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河南省信阳市2014—2015学年度高中毕业班第二次调研检测——数学文


信阳市 2014——2015 学年度高中毕业班第二次调研检测

文科数学
注意事项: 1.答题前,考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上,并用 2B 铅笔 将准考证号填涂在相应位置。? 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。? 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符号题目要求的。 1.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , N ? ?x | x ? k ? 0? ,若 M ? N ,则 k 的取值范围是 A. k ? 2 B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. k ? 2 2.在复平面内,复数 Z ? A.第四象限

2 ? i 2015 对应的点位于 3?i
C.第二象限 D.第一象限

B.第三象限

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于 A.36 B.45 C.54 D.27 4.已知 a=( )

3 5



1 3

, b=( )

3 5



1 4

, c=( )

3 2



3 4

,则 a、b、c 的大小关系是

A.c<a<b C.b<a<c

B.a<b<c D.c<b<a

5.在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某 选手打出的分数的茎叶统计图如图, 去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.5 和 1.6 C.85 和 0.4 A.5 C.7 B.85 和 1.6 D.5 和 0.4 B.6 D.8

6.执行如图所示的程序框图输出的结果是

1

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图

像如下图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个 单位得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为 A. g ( x) ? sin B. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1) ( x ? 1)
x ? 1) x ? 1)

?
8

C. g ( x) ? sin(

?
2

D. g ( x) ? sin(

?
8

2 8. 已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1) ,且当 x∈[-1,1]时,f(x)=x ,

则 y=f(x)与 y ?| log 5 x | 的图象的交点个数为 A.3 B.4 9. 下列命题中,真命题是
x 2 A.对于任意 x∈R, 2 ? x ;

C.5

D.6

B.若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题;

b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“α ?b ? 0 ”; C.“平面向量α,
D.存在 m∈R,使 f ( x) ? (m ?1) xm 10.函数 y ?
2

? 4 m ?3

是幂函数,且在 ? 0, ?? ? 上是递减的.

sin 2 x 的图像大致为 2x ? 2? x

A
2 2

B

C

D

11. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1(b ? 0) ,过其右焦点 F 作圆 x2 ? y 2 ? 9 的两条切线,切点记作 C , 9 b D ,双曲线的右顶点为 E , ?CED ? 1500 ,则其双曲线的离心率为
2 3 9
B. D.
3 2

A.

2 3 3 12.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,
C. 3

f ( x) 的导函数 y= f ?( x ) 的图象如图所示.
x -1 0 2 4
2

5

y 1 2 0 2 1 若函数 y=f(x)-a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为 A. ?1, 2 ? B. ?1,2 ? C. ?2,3? D. ?1,3?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上。 13. 已知向量α 与b 的夹角为 120° ,且α ? b ? 4 ,那么 b ? (2 α ? b ) 的值为________.

?x ? y ?1 ? 0 2x ? y ?1 ? 14. 已知实数 x,y 满足约束条件 ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,则 z ? 的最大值为 x ?1 ?y ? 2 ? 0 ?
15.若函数 f(x)=sin(x+α)-2cos(x﹣α)是奇函数,则 sinα?cosα=
2





16. 设 M ( x0 , y 0 ) 为抛物线 C:x ? 8 y 上一点, F 为抛物线 C 的焦点, 以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y 0 的取值范围是 。

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本题满分 12 分) 在△ABC 中, (I)求 sinA 的值; (II)求 的值. ,BC=1, .

18. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的前

n 项和 Sn ? n 2 ? an .
(I)求数列 {an }{ , bn } 的通项公式; (II)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

19.(本题满分 12 分) 某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问卷进行统 计,得到相关的数据如下表: 节能意识弱 20 至 50 岁 45
3

节能意识强 9

总计 54

大于 50 岁 总计

10 55

36 45

46 100

(I)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (II)若全小区节能意识强的人共有 360 人,则估计这 360 人中,年龄大于 50 岁的有多 少人? (Ⅲ)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰 有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率。

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为 3 : 1 . a2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, Q, 若 OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) , 求 t 的值; 21.(本题满分12分)

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 (II)若函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 ,求 a 的值. 2
已知函数 f ( x) ? ln x ? 请考生在 22 题,23 题,24 题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O,过点 A 作 圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P, ∠BAC 的平分线 分别交 BC 和圆 O 为点 D,E,若 PA=2PB=10. (Ⅰ)求证:AC=2AB; (Ⅱ)求 AD · DE 的值. 23. (本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲

4

已知直线 l: ?

1+t cos ? ? x=- (t 为参数,α 为 l 的倾斜角) ,以坐标原点为极点,x 轴 ? y=t sin ?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 -6ρcosθ+5=0. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 相切,求 α 的值; (Ⅱ)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为(x,y) ,求 x+y 的取值范围. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正实数 a,b 满足: a +b =2 ab . (Ⅰ)求
2 2

1 1 + 的最小值 m; a b 1 t

(Ⅱ)设函数 f(x)=|x-t|+|x+ |(t≠0) ,对于(Ⅰ)中求得的 m,是否存在 实数 x,使 f(x)=

m 成立,说明理由. 2

高三数学文科参考答案
5

一.DACDB
二.13.0 三. 14.

ABCDA

DA
16. (2,+∞) ,得 ,……3 分 .……6 分
2
2

4 5

15.

17.解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由 又由正弦定理:
2

得:
2

(Ⅱ)由余弦定理:AB =AC +BC ﹣2AC?BC?cosC 得: 2 ? b ? 1 ? 2b ? 即b ?
2

3 , 4

1 3 b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 2 或 b ? ? (舍去) ,所以 AC=2.………………8 分 2 2
=BC?CA?cos(π﹣C)= .……………………12 分

所以, 即

18.解; (I)由题意数列{an} 是以 3 为首项,以 2 为公差的等数列, ∴an=2n+1……………………3 分 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 当 n ? 2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2+2 对 b1 =4 不成立 所以,数列 {bn } 的通项公式: bn ? ? (II)当 n ? 1 时, T1 ? 当 n ? 2 时,

?4, (n ? 1) ……6 分 ?2 n ? 1, (n ? 2)

1 1 ? b1b2 20

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………………8 分 bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

∴ Tn ?

1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 n ?1 6n ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 20 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

n ? 1 仍然适合上式
综上, Tn ?

6n ? 1 ……………………12 分 20(2n ? 3)

19. (本题满分 12 分)解(I)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强,

9 36 与 相差较大, 所以节能意识强弱与年龄有关……3 分 54 46
6

(II)年龄大于 50 岁的有

36 ? 360 ? 288 (人)……6 分(列式 2 分,结果 1 分) 45
9 ? 1 人…………7 分 45

(Ⅲ)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的有 5 ? 年龄大于 50 岁的有 4 人………………8 分

记这 5 人分别为 A, B1 , B2 , B3 , B4 ,从这 5 人中任取 2 人,所有可能情况有 10 种,列举如下

?A, B1?,?A, B2?,?A, B3?,?A, B4?,?B1, B2?,?B1, B3?,?B1, B4?,?B2 , B3?,?B2 , B4?, ?B3, B4?
…10 分 设 A 表示事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁”,则 A 中的基本事件 有 ? A, B1? ,? A, B2 ? ,? A, B3? , ? A, B4 ?, 共 4 种…………………11 分

4 2 ? ……………………12 分 10 5 2 2 ? ?2c ? 2 a ? b ? 4, 20. 解: (Ⅰ)由已知可得 ? 解得 a2=6,b2=2. ? ?a ? 3b, x2 y2 ? ? 1 . ………………………………………(5 分) 所以椭圆 C 的标准方程是 6 2
故所求概率为 P( A) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则 y1+y2= 2 , y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3

6 ? 2m , 2 ) . …………7 分 m ?3 m ?3 因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为.
设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (
2

当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2?? y ? ?m( x ? 2) ,

? m?t ? 2? m(2 ? t ) ,其方程为 y ? x. t t ? 2m m( 2 ? t ) 6 6 ? 2m ? ? 2 将 M 点的坐标 ( 2 . , 2 ) 代入上式得 2 m ?3 t m ?3 m ?3 m ?3 解得 t ? 3 . ………………………………………………(12 分) 1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? 2 ? 2 ( x ? 0 ) …………………… 2 分 21.解: f '( x) ? ? x x2 x x x
此时直线 OT 的斜率为
7

(I)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ……………………………………4 分 (II)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数,

? f ( x)m i n ? f ( 1 ) ? a ?. 1…………………………………………6 分
当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2) ,

? 当 x ? (1, a) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数,
当 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x)min ? f (a) ? ln a . ………………………………………………………8 分
当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

a ? f ( x)m i n ? f ( 2 ) ? ln? 2 2

? 1 .…………………………………………………10 分

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x)min ? a ? 1 ? 0 ;……………………11 分 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x)min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x)min 综上所述, a ?

1 ,得 a ? e ; 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? . 2 2

e .……12 分
∴ ?PAB ? ?ACB ∴ AC ? 2 AB ∴ PC ? 20 ………6 分 又 ?P 是公共角 …………………2 分 ………4 分

22.解: (Ⅰ)∵PA 是圆 O 的切线 ∴ ?ABP∽ ?CAP ∴

AC AP ? ?2 AB PB

2 (II)由切割线定理得: PA ? PB ? PC 又 PB=5 ∴ BC ? 15

AC CD 又∵AD 是 ?BAC 的平分线 ∴ ? ?2 AB DB ∴ CD ? 2 DB ∴ CD ? 10, DB ? 5 又由相交弦定理得: AD ? DE ? CD ? DB ? 50
8

………8 分 ………10 分

23.解: (Ⅰ)(法一)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0
2 2

即 ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

曲线 C 为圆心为(3,0),半径为 2 的圆. ………3 分

直线 l 的方程为: x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 ∵直线 l 与曲线 C 相切 即 sin ? ? ∵ ??[0,π)
2



| 3 sin ? ? sin ? | sin 2 ? ? cos2 ?

?2
………5 分

1 2

∴?=

?
6



5? 6
2

………6 分
2

(法二)将 ? ? 6 ? cos? ? 5 ? 0 化成直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 ……2 分

?x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 ? 2 由 ? x ? ?1 ? t cos? 消去 x, y 得 t ? 8t cos? ? 12 ? 0 ? y ? t sin ? ?
2 ∵ l 与 C 相切 ∴ Δ=64 cos ? -48=0

…………4 分

解得 cos?= ?

3 2
…………6 分

∵ ??[0,π)

∴?=

?
6



5? 6

(II)设 x ? 3 ? 2 cos? , y ? 2 sin ? 则 x ? y = 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 3 ? 2 2 sin(? ? ∴ x ? y 的取值范围是 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 . 24.解: (Ⅰ) ∵ 又 2ab 即

?
4

)

………9 分 ………10 分

?

?

ab ? ab ∴

ab ≤1

…2 分

1 1 2 ? ? ?2 a b ab
∴ m?2

当且仅当 a=b 取等号.

………5 分

(II) f ( x )

1 1 ?| x ? t | ? | x ? |?| t ? |? 2 t t

………9 分 ………10 分

∴ 满足条件的实数 x 不存在.
9


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