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圆的一般方程.ppt


4.1.2 圆的一般方程

复习
2+(y-b)2=r2 ( x a ) 圆的标准方程:

特征:直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2

(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
<

br /> 动动手
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2
2

展开,得

x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

思考
1.是不是任何一个形如 x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程都表示的曲线是圆呢? 下列方程表示什么图形?

(1)x2+y2-2x+4y+1=0; (2)x2+y2-2x-4y+5 =0; (3)x2+y2-2x+4y+6=0.



2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y

左边配方,得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2

(1)当 D2+E2-4F>0 时,
2 2

它表示以

? D E ? ? ? , ? 2 2 ? ? ?

为圆心,

D + E 4 F 以 r= 2

为半径的圆;

(2) 当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个
D E 点 ( - ,- ) ; 2 2

(3)当D2+E2-4F<0时,方程无 实数解,不表示任何图形.

所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程

圆的一般方程:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系:
(1)a=-D/2,b=-E/2,r=

1 D 2 + E 2 - 4F 2

(2)标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点: ①x2与y2系数相同并且不等于0;

②没有xy这样的二次项

例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能, 写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
圆心(1,-2)半径3

(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0

是 圆心(3,-1)半径
不是

10

(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3), 半径为4,则D,E,F分别等于 ( B) - 4,6,3 ( A)4,-6,3

D

(C ) - 4,6,-3

( D)4,-6,-3

2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
1 ( A)a ? 2

1 ( B )a ? 2

(C )a =

1 2

1 ( D )a ? 2

D

下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、 例2:
半径.

(1)2 x + 2 y + 4 x - 12y - 1 = 0 2 2 (2) x + y + 2ax = 0(a ? 0)
2 2 (2) 由 x + y + 2ax = 0 解: (1)由2x + 2 y + 4x - 12 y - 1 = 0
2 2

2

2

1 得x + y + 2x - 6 y - = 0 2 21 2 2 即:(x + 1) + ( y - 3) = 2 故它表示以( - 1, 3)为圆心,
2 2

得(x + a) + y = a ? 0
2 2 2

故它表示以( - a,0) a 为半径的圆 为圆心,

42 为半径的圆. 2

[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方 ?? ??
?? ? ? 展开

一般方程

标准方程

典例精析
例1: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) ,M2(4,2) 的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法一: 几何方法
0 圆心:两条弦的中垂线的交点 半径:圆心到圆上一点的距离

y
M1(1,1) M (4,2) 2

x

举例
例1: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) ,M2(4,2)
的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二: 解:设所求圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上

?(a)2+(b)2=r2 ?(1-a)2+(1-b)2=r2 ? ?(4-a)2+(2-b)2=r2 ?
所求圆的方程为:

解得

? a=4 ? ? b=-3 ? ? r=5

即(x-4)2+(y+3)2=25

举例
例1: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) ,M2(4,2)
的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解:设所求圆的一般方程为:

方法三:x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D2 + E 2 - 4F ? 0)
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则

所求圆的方程为:

? F=0 ? ? D+E+F+2=0 ? ? 4D+2E+F+20=0

? F=0 解得 ? D=-8 ? ? ? E=6

x2+y2-8x+6y=0

即(x-4)2+(y+3)2=25

小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)

例2.已知一圆过p(4 ,-2) .Q(-1 ,3)两点,且在y
轴上截到的线段长为4 3,求圆的方程。
解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令x=0, 得 y2+Ey+F=0 又|y1-y2|=4

∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑴ 将P ,Q两点的坐标代入得:

3

?

4D-2E+F=0 ⑵

D-3E-F=0 ⑶

∴由⑴⑵⑶ 得:D=-2 ,E=0 ,F=-12 或D=-10 ,E=-8 ,F=-4

举例
例3. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)
距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程, 并画出曲线.
解:设( x, y )是所求曲线上的点,则由题意可得: ( x - 0) 2 + ( y - 0) 2 1 = 2 2 2 ( x - 3) + ( y - 0)
2

y

M(x,y)

.

两边平方化简得: x + y + 2x - 3 = 0
2

(-1,0) O

.

.
A(3,0)

x

? 62 - 4 ? (-9) ? 0 ? 该曲线为圆.

直接法

? 练习:

已知点P在圆C: x + y - 8x - 6 y + 21 = 0 上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程。
2 2

练习: ⑴ 点P(3 ,0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点, 求过点P的最短弦所在直线方程。 ⑵圆C: x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0的 距离为 2 的点有几个?
2 ⑶圆x2+y2-4x+2y+F=0与y轴交于 A B两点, 圆心为C.若∠ACB=900 ,求F.

⑷已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆,求该圆半径r的取值范围。

小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 ? ? x + y + Dx + Ey + F = 0 ? 2 2 ? D + E - 4F ? 0 ?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?

(用配方法求解)

小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 (两条直线的交点) (常用弦的中垂线)

待定系数法
设方程为 ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = r 2 (或x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0)

求半径 (圆心到圆上一点的距离)

列关于a,b,r(或D,E,F) 的方程组

写出圆的标准方程

解出a,b,r(或D,E,F), 写出标准方程(或一般方程)


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