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(21)2.6.1求数列通项公式


普通高中课程标准实验教材必修(5)

求数列的 通项公式

类型一 观察法:已知前几项,写通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: 1 1 1 () 1 1, - , , 2 3 4 () 2 2 , 0 ,, 2 0

(?1) 解: () 1 an ? n n ?1 (2

) an ? ( ?1) ? 1

n ?1

S1 (n=1) a = 二、公式法(利用an与Sn的关系 n S -S (n≥2) n-1 或利用等差、等比数列的通项公式) n
2.{an}的前n项和Sn=2n2-1,求通项an 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-1) -[2(n-1)2-1] =4n-2 当n=1时, a1=1 不满足上式

因此 an=

1

(n=1)

4n -2(n≥2,

n ? N *)

不要遗漏n=1的情形哦!

练习:已知{an}中,a1+2a2+3a3+ ???+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+· · · +nan=3n+1 (n≥1)

∴ a1+2a2+3a3+· · · +(n-1)an-1=3n(n≥2) 两式相减得: nan=3n+1-3n=2· 3n 2· 3n ∴an= n (n≥2) 而n=1时,a1=9

∴an=

9 (n=1) 2· 3n * n? N ( n ≥2, ) n

注意n的范围

类型三、累加法 形如 an?1 ? an ? f (n) 的递推式
在﹛an﹜中,已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an. 例 3:
解: an ? an ?1 ? n an ? 2 ? an ? 3 ? n ? 2 ....... a3 ? a2 ? 3 以上各式相加得 an ? a1 ? (2 ? 3 ? 4 ? (n+2)(n-1) =1+ 2 ? n) a n ?1 ? a n ? 2 ? n ? 1 an ? 3 ? an ? 4 ? n ? 3 a2 ? a1 ? 2

练: 已知 ?an ?中, a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1

3n ? 1 ( n ? 2)证明:an ? 2

类型四、累乘法形如 an?1 ? f (n) ? an 的递推式
已知?an ?中,a1 ? 2, an?1 ? 3n ? an , 求通项an . 例 4:
an 解: ? 3 n ?1 , an ?1 ....... an ?1 ? 3n? 2 , an ? 2 a3 ? 32 , a2 an ? 2 ? 3n? 3 , an ? 3 an ? 3 ? 3n? 4 an ? 4

a2 ?3 a1

以上各式相乘得an ? a1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? 2 ? 3n ?1 ? 2 ? 31? 2? 3????? ( n-1) ? 2? 3 an ? 2 ? 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2

? ? 练: 已知?an ?中,a1 ? 2, an?1 ? ? 2 ? ? ? an , 求通项an . n 2 ? ?

类型五、形如 an?1 ? pan ? q 的递推式
例5:数列 an 满足a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 , 求an .
解:

? ?

分析:配凑法构造辅助数列
an ? 2an?1 ? 1 ? an ? 1 ? ?2 an ?1 ? 1 ?

an ? 1 ? 2an?1 ? 1 ? 1 ? 2(an-1 ? 1)

?an ? 1? 是以a1 ? 1为首项,

以2为公比的等比数列an +1 ? ? 1 ? 1? 2n?1 ? 2n ? an ? 2 n ? 1

练:已知?an ?中,a1 ? 2, an?1 ? 3an +2, 求通项an .
对于an?1 ? pan ? q,可用待定系数法转化为 q an?1 ? t ? p(an ? t )(t ? ) p ?1

类型六、形如 an ?1
取倒法构造辅助数列 例6: 数列

pan ? 的递推式 qan ? p

?an ? 满足:a1 ? 1, an?1

a n ?1 解: an ? 2an?1 ? 1

求 ?an ? 通项公式

an ? , 2a n ? 1

1 2an?1 ? 1 1 ? ? ?2 an a n ?1 a n ?1

?1? 1 为首项,以2为公差的等差数列 ? ? 是以 a1 ? an ?
1 1 ? ? (n ? 1)2 ? 2n-1 an a1 1 ? an ? 2n-1

类型七、相除法形如 an?1 ? Aan ? B ? An?1的递推式
例 7: 数列

?an ? 满足:a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3 求 ?an ? 通项公式.
an ? 3an?1 ? 3
n

n?1

,

解:

an an ?1 ? n ? n ?1 ? 1 3 3

a1 ? an ? ? ? n ? 是以 为首项,以1为公差的等差数列 3 ?3 ? an a1 ? n ? ? (n - 1 ) ? 1 ? n ? a n ? n3 n 3 3

类型八、形如 an?1 ? an ? pan?1an 的递推式
例 8: 已知a1 ? 2, an ? 0, 且an?1 ? an ? 2an?1an ,求an .
解: an?1 ? an ? 2an?1an 1 1 ? ? ?2 an an ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 为首项,以 - 2为公差的等差数列 a1 ? an ? 1 1 5 ?4 n ? 5 ? ? ? (n - 1 ) (-2) ? -2n ? ? an a1 2 2 2 ? an ? ?4n ? 5

求数列的通项公式
类型
1、已知前几项 2、已知前n项和Sn 观察法 前n项和法

方法

3、形如 an?1 ? an ? f (n)的递推式 累加法 4、形如 an?1 ? f (n) ? an 的递推式 累乘法 5、形如 an?1 ? pan ? q 的递推式 待定系数法 6、形如 an?1 ?
pan qan ? p

的递推式 取倒法

7、形如an?1 ? Aan ? B ? An?1的递推式 相除法
an?1 ? an ? pan?1an

构 造 辅 助 数 列

练习
5 ? 1: 设数列?an ? , a1 ? , 若对任意的n ? N , n ? 2, 二次方程 6 2 an?1 x ? an x ? 1 ? 0都有根?、?,且满足 3? - ?? ? 3? ? 1 1? ? (1)求证: ? an ? ? 是等比数列; 2? ? (2)求通项an; (3)求前n项和Sn .

2: 已知 ?a ? , a ? 3, 2a ? S S n 1 n n n ?1

( n ? 2)

?1 ? ???求证: ? ? 是等差数列,并求公差; ? Sn ? ???求 ?an ? 的通项公式.

3. 在 ?an ?中,an+ 2 ? 2an+ 1 ? an ? 4, 且a1 ? 1, a2 ? 3, 求a n .


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