 汽 车 在 行驶 中 , 由 于 惯性 的 作 用 , 刹车后还要继续 向前滑行一段距离 才能停住 . 我 们 称这段 距离为 “ 刹 车距离” . 刹车距 离是分 析事 故 的一 个重 要的因 素 . 在一个 限速 为 40 千米 / 时的 路 段上 , 先后有 A , B 两汽 车发生交通 事故 . 事故后 , 交 通 警察 现场 测得 A 车 的刹 车距 离超 过 12 米 , 不 足 15 米 , B 车的 刹车距 离超过 11 米 , 不足 12 米 . 又 知 A , B 两种车型的刹车距离 S ( 米 ) 与车速 x ( 千米 / 时 ) 之间 有如下 关系 : S A = 0. 1x A + 0. 01x 2 A , S B = 0. 05x B + 0. 005x 2 B . 如果 仅仅 考虑汽 车的 车速 因素 , 哪辆 车 应负责任 ? 解  由 题意得这两辆汽车的 刹车距离分别满 足 如下的关系式 : 12< 0. 1x A + 0. 01x 2 A < 15,
2 11< 0. 05 x B + 0. 005x B < 12,

3∶ 00 4∶ 00 5∶ 00 6∶ 00 7∶ 00

7. 5 7. 3 6. 5 5. 3 4. 1

11 ∶ 00 12 ∶ 00 13 ∶ 00 14 ∶ 00 15 ∶ 00

3. 5 4. 4 5. 6 6. 7 7. 2

19∶ 00 20∶ 00 21∶ 00 22∶ 00 23∶ 00

4. 4 3. 3 2. 5 2. 7 3. 8

   ( 1) 请在答 卷的坐 标纸上 , 根据 表中 的数据 , 用 连续曲线描出时间与水深关系的函数图象 ; ( 2) 一 条货船 的吃水 深度 ( 船底 与水面 的距 离 ) 为 4 米 , 安全 条例规 定至少 要有 1. 5 米 的安全 间隙 ( 船底与洋底的距离 ) , 问该船何进能进入港 口 ? 在港 口能呆多久 ? ( 3) 若某船的 吃水深度为 4 米 , 安全间 隙为 1. 5 米 , 该 船在 2 ∶ 00 开始卸货 , 吃水深 度以每 小时 0. 3 米的速度减少 , 那么该船在 什么时间必须停止 卸货 , 将船驶向较深的水域 ? 解  ( 1) 描点作图 . 设 x 表 示时间 , y 表示水深 .

分别求解这两个不等式 , 得 30< x A < - 5+ 42< - 5+ 1525< 35,

2225< x B < - 5+ 2425< 45. 可见 , A 车 无责任 , B 车 应负责任 . 2 . ( 满分 20 分 ) 北京电 视台每星期六晚 播出《 东 芝 动物 乐园 》 , 在 这个 节 目中 曾经 有 这样 一个 抢 答 题 : 小蜥蜴体长 15 cm , 体重 15g , 问 : 当小蜥蜴长 到体 长为 20cm 时 , 它的体重大约是多少 ( 选择答案 : 20g , 25g , 35g , 40 g) ? 尝试用数学分析出合理的解答 . 解  假设小 蜥蜴 从 15cm 长到 20cm , 体 形是 相 似的 . 这时蜥蜴的体 重正比于它的体积 , 而体积与 体 长的立方成正比 . 记体长为 l 的蜥蜴的体重为 w 1 , 因此有 20 203 = 15 × ( ) 3 = 35. 56( g) . 153 15 合理的答案应该是 35g . w 20 = w 15 3 . ( 满 分 20 分 ) 受日 月 的引 力 , 海 水 会发 生 涨 落 , 这种 现象叫做 潮汐 . 在通 常的 情况 下 , 船 在涨 潮 时驶 进航道 , 靠近 船坞 ; 卸货 后落 潮时 返回海 洋 . 下 面是某港口在某季节每天的时间与水深 关系表 : 时间 水深 ( 米 ) 时刻 水深 ( 米 ) 时刻 水深 ( 米 ) 0 ∶ 00 1 ∶ 00 2 ∶ 00 5. 0 6. 2 7. 1 8 ∶ 00 9 ∶ 00 10∶ 00 3. 1 2. 5 2. 7 16 ∶ 00 17 ∶ 00 18 ∶ 00 7. 4 6. 9 5. 9 图1 ( 2) 由 题目条件 , 水深至少为 5. 5 米时 才能保证 货船驶入港口的安全 . 为此在上图 中做一条 y = 05. 5 的水平直 线 a . 图象 在 a 上方时 , 其对应 的 x 范围为 货船驶入港口的 安全时间段 , 从图中可以看出 , 这个 时间段约为 0∶ 30 到 5 ∶ 40, 或 13 ∶ 00 到 18 ∶ 20, 在 港口停留的时间大约为 5 小时 . 也可以用线性插 值方法 , 在 已知点中 , 若相邻两 点在直 线 a 的 异侧 , 设加在 它们中 间且 过直 线 a 的 点与它们共线 . 于是 利用点 ( 0, 5) 和 ( 1, 6. 2) , 得 x 1 = ( 5. 5- 5) / ( 6. 2 - 5) = 0. 417, 对应的时 间为 0 ∶ 25; 利用 点 ( 5, 6. 5) 和 ( 6, 5. 3) , 得 x 2 = 5. 83, 对应的 时间为 5∶ 50. 由此 得到第一个满足条件的时间段约为 0 ∶ 25 ~ 5∶ 50. 同 理 , 利用点 ( 12, 4. 4) 和 ( 13, 5. 6) , 得 x 3 = 12. 92, 对应的时间为 12∶ 55; 利用点 ( 18, 5. 9) 和 ( 19,

2001 年第 4 期           中学数学月刊                 ?49?
4. 4) , 得 x 4 = 18. 27, 对应的时间为 18∶ 16. 由此得到 第二个满足条件的时间段约为 12 ∶ 55 ~ 18∶ 16. ( 3) 2 ∶ 00 时 水深为 7. 1 米 , 船 需要的 安全水 深 随着卸货时间的变化公式为 : y = 5. 5- 0. 3( x - 2) ; 其 中 2< x < 5. 83, 此 处利 用了 插值 的结 果 . 在 上面 的函数 图象中 画出该 图象 , 看出 与原图 象的 交 点大 约在 7∶ 00 左右 , 故 知在 7 ∶ 00 以前该 货船 一 定要离开码头驶到较深的安全水域 . 4 . ( 满 分 20 分 ) 2000 年末 , 某商 家迎来 店庆 , 为 了吸 引顾客 , 采取 “ 满一百送 二十 , 连环 送” 的酬宾 方 式 , 即顾客在店内 花钱满 100 元 ( 这 100 元可以是 现 金 , 也可 以是奖 励券 , 或二 者合 计 ) , 就 送 20 元奖 励 券 ; 满 200 元 , 就送 40 元 奖励券 ; 满 300 元 , 就送 60 元 奖励 券 ; … 当日 , 花 钱最 多 的一 顾 客是 用了 现 金 70 000 元 , 如 果按照酬宾 方式 , 他最多能得 到多少 优 惠呢 ? 相当于商家打了几折销售 ? 解  购物价 值 = 所用人 民币 值 + 优惠值 , 将 最 多购物价值记作 a max . 按下列方法购物 : 第一次用现金购物 70 000 元 , 获得奖励券 70 000× 20% = 14 000( 元 ) ; 第二次用奖励券购物 14 000 元 , 获得奖励券 14 000× 20% = 2800( 元 ) ; 第三次用奖励券购物 2 800 元 , 获得奖励券 2 800 × 20% = 560( 元 ) ; 第四次用奖励券购物 500 元 , 获得奖励券 500 × 20% = 100( 元 ) ; 第五次用奖励券购物 100 元 , 获得奖励券 100 × 20% = 20( 元 ) ; 第六 次用奖励券购物 80 元 ( 60+ 20) , 获得奖 励 券 0 元. 至 此 , 现 金及 奖励券 全部 用完 , 共计 购物 ( 记 作 a) a = 70 000+ 14 000+ 2 800+ 500+ 100+ 80= 87 480( 元 ) . 70 000 = 80. 018% , 近似于八折 . 87 480 下面证明 a max = a . 而 设分 k 次将 70 000 元花 掉 , 第 i 次购物 获得 的 奖励券为 x i 元 , 剩下的钱为 y i 元 ( 不包括第 i 次获得 的奖励券 ) . 则 0 ≤ y i ≤ x i - 1 + y i - 1 , 并可依次得 x 1 = ( 70 000- y 1 ) 20% ≤ 14 000; x 1 + x 2 = ( 70 000- y 1 ) 20% + [ ( 70 000 - y 1 ) 图2 保安员站在固 定的位置上 , 不允许转身 , 只能 监 视他 的左 右两 侧和 正前 方 , 形如 一个 “ T” 形 的区 域 , 且一个保安员的正前方不安排 其他保安员 . 不考虑保安员的轮岗、 换班 问题 . ! 展品的安全意 味着每一个展区的 四面外墙都 在保安员的监视范围内 . 问题 : ( 1) 对于 如上 图所 示的展 厅中 , 最少 需要 20% = 70 000 ? 20% + 70 000 ( 20% ) 2 + 70 000 ( 20% ) 3 - ( 20% ) 3 y 1 - ( 20% ) 2 y 2 - 20% y 3 ; 一般地 x 1 + x 2 + x 3 + … + x k = 70 000 ? 20% + 70 000( 20% ) 2 + … + 70 000( 20% ) k - ( 20% ) ky 1 … - ( 20% ) 2y k - 1 - 20% y k , 即  x 1 + x 2 + x 3 + … + x k < 70 000? 20% + 70 000( 20% ) 2 + … + 70 000( 20% ) k . 因为  lim [ 20% + ( 20% ) 2 + … + ( 20% ) k ]
k→∞

20% + y 1 - y 2 ] 20% = 70 000? 20% + 70 000( 20% ) 2 - ( 20% ) 2 y 1 20% y 2 ; x 1 + x 2 + x 3 = 70 000 ? 20% + 70 000( 20% ) 2 ( 20% ) 2y 1 - 20% y 2 + { [ ( 70 000- y 1 ) 20% + y 1 - y 2 ] 20% + y 2 - y 3 }

= 0. 25, 所 以   x 1 + x 2 + x 3 + … + x k < 70 000[ 20% + ( 20% ) 2 + … + ( 20% ) k ] < 17 500. 则总共 购物价 值为  70 000+ x 1 + x 2 + x 3 + … + x k < 70 000+ 17 500= 87 500. 即  amax = 87 480 元 . 接近八折 . 5. ( 满 分 20 分 ) 某城市准备举行 书画展览 , 为了 保证展 品安全 , 展览 的保卫 部门准 备安 排保安 员值 班 . 情况如下 : 展览大厅是长方形 , 内设均 匀分布的 m ×n 个 长方 形展区 , 如图 所示 ( 图 2 是 一个 3 × 4 个展 区的 示意 图 ) . 在展 厅中 , 展览的 书画被 挂在 每个展 区的 外墙上 , 参观者在通道上浏览书画 .

几 个 保安 员 能使 展品 安 全 ? 在答 卷 的图 中用 符 号 “ ♀” 标明保安员的位置 ( 不要求证明 ) . ( 2) 假如 展厅 有 n × m ( n ≥ 3, m ≥ 4, n ∈ N, m ∈ N ) 个展区 , 最少需要多少个保安员能使展品安全 ? 请 证明你的结论 . 解  ( 1) 对 如图 所示 的 3 × 4 个展 区 , 至 少要 5 个保安员才能保证展览的书画是安全的 . 保安 员站 位的方 案有 多种 , 其中 一个 如图 3 所 示:

  由于保安员监视范围是“ 型区域 , 所以称保安 T” 员的位置对应的“ 格阵” 中的格点为“ T” 形点 . 这样 , 我 们把实际问题转化 为一个数学模 型 : 在 格 阵” 中至 少取几 个“ 形点能 够用 这些“ n× m “ T” T” 形区域覆盖 n ×m “ 格阵” 的全部 n + m + 2 条边 . 首先 , “ T” 形点 放在 n × m “ 格阵” 的 外边框 的格 点上才 能发挥 最大作 用 , 覆盖两 条边 . 否 则 , 如 果在 中间 某一格点处 放一“ 形点 P , 那么这一 “ 形点 T” T” 只覆盖 了过点 P 的一 边与 过点 P 的另 一边的 一部 分 , 而另一部 分还需 要另外的 “ T” 形点 去覆盖 , 这样 形点相当于只覆盖了一条边 . P“ T” 此外 , 在 n × m “ 格阵” 的 边界格 点上 , 当有 了一 个“ T” 形点 时 , 如 果在此 边界上 再放入 第二个 , 它所 在的边界已不需要它覆盖 , 那么这个“ T” 形点相当于 只覆 盖了一 条边 . 由于 n × m “ 格 阵” 只有 4 条边 界 , 所以“ 形点 多于 4 个时 , 其 中 4 个 覆盖 两条边 , 其 T”

图3 ( 2) 对 n × m ( n ≥ 3, m ≥ 4, n ∈ N , m ∈ N ) 个展区 , 至少要 m + n - 2 个保安员 才能保证展览的书画是安 全的 . 证明 : 我们把模型进行抽象 , 把 n × m ( n ≥ 3, m ≥ 4, n ∈ N , m ∈ N ) 个展区抽 象成一 个 n × m “ 格阵” ,它 有 n+ m + 2 条边 ( 对应待监 视的走廊 ) , 且 用字母 标 记如下 :

余的 只相当 于覆盖 一条边 . 因为 这“ 其余的 ” 不 是被 放在中间的格点上 , 就是被 放在已有一个“ T” 形点的 边界 上 . n × m “ 格 阵” 共 有 m + n + 2 条边 , 所以 至少 需“ ” 形点 ( + + 2) - 4 个, 即 m + n - 2 个. T m n 另 外 , 也的确 有如 下的 办法用 m + n - 2 个“ T” 形点控制 n ×m “ 格阵” 的 m + n + 2 条边 . 在 ( B 0 , A 1 ) , ( B 1 , A 0 ) , ( B n , A m- 1 ) , ( B n- 1 , A m) 处 放 4 个“ T” 形点 , 它们可以控制 8 条边 . 再 在 ( B 2 , A 0 ) , ( B 3 , A 0 ) , …… ( B n - 2 , A 0 ) , 这 n 3 个位置上 放 n - 3 个 “ T” 形 点 , 它们 可以 覆盖 不同 于前面的 n - 3 条横向边 . 再在 ( B n , A 2 ) , ( B n , A 3 ) , …… ( B n , A m- 2 ) , 这 m 3 个位置上 放 m - 3 个“ T” 形点 , 它们 可以覆 盖不同 于前面的 m - 3 条纵向边 . 总 计覆盖 了 8+ ( n - 3) + ( m - 3) 条 不同的 边 ,

图4

即 n+ m + 2 条不同的边 , 也就是整个 n× m “ 格阵” .

中学数学月刊
1978 年 7 月创刊 2001 年第 4 期 ( 总第 215 期 ) 2001 年 4 月 15 日出版

主办单位  苏 州 大 学 江苏省数学学会 出版单位  中 学 数 学 月 刊 编 辑 部  ( 邮编: 215006) 印刷单位  苏 州 大 学 印 刷 厂 主  编  唐 复 苏    发  行 苏州市邮电局 责任编辑  杨 建 明    订  阅 全国各地邮局

ISSN 1004— 1176 发行范围 公开  刊号  CN 32— 1444/ O1   报刊代号 28—75  定价 2. 80 元


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