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江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习(六,文数)


高三数学( 江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学(文)最后冲刺综合练习 试卷(六)
一、选择题: 1.已知集合 A = {x | ?1 < x < 2} , B = {x | ?3 < x ≤ 1} ,则 A I B = 2.设 (3 + i) z = 10i ( i 为虚数单位),则 | z | = 3.已知 α 是第二象限角,且 sin(π + α ) = ? . .

3 ,则 tan 2α = 5

. . 且

4.曲线 y = e x ?1 上的点到直线 e( x ? 1) ? y ? 3 = 0 的最短距离是
2

5 . 锐 角 三 角 形 ABC 中 , 边 长 a, b 是 方 程 x ? 2 3 x + 2 = 0 的 两 个 根 ,

2sin( A + B ) = 3 ,则 c 边的长
是 .

6.已知 | x |≤ 2, | y |≤ 2 且 x, y ∈ Z ,点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 P 满足

( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 ≤ 4 的概率为



7.一天中对一名学生的体温观察了 8 次,得到如下表的数据 观测序号 i 观测序号 a i 1 36.2 2 36.5 3 36.5 4 36.6 5 36.7 6 36.9 7 37 8 37.2
?

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是 这 8 个数据的平均数),则输出 S 的值是 .

8.已知 m, n 是两条不重合的直线, α , β 是两个不重合的平面.给出以下四个命题: ①若 m ? α , n ? α , m // β , n // β ,则 α // β ;②若 m ⊥ α , n ⊥ β , m // n ,则 α // β ;③若

α ⊥ β , m ? α , n ? β ,则 m ⊥ n ;④若 m, n 是异面直线, m ? α , m // β , n ? β , n // α ,
则 α // β 其中真命题的个数为 .

9.已知在平面直角坐标系中, O (0,0), M (1, ), N (0,1), Q (1, 2 ) .若动点 P ( x, y ) 满足不等

1 2

式 0 ≤ OP? OM ≤ 1 ,

?→

?→

0 ≤ OP? ON ≤ 1 ,则 | OP? OQ | 的最大值为
10.下列四个命题:

?→

?→

?→

?→



①任意 x ∈ (0,+∞) ,使得 ( ) > ( ) ;②存在 x ∈ (0,1) ,使得 log 1 x < log 1 x ;
x x
2
1 1

1 2

1 3

3

③任意 x ∈ (0, ) ,使得 ( ) < log 1 x ;④存在 x ∈ (0,+∞) ,使得 x 2 > x 3
x 3

1 3

1 2

其中真命题的序号是



11.已知直线 l 的方程为 x = ?4 ,且直线 l 与 x 轴交于点 M ,圆 O : x 2 + y 2 = 4 与 x 轴交 于 A, B 两点,则以 l 为 准线,中心在坐标原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程为 12.已知函数 f ( x ) = 公差 d ≠ 0 .若 .

sin x + x π π ,项数为 25 的等差数列 {a n } 满足: a n ∈ ( ? , ) ,且 2 2 2 2 x + cos x
时, f ( a k ) = 0 .
?→ ?→ ?→ ?→

f (a1 ) + f (a 2 ) + L f (a 25 ) = 0 ,则当 k =
13. ∠B = 60 若
?→ ?→
0

, 为 ?ABC 的外心, P 在 ?ABC 所在的平面上, O 点 OP = OA + OB + OC

且 BP? BC = 8 , 则边 AC 上的高 h 的最大值为 .

14 . 已 知 二 次 函 数 f ( x ) = x 2 + px + q 通 过 点 (α ,0), ( β ,0) 。 若 存 在 整 数 n , 使

n < α < β < n + 1 ,则
min{ f (n), f (n + 1)} 的取值范围为
二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, a = ( S n ,1) , b = ( ?1,2a n + 2 ⑴证明: 数列 {
→ → n +1



),a ⊥ b





an n ? 2011 } 为等差数列; bn = ⑵若 an , 且存在 n0 , 对于任意的 k ( k ∈ N + ) , n n +1 2 不等式 bk ≤ bn0 成立,求 n0 的值。

16.(本小题满分 14 分) 如图,某城市有一条从正西方 AO 通过市中心 O 后向东北 OB,现要修一条地铁 L,在 OA 上设一站,在 OB 上设一站,地铁在 AB 部分为直线段,现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10km,设地铁在 AB 部分的总长度为 y km. ⑴按下列要求建立关系式: (i)设∠ OAB = α ,将 y 表示为 α 的函数; (ii)设 OA = m,

OB = n ,用 m, n 表示 y ;

⑵把 A, B 两站分别设在公路上离中心 O 多远处,才能使 AB 最短,并求出最短 距离。

17.(本小题满分 16 分) 已 知 圆

C1 : x 2 + y 2 + 2 x ? 2 y ? 2 = 0





C2 : x 2 + y 2 ? 2 x = 0





线

l : mx + y + m = 0(m ∈ R ) ,设圆 C1 与圆 C 2 相交于 M , N ⑴求线段 MN 的长; ⑵已知点 Q 为圆 C1 上的动点,求 S ?QMN 的最大值;⑶已知动点 B (0, t ), C (0, t ? 4) (0 < t < 4) ,直线
PB, PC 为圆 C 2 的切线,点 P 在 y 轴右边,求 ?PBC 面积的最小值。

18.(本小题满分 16 分) 某分公司经销一种新中国成立 60 周年的纪念品,每件产品的成本为 3 元,并且每卖出一件 产品需向总公司上交 m 元(m 为常数, 3 ≤ m ≤ 6 )的管理费。设每件产品的日售价为 x 元 ( 9 ≤ x ≤ 11 ),根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件成 品的日售价为 40 元时,日销售量为 10 件。 ⑴求该分公司的日利润 L( x ) 元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; ⑵当每件成品的日
x

售价为多少元时,该分公司的日利润 L( x ) 最大,并求出 L( x ) 的最大值。

19.水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点.根据历年数据, 某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

?(?t 2 + 14t ? 40)e 5 t + 50,0 < t ≤ 10, ? V (t ) = ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) + 50,.10 < t ≤ 12. ?
1

( Ⅰ ) 该 水 库 的 蓄 求 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 . 以 i ? 1 < t < i 表 示 第 i 月 份 ( i = 1, 2,L ,12 ),问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e = 2.7 计算).

20.(本小题满分 16 分) 对于集合 M = {1,2,3L ,2n, L} ,若集合 A = {a1 , a 2 , L , a n , L} , B = {b1 , b2 , L , bn , L} ,

n ∈ N * ,满足 A U B = M ⑴若数列 {a n } 的通项公式是 a n = 2 n ?1 ,求等差数列 {bn } 的通
项公式;⑵若 M 为 2n 元集合, A I B = φ 且

∑a
k =1

n

n

= ∑ bn ,则称 A U B 是集合 M 的一种
k =1

n

“等和划分”( A U B 与 B U A 算是同一种划分)。已知集合 M = {1,2, L ,12} ①若 12 ∈ A , 集合 A 中有五个奇数,试确定集合 A ;②试确定集合 M 共有多少种等和划分?

2012 届高三综合练习六答案
1. x | ?1 < x ≤ 1} { 2. 10

? 3.

24 7

4.

3 e +1
2

5. 6

6.

6 25

7. 0.09

8. 2

9. +

1 2

2 10.①③④ 11.

1 x2 y2 x2 y2 + = 1或 + = 1 12.13 13.2 3 14.(0, ) 4 3 8 4 4
n +1

15.(1) 证明:Q a ⊥ b ∴ a ? b = ? S + 2a + 2 n +1 = 0 则 S n = 2an + 2 n n

………2 分

S n ?1 = 2an?1 + 2 n (n ≥ 2) ∴ an = 2an ?1 ? 2 n. 则
又 S1 = 2a1 + 2 2

∴a n = S n? S n ?1 = 2an ? 2an?1 + 2 n

an an ?1 = ?1 2n 2 n ? 1



an an?1 ? = ?1 2 n 2 n ?1

………5 分

∴a1 = ?4
………8 分

?a ? ∴ 数列 ? n ? 是以 ? 2 为首项以 ? 1 为公差的等差数列. n ?2 ?
(2)由(1)可得

an = (? n ? 1) ? 2 n

∴ bn =

n ? 2011 ? (? n ? 1) ? 2 n = ?(n ? 2011) ? 2 n n +1
………10 分 时,

bn+1 = ?(n ? 2010) ? 2 n +1 则 bn+1 ? bn = 2 n (2009 ? n)
当 1 ≤ n < 2009 时, 当

bn +1 > bn , 当 bn +1 < bn

n = 2009

bn = bn +1

n > 2009

时,

∴ b1 < b2 < ? ? ? < b2009 = b2010 > b2011 > ? ? ? ……12 分
………14 分

∴n0 = 2009或2010 .
16 解: (1)(i)过 O 作 OH ⊥ AB 于 H 由题意得, ∠AOH =

π

2 AH tan ∠AOH = cot α = 10

? α , ∠BOH = π ?

π

? ( ?α) = +α 且 0 < α < 4 2 4 2
………2 分

π

π

π

即 AH = 10 cot α 即 BH = 10 tan(

+α) ………4 分 4 π cos α sin α + cos α ∴ AB = BH + AH = 10 tan( + α ) + 10 cot α = 10( + ) 4 sin α cos α ? sin α 20 = ……… 8 分 π 2 sin(2α + ) ? 1 4
(ii) 由等面积原理得,

π BH tan ∠BOH = tan( + α ) = 4 10

π

1 1 3π mn ? AB ?10 = mn sin 即 AB = ……10 分 2 2 4 10 2

(2)选择方案一:当 α = 此时 OA = OB =

π
8

时 AB min = 20( 2 + 1) ,

………12 分

10 sin

π
8

,而 cos

π
4

= 1 ? 2 sin 2

π
8

=

2 2

所以 OA = OB = 10 4 + 2 2 。 选择方案二:因为 tan ∠AOB =
2 2 2

………14 分

3π , 4

由余弦定理得 AB = m + n ? 2mn cos

3π = m 2 + n 2 + 2mn 4
………12 分

≥ (2 + 2)mn ∴ AB 2 ≥ 20( 2 + 1) AB

即 AB ≥ 20( 2 + 1) (当且仅当 m = n = 10 4 + 2 2 时取等号)……14 分 17(1) 直线 MN 方程: 2 x ? y ? 1 = 0 d c1 →lMN =

? 2 ?1 ?1 4 +1

=

4 . 5
………4 分

4 ? 4 ? ∴ MN = 2 2 ? ? 5. ? = 5 ? 5?
2

2

(2) d Q →l MN

(

)

max

= d C1 → MN + 2 = 1 MN ? d Q→lMN 2 = 8 4 + 5. 5 5

4 +2. 5 = 1 4 ? 4 ? ? 5 ?? + 2? 2 5 ? 5 ?
……… 8 分

∴ (S ?QMN )max =

(

)

max

(3) 设 P ( x0 , y0 ) 即

(x0 > 0)

,直线 PB 的方程为 y =

y0 ? t x+t, x0

( y0 ? t )x ? x0 y + x0t = 0 .
y0 ? t + x0t

由直线 PB 与圆 M 相切,得

( y0 ? t )2 + x0 2

= 1,
………10 分 (2)

化简得

(x0 ? 2)t 2 + 2 y0t = x0 .

(1)

同理由直线 PC 与圆 M 相切,得

(x0 ? 2)(t ? 4)2 + 2 y0 (t ? 4) = x0 .

由式(1) ,得

2 y0 =

x0 ? ( x0 ? 2 )t 2 , t

………12 分

x ? ( x0 ? 2 )(t ? 4 ) 由式(2) ,得 2 y0 = 0 , t?4
2

从而

x0 =

2 1 1+ t (t ? 4 )

. 又由 0 < t < 4 ,得

8 2 < x0 ≤ , 3

………14 分

18 解: (1) 设日销售量为 k ,则 k = 10,∴k = 10e40. e40 e40
40 则日销售量为10e . ex

………1 分 ………2 分

日售价为 x 元时,每件利润为(x – 3–m),
40 则日利润 L(x) = (x – 3 –m) 10e . x e

= 10e40·x – 3 x–m e e - (x – 3–m) e = 10e40·4 + m- x (2) L’(x) = 10e40· x 2 (e ) ex 1 ○当 3≤ m ≤5 时,7≤4 + m≤9, 当 9< x <11 时, L’(x) < 0 ∴L(x)在(9,11)上是单调递减函数. ∵当 x = 9 时, L(x)取的最大值为 10(6 –m)e31. 2 ○当 5 < m≤6 时,9< 4 + m≤10, 令 L’(x) = 0 ,得 x = m + 4.
x x

………6 ………8 分

………11 分

x∈(9,m + 4)时, L’(x) > 0 L(x)在(9,m + 4)上是单调递增函数.x∈(m+ 4,11)时 L’(x) < 0, L(x)在 (m+ 4,11)上是单调递减函数. ∵L(x)在[9,11]上连续,∴当 x = m+ 4 时, L(x)取的最大值为 10e36 – m. ………14 分

? 1 2 由○○知 L( x ) = ?

?10(6 ? m)e31 3 ≤ m ≤ 5
36 ? m ?10e ?

5<m≤6
2

………16 分
1 t 4

19. 解答: 解答: (1)①当 0<t ≤ 10 时,V(t)=(-t +14t-40) e 化简得 t -14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ≤ 10,故 0<t<4.
2

+ 50 < 50,

②当 10<t ≤ 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0, 解得 10<t<

41 ,又 10<t ≤ 12,故 10<t ≤ 12. 3

综上得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月, 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. ,3 (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.

1 2 3 1 t (t) 由 V′ = e ( ? t + t + 4) = ? e 4 (t + 2)(t ? 8), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 4 2 4
当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t)
2

1 t 4

1

(4,8) +

8 0 极大值

(8,10) -

由上表,知 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

20.解: (1)∵an = 2n – 1 ∴A = {1,2,4,8,…} ∴3,5,6,7∈B ∴bn 的方差 d = 1 若 b1 = 3,则 bn = 3 + n - 1 = n + 2 若 b2 = 3,则 b1 = 2,则 bn = 3 + n - 1 = n + 1 若 b3 = 3,则 bn = n ……… 5 分 ……… 2 分

1 (2)○因为 12∈A,由于当集合 A 确定后,集合 B 便是唯一确定的,故只须考虑集合 A 的 个数设集合 A = {a1,a2,…,a6},a6 为最大数, 由 1 + 2 + … + 12 = 78.知 a1 + a2 + … + a6 = 39 a6 = 12 ,于是,a1 + a2 + … + a5 = 27,故 A1 = { a1 + a2 + … + a5 }中有奇数个奇 数.A1 中有五个奇数,因 M 中的六个奇数之和为 36,而 27 = 36 – 9,所以, A1 = {1,3,5,7,11}.此时,得到唯一的 A = {1,3,5,7,11,12}. 2 1 ○由○可知,若 A1 中有五个奇数, 得到唯一的 A = {1,3,5,7,11,12} 若 A1 中有三个奇数、两个偶数,用 p 表示 A1 中这两个偶数,x1 ,x2 之和,q 表示 A1 中这三个 奇数 y1 ,y2 ,y3 之和,则 p≥6, q≥18.于是,q≤21,p≤18. 共得 A1 的 24 中情形. ………10 分 ………8 分

1 □当 p = 6,q = 21 时,( x1, x2) = (2,4), (y1 ,y2 ,y3) = (1,9,11),(3,7,11),(5,7,9)可搭配成 A1 的 3 中情形; 2 □当 p = 8,q = 19 时, ( x1, x2) = (2,6), (y1 ,y2 ,y3) = (1,7,11),(3,5,11),(5,7,9) 可搭配成 A1 的 3 中情形; 3 □p = 10,q = 17 时, ( x1, x2) = (2,8),(4,6) (y1 ,y2 ,y3) = (1,5,11),(1,7,9),(3,5,9), 可搭配成 A1 的 3 中情形; 4 □ p = 12,q = 15 时, ( x1, x2) = (2,10),(4,8), (y1 ,y2 ,y3) = (1,3,11),(1,5,9),(3,5,7), 可搭配成 A1 的 6 中情形; 5 □当 p = 14,q =13 时, ( x1, x2) = (4,10),(6,8), (y1 ,y2 ,y3) = (1,3,9),(1,5,7), 可搭配成 A1 的 4 中情形; 6 □当 p = 16,q = 11 时, ( x1, x2) = (6,10), (y1 ,y2 ,y3) = (1,3,7) 可搭配成 A1 的 1 中情形; 7 □当 p = 18,q = 9 时, ( x1, x2) = (8,10), (y1 ,y2 ,y3) = (1,3,5), 可搭配成 A1 的 1 中情形; (3)若 A1 中有一个奇数、 四个奇数,由于 M 中除 12 外,其余的五个偶数之和为 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使 A1 中五个数之和为 27,分别得到 A1 的 4 中情形 (7,2,4,6,8), (5,2,4,6,10), (3,2,4,8,10), (1,2,6,8,10) 综上,集合 A 有 1 + 24 + 4 = 29 中情形,即 M 有 29 中等和划分. ………14 分 ………16 分


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