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例说退化模式在解小学数学竞赛题中的应用


2003 年 第 5 期                   5 2003 No. Journal of Shayang Teachers College

沙洋师范高等专科学校学报

例说退化模式在解小学数学竞赛题中的应用
周小华
( 绍兴文理学院   上虞分院 ,浙江   上虞   312300)
摘   : 退化模式是运用联系转化的思想 ,将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法的地步 ,再以退求进来达 要 到问题结论的思维方式 . 本文主要研究运用退化模式解决一类小学数学竞赛题中的应用 . 关键词 : 退化模式 ; 类比法 ; 特殊方法 ; 降维法 中图分类号 : G622. 0     文献标识码 :A     文章编号 :1672 - 0768 ( 2003) 05 - 0094 - 03 退化模式是运用联系转化的思想 , 将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法的地步 , 再以退求进来达到问题结 论的思维方式 . 其思维程序是 : 首先将问题从整体或局部上后退 , 化为较易解决的简化问题 、 类比问题或特殊情形 、 极端情 形等 , 而保持转化为原问题的联系通途 ; 其次用解决退化问题或情形的思想方法 , 经过适当变换以解决原问题 . 1、 运用退化模式 , 寻求解题思路 例 1 :一张 2002 ×2003 的方格纸 , 设方格纸的一条对角线穿过的方格数为 k 个 , 请问 k 的值是多少 ? 这是一个复杂又有趣的问题 , 直接很难下手 , 不妨运用属于退化模式范围的特殊化方法来思考 , 即从问题的特殊情形 或个别情况入手 , 观察性质或方法的变化规律 , 以退求进 , 从而寻找正确的解题途径 . 特例 1 :如图 1 , 一张 5 ×1 的方格纸 , 其中一条对角线穿过的小方格数为 5 个 , 记 k ( 5 , 1) = 5 ( 个) . 显然 k ( m , 1) = m , ( m ∈ N ) , 且有 k ( m , 1) = k ( 1 , m ) . 特例 2 : 如图 2 , 一张 5 ×2 的方格纸 , 因为对角线 A B 必穿过横线 CD , 而每穿过 一条横线 , 相应穿过的小方格数必增加 1 个 , 故 k ( 5 , 2) = 5 + ( 2 - 1) = 6 ( 个) . 由此 推广 , k ( m , 2) = k ( 2 , m ) = m + ( 2 - 1) = m - 1 ( 个) . 特例 3 : 如图 3 , 一张 6 ×4 的方格纸 , 得 k ( 6 , 4) = 8 , 这与上述结论 k ( 6 , 4) = 6 + 4 - 1 = 9 ( 个) 矛盾 , 原因在于对角线 A B 穿过横线 CD 时恰好经过一个小方格的顶 点 , 因而穿过这条横线时小方格数没有增加 , 不难发现一张 m × n 的方格纸 , 其中一 条对角线穿过小方格的顶点数 ( 不包括对角线的二个顶点) 为 ( m , n) - 1 个 ( ( m , n) 表示 m 和 n 的最大公约数) 因此 , 上述一般性结论可修正为 K ( m , n) = m + n - 1 - [ ( m , n ) - 1 ] = m + n - ( m - n ) , 这样文中的例题以及更一般的情况的问题都可 以很简单得到解决 . K ( 2002 , 2003) = 2002 + 2003 - ( 2002 , 2003) = 4004 ( 个) 至此 , 应该说问题已得到圆满解决 , 但读者也许会有疑问 ? 为什么一张 m × n 的 方格纸 , 其中一条对角线穿过的小方格的顶点数为 ( m , n) - 1 个 ( 不包括对角线的两 个顶点) 呢 ? 这从特例中可以验证 , 不仅如此 , 还可以作简略证明 . 证 : 如图 4 , 一张 的方格纸 , 记 A ( 0 , n) B ( m , 0) 设大方格纸的对角线 A B 穿过小 方格的顶点 C ( x , y ) , 则有 ( x ∈ N , y ∈ N , 且 x ∈ [ 0 , m ] , y ∈ [ 0 , n ]) , 即   y = n x + n , ……  ( 1) m n1 x + m1
Ξ

设 ( m , n ) = d , 令 m = m 1 d , n = n1 d , 且有 ( m 1 , n1 ) = 1 , 则 ( 1) 式为 y =
n1 d

由题意取 x 0 = 0   得 y 0 = n1 d = n ; x 2 = m 1 ×1 = m 1   得 y 1 = n1 ( d - 1)

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Ξ 收稿日期 :2003 - 05 - 28

作者简介 : 周小华 ( 1966 - ) ,男 ,浙江诸暨人 ,绍兴文理学院上虞分院高级讲师 .

周小华                     例说退化模式在解小学数学竞赛题中的应用
x 2 = m 1 ×2   得 y 2 = n 1 ( d - 2) ;

  ……
m d = m 1 d = m   得 y d = n 1 ( d - d ) = 0

即 A ( 0 , n ) , C1 ( m 1 , n1 d - n1 ) , C2 ( 2 m 1 , n1 d - 2 n1 ) … B ( m , 0) . 因此对角线 A B 共穿过 d + 1 个小方格的顶点 ( 其中 2 个即为大方格纸的顶点 A 、 ) . B 文中对角线穿过的方格数也可以用一个递推公式解决 . 而这一递推公式同样可以从特殊情况中推得 , 有兴趣的读者不 妨一试 . 例 2 :如图 5 某城有 7 条南北向的街 , 5 条东西向的街 , 如果有人从城的西南角 ( 如 图中的 A 点) 走到东北角 ( 图中的 B 点) 最短的走法有多少种 ? 所谓最短路线是指从 A 点走到 B 点的行程中 , 沿直线走 , 不能走” 回头路” 而路 程最短的线路 . 由此不难发现 :每条最短路线的长应是该矩形的周长的一半 , 那么 , 从 A 点走到 B 点共有多少条不同的最短路线呢 ? 对于小学生来说 , 这同样不是一个容易 解决的问题 , 不妨运用退化模式范围的类比法来思考 , 即联想形式类似的熟悉问题与 原问题作性质或解法的比较对照 , 从中悟出相似性联系以达到转化 . 因此 , 我们先从 解决一个简单的例子开始 , 从它的解决过程中来寻找熟悉的问题 , 从而进行类比 . 特例 1 :如图 6 , 从 A 到 B , 沿着最短路线走 , 共有多少条不同路线 ? 分析与解 :某人从 A 点出发 , 沿着最短路线走 , 到达 B 点 , 先必须 经过 C 点或 A 1 点 , 若过 C 点走 , 沿着最短路线走 , 要到达 B 点 , 先必须 经过 D 点或 C1 点 , 同理 , 若过 A 1 点走 , 最终走到 B 点 , 必须先经过 C1 或 A 2 点 , 如此一直走 , 最终可找到走到 B 点的所有的最短路线 . 因此 , 从 A 到 B , 沿着最短路 —线走 , 共有 10 条不同路线 , 分别是 A —A 1 —A 2 —C2 —D 2 —B ; A —A 1 —C1 —C2 —D 2 —B ; A —A 1 —C1 —D 1 —D 2 —B ; A —A 1 —C1 —D 1 —E1 —B ; A —C —C1 —C2 —D 2 —B ; A —C —C1 —D 1 —D 2 —B ;
A —C —C1 —D 1 —E1 —B ; A —C —D —E —E1 —B ; A —C —D —D 1 —E1 —B ; A —C —D —D 1 —D 2 —B .

从图 6 可知 , 每条东西向的线段被分成 3 段 , 用 3 个 a 表示 , 每条南北向的线段被分成 2 段 , 用 2 个 b 表示 , 那么 , 含有 3 个 a 和 2 个 b 的一种全排列 , 恰好对应于从 A 到 B 的一种最短走法 . 如排列 bbaaa , 对应于从 A —A 1 —A 2 —C2 —D2 —B 的一种走法 , 即图中用虚线所表示的一种走法 . 而上面任意一种最短的走法 , 如 A —A 1 —C1 —C2 —D2 —B , 即对应含有 3 个 a , 2 个 b 的一个全排列 babaa , 因此 , 要求 从 A 到 B 有多少条不同的最短路线可转化为含求 3 个 a , 2 个 b 的全排列的个数 , 经推算 , 共有 10 种不同的排列方法 : abbaaa , ababaa , abaab , aaabb , aabab , aabba , bbaaa , babaa , baaba , baaab. 并且进一步推算可得到一般结论 : 如果 n 个元素
n! p ! q ! …r ! 有了以上的结论 , 那么例 2 的问题就可以轻而易举得到解决 . 因为由图 6 可知 , 每条东西向的街道被分成 6 段 , 用 6 个 a 表 ( 6 + 4) ! 示 , 每条南北向的街道被分成 4 段 , 用 4 个 b 表示 , 那么 , 含有 6 个 a , 4 个 b 的所有全排列个数的 = 210 个 , 因此 , 6 ! ×4 ! 最短的走法有 210 种 . 并且比例 2 还要复杂的难题 , 我们也能轻易得到解决 . 例 3 :如图 7 、 8 , 从 A 经 P 到 B , 沿着最短路线走 , 共有多少条不同路线 ? 图 分析与解 :某人从 A 经 P 到 B , 不论怎样走 , C — E 都是必经之路 . 因此 , 从 A 经 P 到 B 沿着最短路线走 , 定按以下的步 3! 4! 骤走 :而从 A 到 C 的最短路线共有 = 3 条 , 从 E 到 B 的最短路线共 = 4 条 , 因此共有 3 ×4 = 12 条最短的 1 ! ×2 ! 1 ! ×3 ! 路线 . 2、 运用退化模式思想 , 寻求问题的推广 从一般到特殊 , 从特殊到一般是人类认识自然界的重要思想方法 , 也是数学问题解决中常运用的一种化归思想方法 . 原有的问题若进一步推广 , 则变为更一般的问题 , 运用退化模式 , 从原问题解决的思想方法上往往能找到对解决新问题有 用的奠基因素以实现新问题解决方法的过渡 , 从而得到更一般的结论 . 例 4 :2002 年全国小学数学奥林匹克决赛第 12 题 “同种型号的两辆车 , 每辆车最多能载重 20 桶油 ( 包括油箱内的油) , :

里 , 有 p 个元素相同 , 又有 q 个元素相同 , ┅又有 r 个元素相同 ( p + q + ┅r ≤ n ) , 那么 , 它所有全排列个数为 :

每桶油能使车前进 54 千米 , 每辆车都可向另一辆车借油 . 现在两车同时从同一起点出发 , 要使其中一辆车行得尽量远 , 并
) 且两辆车都要回到起点 . 问 :最远能行到离起点 (    千米处” .

这是本次决赛中的压轴题 , 难在有两个约束条件 “每辆车最多能载重 20 桶油 , 都要回到起点”为了更直观说明问题 , : . 利用线段图表示题意如图 9 . 如何解决这一问题呢 ? 不妨用逆推法来思考 , 假设让乙车开得尽量远 , 根据图意 , 应使 CB 段用油尽量多 , 但乙车最多 只能用
20 20 = 10 桶油 ( 从 B 到 C 也要用 10 桶油) 同样 , A C 段用油也要尽量多 , 但每辆车最多只能用 = 5 桶油 , 因为乙车 2 4

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20 = 5 桶油 , 甲车从 C 到 A 也要 4 用 5 桶油 . 这样 , 乙车最远就能从 A 到 B , 用 15 桶油 . A B 间

沙洋师范高等专科学校学报

在 C 处先后要向甲车各借

距离为 54 ×15 = 810 米 . 具体用油情况如下 : 两车同时行到 C 处 ( 各用 5 桶 , 各余 15 桶) , 甲停在 C 处 , 借给乙 5 桶 , 余下 10 桶 ; 乙变为 20 桶 , 继续前进到 B 并 回到 C 处 ; 最后用甲余下的 10 桶油使两车回到起点 A . 若把上述问题作进一步推广 , 即同种型号的 n 辆车 , 每 辆车最多能载 m 桶油 ( 包括油箱内的油) , 每桶油能使车前 进 q 千米 , 每辆车都可向另一辆车借油 . 现在 n 辆车同时从 同一起点出发 , 要使其中一辆车行得尽量远 , 并且每辆车都 ) 要回到起点 . 问 :最远能行到离起点 (    千米处 . 先记最远能行到离起点 S n 千米处 ,同样运用例 3 问题解 mq 1 1 1 (1 + ). 决的思想方法 ,不难推出 S n = + + …+ 2 2 3 n

  具体行车策略是 :如图 9 所示 , 先是 n 辆车从起点 A 行驶到 A 1 处 , 每辆车用去油应是 处 , 其余 ( n - 1) 辆车各向它借
m

m

2n

桶油 , 然后让一辆车停在 A 1
m

2n

桶油后继续行驶 , 停在 A 1 处那辆车每碰到一辆返回的车辆再借它
m

2n

桶油 , 助它返回到

起点处 . 直至碰到最后一辆返回车辆为止 , 这时自己刚好也只剩下
( n - 1) 辆车行驶到点 A 2 处 , 每辆车用去油应是 m m

2n

桶油 , 恰好能使它返回到起点 A 处 . 从 A 1 点出发的

2 ( n - 1)

桶油 . 同样让一辆车停在 A 2 处 , 其余 ( n - 2) 辆车向它各借
m

2 ( n - 1)

桶后继续行驶 , 同样停在 A 2 处那辆车每碰到一辆返回的车辆再借它 ( 桶油 , 助它返回到点 A 1 处 . 直至碰 2 n - 1)
m

到最后一辆返回车辆为止 , 这时自己刚好也只剩下 ( 桶油 , 恰好能使它返回到点 A 1 处 . 依次类推下去 , 行驶到点 2 n - 1)
A n - 1 处还剩下两辆车 , 其中一辆车向另一辆车借

桶油后继续行驶 , 直到用去 桶油后 ( 这时到达最远点 B 处) 返回 . 4 2 我们知道数列 是无穷大量 , 也就是说不论车辆载油量 、 行驶距离的多少 , 只要车辆足够多 , 按照题目要求 , 都可以行驶

m

m

到无穷远的地方 , 并且透过题目本身我们还看到 , 要使其中一辆车行驶到最远处 , 离不开其余车辆的协作 , 这种团队精神对 解题者不无教育和启发 . 类似的小学数学竞赛题还有很多 , 譬如 , 有这样一道小学数学思考题 “把 16 个小球任意分成若干 : 堆 , 现按下面的规则进行移动 :取其中任意二堆 A 、 , 若 A 堆球不小于 B 堆球数 , 就从 A 堆移与 B 堆相同数目的小球到 B B 堆 , 经若干次这样的移动之后 , 能使所有小球成为一堆吗 ? 笔者用退化模式经过研究 , 不难推出一个一般性的结论 : 因为 ” 任一自然数 n 都可表示成 2 q p ( q 为非负整数 , p 为奇数) 的形式 . 故把 n 个小球任意分成 m ( m ≥1) 堆 , 按题所要求的规则 移动 , 当且仅当每堆小球数是 p 的倍数时 , 经有限次的这样移动后 , 最后能使所有的小球成为一堆 . 当然 , 属于退化模式范围的还有降维法 、 极端化方法等具体模式 , 不论怎样 , 这种以退求进 , 以进求退的数学解题思想 值得提倡 , 正如华罗庚先生所说的 “善于退 , 足够地退 , 退到最原始而又不失去一般性的地方 , 是学好数学的一个诀窍”因 . 此 , 我们在具体解题过程中 , 要重视数学思想 , 方法的应用 , 这对于发展学生的数学素质是十分有益的 . 参考文献 : [ 1 ] 任樟辉 . 数学思维论 [ M ]. 南宁 :广西教育出版社 , 1994 . [ 2 ] 郑毓信 . 数学方法论 [ M ]. 南宁 :广西教育出版社 , 1995 . q [ 3 ] 周小华 . 从 16 到 2 p —小球归堆问题的推广 [ J ]. 中小学数学 ( 小学版) , 1999 , ( 1 - 2) .

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