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甘肃省兰州市2016年中考数学试卷(word版含答案)


甘肃省兰州市 2016 年中考数学试卷 (A 卷)
一、选择题 1. (4 分) (2016?兰州)如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体,则该几何体的主视 图是( )

A.

B.

C.

D. )

2. (4 分) (2016?兰州)反比例函数是 y= 的图象在(

A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 3. (4 分) (2016?兰州)已知△ ABC∽△DEF,若△ ABC 与△ DEF 的相似比为 ,则△ ABC 与△ DEF 对应中线的比为( A. B. C. D. ) )

4. (4 分) (2016?兰州)在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,sinA= ,BC=6,则 AB=( A.4 B.6 C.8 D.10 2 5. (4 分) (2016?兰州)一元二次方程 x +2x+1=0 的根的情况( A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 6. (4 分) (2016?兰州)如图,在△ ABC 中,DE∥BC,若



= ,则

=(



A. B. C. D. 7. (4 分) (2016?兰州)如图,在⊙O 中,若点 C 是 的中点,∠A=50°,则∠BOC=( )

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A.40° B.45° C.50° D.60° 8. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=x ﹣2x+4 化为 y=a(x﹣h) +k 的形式,下列正确的是 ( ) 2 2 2 2 A.y=(x﹣1) +2 B.y=(x﹣1) +3 C.y=(x﹣2) +2 D.y=(x﹣2) +4 9. (4 分) (2016?兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜 花(如图) ,原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为 18m ,求原正方 形空地的边长.设原正方形的空地的边长为 xm,则可列方程为( )
2 2 2

A. (x+1) (x+2)=18 B.x ﹣3x+16=0 C. (x﹣1) (x﹣2)=18 D.x +3x+16=0 10. (4 分) (2016?兰州)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,若四边形 ABCO 是平行四边形, 则∠ADC 的大小为( )

2

2

A.45° B.50° C.60° D.75° 11. (4 分) (2016?兰州) 点 P1 (﹣1, y1) , P2 (3, y2) , P3 (5, y3) 均在二次函数 y=﹣x +2x+c 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( ) A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3 12. (4 分) (2016?兰州)如图,用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )
2

A.πcm B.2πcm C.3πcm D.5πcm 2 13. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x=﹣1,有 2 以下结论: ①abc>0; ②4ac<b ; ③2a+b=0; ④a﹣b+c>2. 其中正确的结论的个数是 ( )
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A.1 B.2 C.3 D.4 14. (4 分) (2016?兰州)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC,AD=2 ,DE=2,则四边形 OCED 的面积( )

A.2

B.4 C.4

D.8 的图象上,C、D 两点在反 ,则

15. (4 分) (2016?兰州)如图,A,B 两点在反比例函数 y= 比例函数 y= k2﹣k1=(

的图象上,AC⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 F,AC=2,BD=3,EF= )

A.4 B.

C.

D.6

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 16. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=x +4x﹣3 的最小值是 . 17. (4 分) (2016?兰州)一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其 中有 6 个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复 上述实验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,由此估计口袋中共有小球 个. 18. (4 分) (2016?兰州)双曲线 y= 在每个象限内,函数值 y 随 x 的增大而增大,则
2

m 的取值范围是 . 19. (4 分) (2016?兰州)?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC⊥BD,请添加一 个条件: ,使得?ABCD 为正方形.
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20. (4 分) (2016?兰州)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义:在同一平面内,如果 矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等,那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣 矩形”.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y= x﹣3 交 x 轴于点 M,⊙M 的半径 为 2,矩形 ABCD 沿直线运动(BD 在直线 l 上) ,BD=2,AB∥y 轴,当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时,点 C 的坐标为 .

三、解答题(共 8 小题,满分 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (10 分) (2016?兰州) (1)
2

+( ) ﹣2cos45°﹣(π﹣2016)

﹣1

0

(2)2y +4y=y+2. 22. (5 分) (2016?兰州)如图,已知⊙O,用尺规作⊙O 的内接正四边形 ABCD. (写出结 论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

23. (6 分) (2016?兰州)小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从 1,2,…,8 中任意选择一个数字, 然后两人各转动一次如图所示的转盘 (转盘被分为面积相等的四个扇 形) ,两人转出的数字之和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于 他们各自选择的数,就在做一次上述游戏,直至决出胜负.若小军事先选择的数是 5,用列 表或画树状图的方法求他获胜的概率.

24. (7 分) (2016?兰州)如图,一垂直于地面的灯柱 AB 被一钢筋 CD 固定,CD 与地面成 45°夹角(∠CDB=45°) ,在 C 点上方 2 米处加固另一条钢线 ED,ED 与地面成 53°夹角 (∠EDB=53°) , 那么钢线 ED 的长度约为多少米? (结果精确到 1 米, 参考数据: sin53°≈0.80, cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

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25. (10 分) (2016?兰州)阅读下面材料: 在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图 1,我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E, F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗? 小敏在思考问题是,有如下思路:连接 AC.

结合小敏的思路作答 (1) 若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状 (如图 2) ,则四边形 EFGH 还是平行四边形吗? 说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题: (2)如图 2,在(1)的条件下,若连接 AC,BD. ①当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是菱形,写出结论并证明; ②当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是矩形,直接写出结论.

26. (10 分) (2016?兰州)如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x 轴于点 C,点 A ( ,1)在反比例函数 y= 的图象上.

(1)求反比例函数 y= 的表达式; (2)在 x 轴的负半轴上存在一点 P,使得 S△ AOP= S△ AOB,求点 P 的坐标; (3)若将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到△ BDE.直接写出点 E 的坐标,并判断 点 E 是否在该反比例函数的图象上,说明理由.

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27. (10 分) (2016?兰州)如图,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 是⊙O 的直径,OD⊥AB 于点 O,分别交 AC、CF 于点 E、D,且 DE=DC. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 5,BC= ,求 DE 的长.

28. (12 分) (2016?兰州)如图 1,二次函数 y=﹣x +bx+c 的图象过点 A(3,0) ,B(0,4) 两点,动点 P 从 A 出发,在线段 AB 上沿 A→B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,过 点 P 作 PD⊥y 于点 D,交抛物线于点 C.设运动时间为 t(秒) . (1)求二次函数 y=﹣x +bx+c 的表达式; (2)连接 BC,当 t= 时,求△ BCP 的面积; (3)如图 2,动点 P 从 A 出发时,动点 Q 同时从 O 出发,在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1 个单位长度的速度运动.当点 P 与 B 重合时,P、Q 两点同时停止运动,连接 DQ,PQ, 将△ DPQ 沿直线 PC 折叠得到△ DPE.在运动过程中,设△ DPE 和△ OAB 重合部分的面积 为 S,直接写出 S 与 t 的函数关系及 t 的取值范围.
2

2

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2016 年甘肃省兰州市中考数学试卷(A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (4 分) (2016?兰州)如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体,则该几何体的主视 图是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由已知条件可知,主视图有 3 列,每列小正方数形数目分别为 2,1,1,据此可得 出图形,从而求解.

【解答】解:观察图形可知,该几何体的主视图是



故选:A. 【点评】本题考查由三视图判断几何体,简单组合体的三视图.由几何体的俯视图及小正方 形内的数字, 可知主视图的列数与俯视数的列数相同, 且每列小正方形数目为俯视图中该列 小正方形数字中的最大数字. 左视图的列数与俯视图的行数相同, 且每列小正方形数目为俯 视图中相应行中正方形数字中的最大数字.

2. (4 分) (2016?兰州)反比例函数是 y= 的图象在(



A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可. 【解答】解:∵反比例函数是 y= 中,k=2>0, ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限. 故选 B. 【点评】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数 y= (k≠0)的图象是双曲线; 当 k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小是解 答此题的关键. 3. (4 分) (2016?兰州)已知△ ABC∽△DEF,若△ ABC 与△ DEF 的相似比为 ,则△ ABC 与△ DEF 对应中线的比为( A. B. C. D.
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【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,△ ABC 与△ DEF 的相似比为 , ∴△ABC 与△ DEF 对应中线的比为 , 故选:A. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面 积的比等于相似比的平方;相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等 于相似比. 4. (4 分) (2016?兰州)在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,sinA= ,BC=6,则 AB=(



A.4 B.6 C.8 D.10 【分析】在直角三角形 ABC 中,利用锐角三角函数定义表示出 sinA,将 sinA 的值与 BC 的 长代入求出 AB 的长即可. 【解答】解:在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,sinA= ∴AB= = =10, = ,BC=6,

故选 D

【点评】此题考查了解直角三角形,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键. 5. (4 分) (2016?兰州)一元二次方程 x +2x+1=0 的根的情况( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【分析】先求出△ 的值,再根据△ >0?方程有两个不相等的实数根;△ =0?方程有两个相 等的实数;△ <0?方程没有实数根,进行判断即可. 2 【解答】解:∵△=2 ﹣4×1×1=0, 2 ∴一元二次方程 x +2x+1=0 有两个相等的实数根; 故选 B. 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 6. (4 分) (2016?兰州)如图,在△ ABC 中,DE∥BC,若
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2

= ,则

=(



A. B. C. D. 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴ = = ,

故选 C. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,了解定理的内容是解答本题的关键,属于基 础定义或定理,难度不大.

7. (4 分) (2016?兰州)如图,在⊙O 中,若点 C 是

的中点,∠A=50°,则∠BOC=(



A.40° B.45° C.50° D.60° 【分析】 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB, 根据垂径定理求出 AD=BD, 根据等腰三角形性质得出∠BOC= ∠AOB,代入求出即可.

【解答】解:∵∠A=50°,OA=OB, ∴∠OBA=∠OAB=50°, ∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°, ∵点 C 是 ∴OA=OB, ∴∠BOC= ∠AOB=40°, 故选 A. 的中点,OC 过 O,

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【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,垂径定理,等腰三角形的性质的应用,注 意:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦,其中有一对相等,那么其余两对也相 等. 8. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=x ﹣2x+4 化为 y=a(x﹣h) +k 的形式,下列正确的是 ( ) A.y=(x﹣1) +2 B.y=(x﹣1) +3 C.y=(x﹣2) +2 D.y=(x﹣2) +4 【分析】根据配方法,可得顶点式函数解析式. 2 【解答】解:y=x ﹣2x+4 配方,得 2 y=(x﹣1) +3, 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的形式你,配方法是解题关键. 9. (4 分) (2016?兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜 2 花(如图) ,原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为 18m ,求原正方 形空地的边长.设原正方形的空地的边长为 xm,则可列方程为( )
2 2 2 2 2 2

A. (x+1) (x+2)=18 B.x ﹣3x+16=0 C. (x﹣1) (x﹣2)=18 D.x +3x+16=0 【分析】可设原正方形的边长为 xm,则剩余的空地长为(x﹣1)m,宽为(x﹣2)m.根 据长方形的面积公式方程可列出. 【解答】解:设原正方形的边长为 xm,依题意有 (x﹣1) (x﹣2)=18, 故选 C. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,应熟记长方形的面积公式.另 外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键. 10. (4 分) (2016?兰州)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,若四边形 ABCO 是平行四边形, 则∠ADC 的大小为( )

2

2

A.45° B.50° C.60° D.75°

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【分析】设∠ADC 的度数=α,∠ABC 的度数=β,由题意可得 可解决问题. 【解答】解:设∠ADC 的度数=α,∠ABC 的度数=β; ∵四边形 ABCO 是平行四边形, ∴∠ABC=∠AOC; ∵∠ADC= β,∠AOC=α;而 α+β=180°,

,求出 β 即





解得:β=120°,α=60°,∠ADC=60°, 故选 C. 【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题;应牢固掌握该定理并能灵活运用. 11. (4 分) (2016?兰州) 点 P1 (﹣1, y1) , P2 (3, y2) , P3 (5, y3) 均在二次函数 y=﹣x +2x+c 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( ) A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3 【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为 x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对 称,可判断 y1=y2>y3. 2 【解答】解:∵y=﹣x +2x+c, ∴对称轴为 x=1, P2(3,y2) ,P3(5,y3)在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减小, ∵3<5, ∴y2>y3, 根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称, 故 y1=y2>y3, 故选 D. 【点评】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系, 同时考查了函数的对称性 及增减性. 12. (4 分) (2016?兰州)如图,用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )
2

A.πcm B.2πcm C.3πcm D.5πcm 【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长,利用弧长公式计算即可.

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【解答】解:根据题意得:l=

=3πcm,

则重物上升了 3πcm, 故选 C 【点评】此题考查了旋转的性质,以及弧长公式,熟练掌握旋转的性质是解本题的关键. 13. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x=﹣1,有 2 以下结论: ①abc>0; ②4ac<b ; ③2a+b=0; ④a﹣b+c>2. 其中正确的结论的个数是 ( )
2

A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】由抛物线开口方向得到 a<0,由抛物线的对称轴方程得到为 b=2a<0,由抛物线与 y 轴的交点位置得到 c>0, 则可对①进行判断; 根据抛物线与 x 轴交点个数得到△ =b ﹣4ac >0,则可对②进行判断;利用 b=2a 可对③进行判断;利用 x=﹣1 时函数值为正数可对 ④进行判断. 【解答】解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =﹣1,
2

∴b=2a<0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, ∴c>0, ∴abc>0,所以①正确; ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点, 2 ∴△=b ﹣4ac>0,所以②正确; ∵b=2a, ∴2a﹣b=0,所以③错误; ∵抛物线开口向下,x=﹣1 是对称轴,所以 x=﹣1 对应的 y 值是最大值, ∴a﹣b+c>2,所以④正确. 故选 C. 2 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) ,二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线 向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab >0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右;常数项 c 决定抛 2 物线与 y 轴交点位置:抛物线与 y 轴交于(0,c) ;抛物线与 x 轴交点个数由△ 决定:△ =b

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﹣4ac>0 时, 抛物线与 x 轴有 2 个交点; △ =b ﹣4ac=0 时, 抛物线与 x 轴有 1 个交点; △ =b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 14. (4 分) (2016?兰州)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC,AD=2 ,DE=2,则四边形 OCED 的面积( )

2

2

A.2 B.4 C.4 D.8 【分析】连接 OE,与 DC 交于点 F,由四边形 ABCD 为矩形得到对角线互相平分且相等, 进而得到 OD=OC, 再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到 ODEC 为平行四边形, 根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形 ODEC 为菱形,得到对角线互相平分且垂直, 求出菱形 OCEF 的面积即可. 【解答】解:连接 OE,与 DC 交于点 F, ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴OA=OC,OB=OD,且 AC=BD,即 OA=OB=OC=OD, ∵OD∥CE,OC∥DE, ∴四边形 ODEC 为平行四边形, ∵OD=OC, ∴四边形 ODEC 为菱形, ∴DF=CF,OF=EF,DC⊥OE, ∵DE∥OA,且 DE=OA, ∴四边形 ADEO 为平行四边形, ∵AD=2 ,DE=2, ∴OE=2 ,即 OF=EF= , 在 Rt△ DEF 中,根据勾股定理得:DF= 则 S 菱形 ODEC= OE?DC= ×2 故选 A ×2=2 . =1,即 DC=2,

【点评】此题考查了矩形的性质,菱形的判定与性质,以及勾股定理,熟练掌握矩形的性质 是解本题的关键.

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15. (4 分) (2016?兰州)如图,A,B 两点在反比例函数 y= 比例函数 y= k2﹣k1=(

的图象上,C、D 两点在反 ,则

的图象上,AC⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 F,AC=2,BD=3,EF= )

A.4 B.

C.

D.6 ) ,B(n, )则 C(m, ) ,D(n, ) ,根据题意列出方程

【分析】设 A(m, 组即可解决问题.

【解答】解:设 A(m,

) ,B(n,

)则 C(m,

) ,D(n,

) ,

由题意:

解得 k2﹣k1=4.

故选 A.

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是利用参数,构建方程组 解决问题,属于中考常考题型. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 2 16. (4 分) (2016?兰州)二次函数 y=x +4x﹣3 的最小值是 ﹣7 . 【分析】利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题. 2 2 【解答】解:∵y=x +4x﹣3=(x+2) ﹣7, ∵a=1>0, ∴x=﹣2 时,y 有最小值=﹣7. 故答案为﹣7.
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【点评】本题考查二次函数的最值,记住 a>O 函数有最小值,a<O 函数有最大值,学会 利用配方法确定函数最值问题,属于中考常考题型. 17. (4 分) (2016?兰州)一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其 中有 6 个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复 上述实验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,由此估计口袋中共有小球 20 个. 【分析】由于摸到黄球的频率稳定在 30%,由此可以确定摸到黄球的概率,而袋中有 6 个 黄球,由此即可求出. 【解答】解:∵摸到黄球的频率稳定在 30%, ∴在大量重复上述实验下,可估计摸到黄球的概率为 30%=0.3, 而袋中黄球只有 6 个, ∴推算出袋中小球大约有 6÷0.3=20(个) , 故答案为:20. 【点评】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置 左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来 估计概率, 这个固定的近似值就是这个事件的概率. 当实验的所有可能结果不是有限个或结 果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.

18. (4 分) (2016?兰州)双曲线 y=

在每个象限内,函数值 y 随 x 的增大而增大,则

m 的取值范围是 m<1 . 【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质,可得出关于 m 的一元一次不等 式,解不等式即可得出结论. 【解答】解:∵双曲线 y= 在每个象限内,函数值 y 随 x 的增大而增大,

∴m﹣1<0, 解得:m<1. 故答案为:m<1. 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式,解题的关键是找出关于 m 的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据反比例函数的单 调性结合反比例函数的性质找出反比例系数 k 的取值范围是关键. 19. (4 分) (2016?兰州)?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC⊥BD,请添加一 个条件: ∠BAD=90° ,使得?ABCD 为正方形. 【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可. 【解答】解:∵?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC⊥BD, ∴?ABCD 是菱形, 当∠BAD=90°时,?ABCD 为正方形. 故答案为:∠BAD=90°. 【点评】本题考查了正方形的判定:先判定平行四边形是菱形,判定这个菱形有一个角为直 角. 20. (4 分) (2016?兰州)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义:在同一平面内,如果 矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等,那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣
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矩形”.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y= x﹣3 交 x 轴于点 M,⊙M 的半径 为 2,矩形 ABCD 沿直线运动(BD 在直线 l 上) ,BD=2,AB∥y 轴,当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时,点 C 的坐标为 ( ﹣ ,﹣ )或( , ) .

【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知:圆上的点一定在矩形的对角线交点上,因为只有对角 线交点到四个顶点的距离相等,由此画出图形,先求出直线与 x 轴和 y 轴两交点的坐标,和 矩形的长和宽; 有两种情况:①矩形在 x 轴下方时,作辅助线构建相似三角形得比例式,分别求出 DG 和 DH 的长,从而求出 CG 的长,根据坐标特点写出点 C 的坐标;②矩形在 x 轴上方时,也 分别过 C、B 两点向两坐标轴作垂线,利用平行相似得比例式,求出:C( 【解答】解:如图所示,矩形在这两个位置时就是⊙M 的“伴侣矩形”, 根据直线 l:y= x﹣3 得:OM= ,ON=3, 由勾股定理得:MN= =2 , , ) .

①矩形在 x 轴下方时,分别过 A、D 作两轴的垂线 AH、DG, 由 cos∠ABD=cos∠ONM= ∴ = ,AB= = ,

,则 AD=1,

∵DG∥y 轴, ∴△MDG∽△MON, ∴ ∴ ∴DG= ∴CG= , + = , , , ,
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, ,

同理可得: ∴ =

∴DH=

∴C(

﹣ ,﹣

) ; , , ) ; ) .

②矩形在 x 轴上方时,同理可得:C( 故答案为: ( ﹣ ,﹣ )或(

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识,综合性较强, 解答本题需要我们熟练各部分的内容, 对学生的综合能力要求较高, 一定要注意将所学知识 贯穿起来.同时,正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键,这就需要熟练掌握 矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等. 三、解答题(共 8 小题,满分 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (10 分) (2016?兰州) (1)
2

+( ) ﹣2cos45°﹣(π﹣2016)

﹣1

0

(2)2y +4y=y+2. 【分析】 (1)原式第一项化为最简二次根式,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项 利用利用零指数幂法则计算即可得到结果; (2)先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程. 【解答】解: (1) =2 = +2﹣2× +1;
2

+( ) ﹣2cos45°﹣(π﹣2016)

﹣1

0

﹣1

(2)2y +4y=y+2, 2 2y +3y﹣2=0, (2y﹣1) (y+2)=0, 2y﹣1=0 或 y+2=0, 所以 y1= ,y2=﹣2.
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【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到 两个一元一次方程的解, 这样也就把原方程进行了降次, 把解一元二次方程转化为解一元一 次方程的问题了(数学转化思想) .也考查了实数的运算. 22. (5 分) (2016?兰州)如图,已知⊙O,用尺规作⊙O 的内接正四边形 ABCD. (写出结 论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

【分析】画圆的一条直径 AC,作这条直径的中垂线交⊙O 于点 BD,连结 ABCD 就是圆内 接正四边形 ABCD. 【解答】解:如图所示,四边形 ABCD 即为所求:

【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识,掌握中心角相等且都相等 90°的四 边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键. 23. (6 分) (2016?兰州)小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从 1,2,…,8 中任意选择一个数字, 然后两人各转动一次如图所示的转盘 (转盘被分为面积相等的四个扇 形) ,两人转出的数字之和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于 他们各自选择的数,就在做一次上述游戏,直至决出胜负.若小军事先选择的数是 5,用列 表或画树状图的方法求他获胜的概率.

【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两指针所指数字的和为 5 情况数,即可确定小 军胜的概率. 【解答】解:列表如下: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 所有等可能的情况有 16 种,其中两指针所指数字的和为 5 的情况有 4 种,
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所以小军获胜的概率=

= .

【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之 比. 24. (7 分) (2016?兰州)如图,一垂直于地面的灯柱 AB 被一钢筋 CD 固定,CD 与地面成 45°夹角(∠CDB=45°) ,在 C 点上方 2 米处加固另一条钢线 ED,ED 与地面成 53°夹角 (∠EDB=53°) , 那么钢线 ED 的长度约为多少米? (结果精确到 1 米, 参考数据: sin53°≈0.80, cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

【分析】根据题意,可以得到 BC=BD,由∠CDB=45°,∠EDB=53°,由三角函数值可以求 得 BD 的长,从而可以求得 DE 的长. 【解答】解:设 BD=x 米,则 BC=x 米,BE=(x+2)米, 在 Rt△ BDE 中,tan∠EDB= 即 , ,

解得,x≈6.06, ∵sin∠EDB= 即 0.8= , ,

解得,ED≈10 即钢线 ED 的长度约为 10 米. 【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是明确题意,利用三角函数值求出相应 的边的长度. 25. (10 分) (2016?兰州)阅读下面材料: 在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图 1,我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E, F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗? 小敏在思考问题是,有如下思路:连接 AC.

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结合小敏的思路作答 (1) 若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状 (如图 2) ,则四边形 EFGH 还是平行四边形吗? 说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题: (2)如图 2,在(1)的条件下,若连接 AC,BD. ①当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是菱形,写出结论并证明; ②当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是矩形,直接写出结论.

【分析】 (1)如图 2,连接 AC,根据三角形中位线的性质得到 EF∥AC,EF= AC,然后 根据平行四边形判定定理即可得到结论; (2) 由 (1) 知, 四边形 EFGH 是平行四边形, 且 FG= BD, HG= AC, 于是得到当 AC=BD 时,FG=HG,即可得到结论; (3)根据平行线的性质得到 GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定 定理即可得到结论. 【解答】解: (1)是平行四边形, 证明:如图 2,连接 AC, ∵E 是 AB 的中点,F 是 BC 的中点, ∴EF∥AC,EF= AC, 同理 HG∥AC,HG= AC, 综上可得:EF∥HG,EF=HG, 故四边形 EFGH 是平行四边形; (2)AC=BD. 理由如下: 由(1)知,四边形 EFGH 是平行四边形,且 FG= BD,HG= AC, ∴当 AC=BD 时,FG=HG, ∴平行四边形 EFGH 是菱形, (3)当 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 为矩形; 理由如下: 同(2)得:四边形 EFGH 是平行四边形, ∵AC⊥BD,GH∥AC, ∴GH⊥BD, ∵GF∥BD,
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∴GH⊥GF, ∴∠HGF=90°, ∴四边形 EFGH 为矩形.

【点评】此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行 于第三边且等于第三边的一半. 26. (10 分) (2016?兰州)如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x 轴于点 C,点 A ( ,1)在反比例函数 y= 的图象上.

(1)求反比例函数 y= 的表达式; (2)在 x 轴的负半轴上存在一点 P,使得 S△ AOP= S△ AOB,求点 P 的坐标; (3)若将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到△ BDE.直接写出点 E 的坐标,并判断 点 E 是否在该反比例函数的图象上,说明理由.

【分析】 (1)将点 A(

,1)代入 y= ,利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式; ,﹣3) ,计算求出 S△ AOB= × ×4=2 .则

(2)先由射影定理求出 BC=3,那么 B( S△ AOP= S△ AOB=

.设点 P 的坐标为(m,0) ,列出方程求解即可; ,﹣1) ,

(3)先解△ OAB,得出∠ABO=30°,再根据旋转的性质求出 E 点坐标为(﹣ 即可求解. 【解答】解: (1)∵点 A( ∴k= ×1= , ; ,1)在反比例函数 y= 的图象上,

∴反比例函数的表达式为 y=

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(2)∵A( ,1) ,AB⊥x 轴于点 C, ∴OC= ,AC=1, 2 由射影定理得 OC =AC?BC,可得 BC=3,B( S△ AOB= × ×4=2 . .

,﹣3) ,

∴S△ AOP= S△ AOB=

设点 P 的坐标为(m,0) , ∴ ×|m|×1= ,

∴|m|=2 , ∵P 是 x 轴的负半轴上的点, ∴m=﹣2 , ∴点 P 的坐标为(﹣2 ,0) ; (3)点 E 在该反比例函数的图象上,理由如下: ∵OA⊥OB,OA=2,OB=2 ,AB=4, ∴sin∠ABO= = = ,

∴∠ABO=30°, ∵将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到△ BDE, ∴△BOA≌△BDE,∠OBD=60°, ∴BO=BD=2 ,OA=DE=2,∠BOA=∠BDE=90°,∠ABD=30°+60°=90°, 而 BD﹣OC= ,BC﹣DE=1, ∴E(﹣ ,﹣1) , ∵﹣ ×(﹣1)= , ∴点 E 在该反比例函数的图象上. 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,反比例函数图象上点的坐标特征, 三角形的面积,旋转的性质,正确求出解析式是解题的关键. 27. (10 分) (2016?兰州)如图,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 是⊙O 的直径,OD⊥AB 于点 O,分别交 AC、CF 于点 E、D,且 DE=DC. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 5,BC= ,求 DE 的长.

【分析】 (1)连接 OC,欲证明 CF 是⊙O 的切线,只要证明∠OCF=90°.

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(2)作 DH⊥AC 于 H,由△ AEO∽△ABC,得 sin∠A=sin∠EDH,得到 【解答】证明:连接 OC, ∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA, ∵OD⊥AB, ∴∠A+∠AEO=90°, ∵DE=DC, ∴∠DEC=∠DCE, = ,求出 DE 即可.

=

求出 AE,EC,再根据

∵∠AEO=∠DEC, ∴∠AEO=∠DCE, ∴∠OCE+∠DCE=90°, ∴∠OCF=90°, ∴OC⊥CF, ∴CF 是⊙O 切线. (2)作 DH⊥AC 于 H,则∠EDH=∠A, ∵DE=DC, ∴EH=HC= EC, ∵⊙O 的半径为 5,BC= ∴AB=10,AC=3 , ∵△AEO∽△ABC, ∴ = , = , , , ,

∴AE=

∴EC=AC﹣AE= ∴EH= EC=

∵∠EDH=∠A, ∴sin∠A=sin∠EDH, ∴ = ,

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∴DE=

=

=

. ,

【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识,解题的关键是 添加辅助线,构造相似三角形,属于中考常考题型. 28. (12 分) (2016?兰州)如图 1,二次函数 y=﹣x +bx+c 的图象过点 A(3,0) ,B(0,4) 两点,动点 P 从 A 出发,在线段 AB 上沿 A→B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,过 点 P 作 PD⊥y 于点 D,交抛物线于点 C.设运动时间为 t(秒) . 2 (1)求二次函数 y=﹣x +bx+c 的表达式; (2)连接 BC,当 t= 时,求△ BCP 的面积; (3)如图 2,动点 P 从 A 出发时,动点 Q 同时从 O 出发,在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1 个单位长度的速度运动.当点 P 与 B 重合时,P、Q 两点同时停止运动,连接 DQ,PQ, 将△ DPQ 沿直线 PC 折叠得到△ DPE.在运动过程中,设△ DPE 和△ OAB 重合部分的面积 为 S,直接写出 S 与 t 的函数关系及 t 的取值范围.
2

【分析】 (1)直接将 A、B 两点的坐标代入列方程组解出即可; (2)如图 1,要想求△ BCP 的面积,必须求对应的底和高,即 PC 和 BD;先求 OD,再求 BD,PC 是利用点 P 和点 C 的横坐标求出,要注意符号; (3)分两种情况讨论:①△ DPE 完全在△ OAB 中时,即当 0≤t≤ 时,如图 2 所示,重合 <t≤2.5 时,

部分的面积为 S 就是△ DPE 的面积;②△ DPE 有一部分在△ OAB 中时,当 如图 4 所示,△ PDN 就是重合部分的面积 S. 2 【解答】解: (1)把 A(3,0) ,B(0,4)代入 y=﹣x +bx+c 中得: 解得
2


2

∴二次函数 y=﹣x +bx+c 的表达式为:y=﹣x + x+4; (2)如图 1,当 t= 时,AP=2t, ∵PC∥x 轴, ∴ ,
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∴ ∴OD=

, = × = ,
2

当 y= 时, =﹣x + x+4, 3x ﹣5x﹣8=0, x1=﹣1,x2= , ∴C(﹣1, ) ,
2

由 则 PD=2,





∴S△ BCP= ×PC×BD= ×3× =4; (3)如图 3, 当点 E 在 AB 上时, 由(2)得 OD=QM=ME= ∴EQ= , ,

由折叠得:EQ⊥PD,则 EQ∥y 轴 ∴ ,

∴ ∴t= ,



同理得:PD=3﹣ ∴当 0≤t≤ S=﹣ 当 t+
2

, )× ,

时,S=S△ PDQ= ×PD×MQ= ×(3﹣ t;

<t≤2.5 时, , ) ,

如图 4,P′D′=3﹣

点 Q 与点 E 关于直线 P′C′对称,则 Q(t,0) 、E(t,

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∵AB 的解析式为:y=﹣ x+4, D′E 的解析式为:y= x+ t, 则交点 N( , ) , ) ( ﹣ ) ,

∴S=S△ P′D′N= ×P′D′×FN= ×(3﹣ ∴S= t﹣
2

t+



【点评】 本题是二次函数的综合题, 考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式, 并能利用方程组求出两图象的交点,把方程和函数有机地结合在一起,使函数问题简单化; 同时考查了分类讨论的思想,这一思想在二次函数中经常运用,要熟练掌握;本题还与相似 结合,利用相似三角形对应边的比来表示线段的长.

参与本试卷答题和审题的老师有:HJJ;CJX;1286697702;sks;733599;sjzx;zjx111; 2300680618; 王学峰; 守拙; gsls; 弯弯的小河; 三界无我; 曹先生; tcm123; HLing; wd1899; zgm666(排名不分先后)

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