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高考数学专题复习——二次函数


1.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a ≠ 0)在给定区间 [m, n ] 上的值域
2

二次函数复习

(1)
①当 ?

若 a > 0,

b < m 时. y ∈ [ f (m ), f (n )] . 2a b > n 时. y ∈ [ f (n ), f (m )] ②当 ? 2a
③当 m < ?

? ? b ? ? b < n 时. y ∈ ? f ? ? ?, max ( f (m ), f (n ))? 在比较 f (m ), f (n ) 的大小时亦可 2a ? ? 2a ? ?

以 m, n 与对称轴的距离而比较。

(2) 若 a < 0,可得类似的结论。但无论如何 f (x ) 的最值必在 f (m ), f (n ), f ? ? ?
y y
b n o 2a ?

b ? ? 中取到。 ? 2a ? y

m

x

?

b 2a

m

o n

x

b m 2ao ?

n

x

2.二次函数与一元二次方 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的根、与一元二次不等式的关系 二次函数 Y=ax +bx+c (a>0) 图 象 与 解
2

△情况 △ =b2-4ac

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)
2 2

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 (a>0) Ax2+bx+c<0 (a>0)

△>0

?b? ? 2a ?b+ ? x2 = 2a x1 = x1 = x 2 = ? b 2a

{x x < x 或x > x } {x x
1 2

1

< x < x2 }

△=0

{x x ≠ x }
0

Φ

△<0

方程无解

R

Φ

1

3、一元二次方程根的分布条件 根 的 分 布 X1<x2<k k < X1<x2 X1 <k<x2 X1, x2∈(k1,k2) X1、x2 有且仅有 一个在(k1,k2)内

图 象

充 要 条 件

? ? ?>0 ? ? f (k ) > 0 ? b ?? 2 a < k ?

? ? ?>0 ? ? f (k ) > 0 ? b ?? 2 a > k ?

f (k ) < 0

?≥0 ? ? f (k ) > 0 1 ? ? f (k 2 ) > 0 ? b ?k1 < ? < k2 2a ?

f (k1 ) ? f (k 2 ) < 0或 f ( k1 ) = 0 ? ? ?k < ? b < k1 + k 2 ? 1 2a 2 ? f (k 2 ) = 0 ? ? k1 + k 2 b ? <? < k2 ? 2 2a ?

例 1、 (1)函数 y = x 2 + bx + c ( x ∈ [0, +∞)) 是单调函数的充要条件是

( )

( A) b ≥ 0

( B) b ≤ 0

(C ) b > 0

( D) b < 0


(2 若函数 y = x 2 + ( a + 2) x + 3( x ∈ [ a, b] )的图象关于 x = 1 对称则 b =

(3) m 取何值时,方程 7 x 2 ? (m + 13) x + m 2 ? m ? 2 = 0 的一根大于 1 ,一根小于 1 . (4) 方程 x ? 2ax + 4 = 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是___。
2

(5)设 x, y 是关于 m 的方程 m ? 2am + a + 6 = 0 的两个实根, ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 的最小 则
2

值是(



(A) ?
2

49 4

(B)18

(C)8

(D)

3 4

(6)若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax + 3) 在区间 ( ?∞, ] 上为减函数,则 a 的取值范围为( ) (A) (0,1) (B)( 1,+∞ )
x ?1

a 2

(C) (1,2 3 )

(D) (0,1) ∪ (1,2 3 )

?1? ?1? (7)方程 ? ? + ? ? ?4? ?2?

x

+ a = 0 有正数解,则 a 的取值范围为



2

例 2、已知函数 f ( x) = 4 x ? 4ax + a ? 2a + 2 在区间[0,2]上有最小值 3,求 a 的值。
2 2

例 3、 若函数 y = f ( x ) = (a ? 1) log 3 x ? 6a log 3 x + a + 1 在 a ∈ [0,1] 上恒为正值, 求实数 x
2

的取值范围。

例 4、已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx( a, b 为常数,且 a≠0),满足条件: f ( 2) = 0 且方程 ⑵问是否存在实数 m,n(m<n),使 f (x ) 的定义域和值域分别是[m,n]和[2m,2n].如果存在求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由.

f ( x) = x 有等根.⑴求 f (x) 的解析式;

例 5、已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x ) > ?2 x 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x ) + 6a = 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

3

例 6 、 设 二 次 函 数 f ( x) = x + ax + a , 方 程 f ( x ) ? x = 0 的 两 根 x1 和 x2 满 足
2

0 < x1 < x2 < 1 . (1)求实数 a 的取值范围;
(2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小,并说明理由. 16

例 7、已知函数 f ( x ) = x 2 + 2ax + b (b < a < 1), f (1) = 0 ,且方程 f ( x ) + 1 = 0 有实根. (1)求证: ? 3 < b ≤ ?1 且 a ≥ 0 ; (2)若 m 是方程 f ( x ) + 1 = 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负,并说明理由.

例 8、设 f ( x ) = ax 2 + bx + c( a > b > c ) , f (1) = 0 , g ( x ) = ax + b . (Ⅰ)求证:函数 y = f (x ) 与函数 y = g (x ) 的图象有两个交点; (Ⅱ)设 f (x ) 与 g (x ) 的图象的交点 A 、 B 在 x 轴上的射影为 A1 、 B1 ,求 | A1 B1 | 的取值 范围; (Ⅲ)求证: x ≤ ? 3 时,恒有 f ( x ) > g ( x ) .

4

例 9.设 a 为实数,记函数 f ( x) = a 1 ? x 2 + 1 + x + 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 + x + 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a) 1 (Ⅲ)试求满足 g (a) = g ( ) 的所有实数 a a

例 10、对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ∈ R ,使 f ( x0 ) = x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个不动点,已 知函数 f ( x) = ax2 + (b + 1) x + (b ?1)(a ≠ 0) , (1)当 a = 1, b = ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2) 的条件下, y = f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点,且 A, B 若 两点关于直线 y = kx +

1 2a 2 + 1

对称,求 b 的最小值.

5


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