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2016年高考浙江卷数学(理)试题含解析


2016 年高考浙江卷数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 P ? x ? R 1 ? x ? 3 , Q ? x ? R x ? 4 , 则 P ? (?RQ) ?
2

?

?

?

?

A.[2,3] 【答案】B

B.( -2,3 ]

C.[1,2)

D. (??, ?2] ? [1, ??)

【解析】 根据补集的运算得 2. 已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥? , n⊥?,则 A.m∥l 【答案】C B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

. 故选 B.

3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│= ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2 2 【答案】C 【解析】如图 ?PQR 为线性区域,区域内的点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的投影构成了线段 R?Q ? ,即 AB ,而 B.4 C.3 2 D. 6

?x ? 3y ? 4 ? 0 ?x ? 2 R?Q? ? PQ ,由 ? 得 Q(?1,1) ,由 ? 得 R(2, ?2) , ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0
AB ? QR ? (?1 ? 2) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 3 2 .故选 C.

4. 命题“ ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 ”的定义形式是 A. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 【答案】D 【解析】 ? 的否定是 ? , ? 的否定是 ? , n ? x 的否定是 n ? x .故选 D.
2 2

B. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2

C. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 D. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2

5. 设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期 A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 【答案】B

6. 如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且 An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N ,
*

(P? Q 表示点 P Q 与 不重合 ). Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* , 若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列 【答案】A

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn?1 长度一半,即 S n ?

1 hn Bn Bn ?1 ,由题目 2

中条件可知 Bn Bn?1 的长度为定值,那么我们需要知道 hn 的关系式,过 A 1 作垂直得到初始距离 h1 ,那么

A1, An 和两个垂足构成了等腰梯形,那么 hn ? h1 ? An A n?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那
么 Sn ?

1 1 (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , Sn ?1 ? ( h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 Sn ?1 ? Sn ? ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 Sn?1 ? Sn 为定值.故选 A. 2

7. 已知椭圆 C1: 则 A.m>n 且 e1e2>1 【答案】A

x2 2 x2 2 + y =1( m >1) 与双曲线 C : –y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率, 2 m2 n2
B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 D.m<n 且 e1e2<1

【解析】由题意知 m ? 1 ? n ? 1,即 m ? n ? 2 , (e1e2 ) ?
2 2 2 2

2

m 2 ? 1 n2 ? 1 1 1 ? 2 ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ,代入 2 m n m n

m 2 ? n2 ? 2 ,得 m ? n,(e1e2 )2 ? 1 .故选 A.
8. 已知实数 a,b,c A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 【答案】D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
9. 若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_______. 【答案】 9 【解析】 xM ? 1 ? 10 ? xM ? 9 10. 已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 【答案】 2

1

【解析】 2cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ?1 ,所以 A ? 2, b ? 1.

?

4

11. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是

cm ,体积是

2

cm .

3

32 【答案】 72 【解析】几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为 4,2,2,所以体积为 2 ? (2 ? 2 ? 4) ? 32 ,由 于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形,所以表面积为 2(2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4) ? 2(2 ? 2) ? 72

12. 已知 a>b>1.若 logab+logba= 【答案】 4

5 ,ab=ba,则 a= 2
1 t

,b=

.

2
5 ? t ? 2 ? a ? b2 , 2

【解析】设 logb a ? t , 则t ? 1 ,因为 t ? ?
2

因此 ab ? ba ? b2b ? bb ? 2b ? b2 ? b ? 2, a ? 4. 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1= 【答案】 1 ,S5= .

121

14. 如图, 在△ABC 中, AB=BC=2, ∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D, 满足 PD=DA, PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】

1 2

【解析】 ?ABC 中,因为 AB ? BC ? 2, ?ABC ? 120? , 所以 ?BAD ? BCA ? 30 .
?

2 2 2 由余弦定理可得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B

? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2cos120? ? 12 ,
所以 AC ? 2 3 . 设 AD ? x ,则 0 ? t ? 2 3 , DC ? 2 3 ? x .
2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理可得 BD ? AD ? AB ? 2 AD ? AB cos A

? x2 ? 22 ? 2 x ? 2cos30? ? x2 ? 2 3x ? 4 .
故 BD ?

x 2 ? 2 3x ? 4 .

在 ?PBD 中, PD ? AD ? x , PB ? BA ? 2 . 由余弦定理可得 cos ?BPD ? 所以 ?BPD ? 30 .
?

PD2 ? PB 2 ? BD 2 x 2 ? 22 ? ( x 2 ? 2 3x ? 4) 3 , ? ? 2 PD ? PB 2? x?2 2

P C

E D A B

过 P 作直线 BD 的垂线,垂足为 O .设 PO ? d

1 1 BD ? d ? PD ? PB sin ?BPD , 2 2 1 2 1 即 x ? 2 3x ? 4 ? d ? x ? 2sin 30? , 2 2
则 S ?PBD ? 解得 d ?

x x ? 2 3x ? 4
2

.

1 1 1 CD ? BC sin ?BCD ? (2 3 ? x) ? 2sin 30? ? (2 3 ? x) . 2 2 2 设 PO 与平面 ABC 所成角为 ? ,则点 P 到平面 ABC 的距离 h ? d sin ? .
而 ?BCD 的面积 S ? 故四面体 PBCD 的体积 V ?

1 1 1 1 1 x S? BcD ? h ? S? BcD d sin ? ? S? BcD ? d ? ? (2 3 ? x) ? 3 3 3 3 2 x 2 ? 2 3x ? 4

?

1 x(2 3 ? x) . 6 x 2 ? 2 3x ? 4
x 2 ? 2 3x ? 4 ? ( x ? 3) 2 ? 1 ,因为 0 ? x ? 2 3 ,所以 1 ? t ? 2 .

设t ?

则 | x ? 3 |? t 2 ?1 .

(2)当 3 ? x ? 2 3 时,有 | x ? 3 |? x ? 3 ? t 2 ?1 ,

故 x ? 3 ? t 2 ?1 . 此时, V ?

1 ( 3 ? t 2 ? 1)[2 3 ? ( 3 ? t 2 ? 1)] 6 t

1 4 ? t2 1 4 ? ? ? ( ? t) . 6 t 6 t
由(1)可知,函数 V (t ) 在 (1, 2] 单调递减,故 V (t ) ? V (1) ? 综上,四面体 PBCD 的体积的最大值为

1 4 1 ( ? 1) ? . 6 1 2

1 . 2
b 的最 6 ,则 a·

15. 已知向量 a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量 e,均有 |a· e|+|b· e| ? 大值是 【答案】 .

1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ,即最大值为 2 2

【解析】 | (a ? b) ? e |?| a ? e | ? | b ? e |? 6 ?| a ? b |? 6 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ? b ? 6 ? a ? b ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B;

a2 (II)若△ABC 的面积 S = ,求角 A 的大小. 4
【试题分析】 (I)由正弦定理及两角和的正弦公式可得 sin ? ? sin ? ?? ?? ,再判断 ? ? ? 的取值范围,进 而可证 ? ? 2? ; (II)先由三角形的面积公式及二倍角公式可得 sin C ? cos ? ,再利用三角形的内角和可 得角 ? 的大小.

(II)由 S ?

a2 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 4 2 4

1 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .
又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ? 当C?? ?

?
2

??.

?
?
2

时, ? ? 时, ? ? 或? ?

?
?
2
4

; .

2

综上, ? ?

?
2

?
4



17. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC ? DEF 中,平面 BCFE ? 平面

ABC , ?ACB=90? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证:EF⊥平面 ACFD; (II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.

【试题分析】 (I)先证 ?F ? ?C ,再证 ?F ? C? ,进而可证 ? F ? 平面 ?CFD ; (II)方法一:先找二面 角 ? ? ?D ? F 的平面角,再在 Rt??QF 中计算,即可得二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值;方法二: 先建立空间直角坐标系,再计算平面 ?C? 和平面 ??? 的法向量,进而可得二面角 ? ? ?D ? F 的平面角 的余弦值.

(II)方法一: 过点 F 作 FQ ? ?? ,连结 ?Q .

因为 ? F ? 平面 ?C? ,所以 ? F ? ?? ,则 ?? ? 平面 ?QF ,所以 ?Q ? ?? . 所以, ??QF 是二面角 ? ? ?D ? F 的平面角.

在 Rt??C? 中, ?C ? 3 , C? ? 2 ,得 FQ ?

3 13 . 13

在 Rt??QF 中, FQ ?

3 13 3 , ?F ? 3 ,得 cos ??QF ? . 13 4 3 . 4

所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为

18. (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},
? p,p ? q, 其中 min{p,q}= ? ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II) (i)求 F(x)的最小值 m(a) ; (ii)求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a). 【试题分析】 (I)分别对 x ? 1 和 x ? 1 两种情况讨论 F ? x ? ,进而可得使得等式 F ? x ? ? x2 ? 2ax ? 4a ? 2 成 立的 x 的取值范围; (II) (i)先求函数 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x2 ? 2ax ? 4a ? 2 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可得 F ? x ? 的最小值 m ? a ? ; (ii)分别对 0 ? x ? 2 和 2 ? x ? 6 两种情况讨论 F ? x ? 的最大值,进而可 得 F ? x ? 在区间 ?0,6? 上的最大值 ? ? a ? .

(II) (i)设函数 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则
2

f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a2 ? 4a ? 2 ,
所以,由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min f ?1? , g ? a ? ,即

?

?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2 m?a? ? ? . 2 ? a ? 4 a ? 2, a ? 2 ? 2 ? ? (ii)当 0 ? x ? 2 时,

F? x ? ? f ? x ? ? max ? f ? 0? , f ? 2?? ? 2 ? F ? 2? ,

当 2 ? x ? 6 时,

F? x ? ? g ? x ? ? max ?g ? 2? , g ? 6?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2? ,F ?6?? .
所以,

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ? ?a? ? ? ?2, a ? 4
19. (本题满分 15 分)如图,设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a>1). a2

( I)求直线 y =kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a 、 k 表示) ; ( II)若任意以点 A( 0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范 围.

? y ? kx ? 1 ? 【试题解析】 (I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 ?? ,由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? 2 ?a

?1 ? a k ? x
2 2

2

? 2a 2 kx ? 0 ,



x1 ? 0 , x2 ? ?
因此

2a 2 k . 1 ? a2k 2

?? ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

2a 2 k 1? a k
2 2

? 1? k 2 .

(II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? , Q ,满足

?? ? ?Q .
记直线 ?? , ?Q 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 .

20.(本题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 an ?
n ?1 a1 ? 2 , n ? ?? ; (I)证明: an ? 2

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?

?

(II)若 an ? ?

?3? ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?

n

【试题分析】 ( I )先利用三角形不等式得 an ?

a a ?1 1 1 an ?1 ? 1 ,变形为 n ? n ? n ,再用累加法可得 n n ?1 2 2 2 2

a1 an an am 1 ? n ? 1 , 进 而 可 证 an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? ; ( II ) 由 ( I ) 可 得 n ? m ? n ?1 , 进 而 可 得 2 2 2 2 2

? 3? an ? 2 ? ? ? ? 2n ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 . ? 4?

m

(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

?

an am ? an an ?1 ? ?? ? 2n 2m ? 2n 2n ?1

? ? an ?1 an ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 ? ?2

? ? am ?1 am ? ? ? ??? ? ? m ?1 ? m ? 2 ? ? ?2

?

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2



? 1 a ? n an ? ? n?1 ? m ??2 2m ? ?2
? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ?2 ?
m ?3? ? n ?? ? ? ? 2 ?2? ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

m


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