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子集、全集、补集·典型例题


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例 1 判定以下关系是否正确

(1){a} ? {a}
(2){1,2,3}={3,2,1}

? {0} (3)? ≠
(4)0∈{0}

(5)?∈{0} (6)?={0}
分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个 都是错误的. 说明:含元素 0 的集合非空. 例 2 列举集合{1,2,3}的所有子集. 分析 子集中分别含 1,2,3 三个元素中的 0 个,1 个,2 个或者 3 个.

解 含有0个元素的子集有:?;
含有 1 个元素的子集有{1},{2},{3}; 含有 2 个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有 3 个元素的子集有{1,2,3}.共有子集 8 个.

说明:对于集合A,我们把?和A叫做它的平凡子集.
例3 已知{a,b} ? A ? ≠{a,b,c,d},则满足条件集合A的个数为
________. 分析 A 中必含有元素 a,b,又 A 是{a,b,c,d}真子集,所以满足条 件的 A 有:{a,b},{a,b,c}{a,b,d}. 答 共 3 个. 说明:必须考虑 A 中元素受到的所有约束.

? U,且N ? M,则 例 4 设U为全集,集合M、N ≠
[ ]

分析 作出 4 图形. 答 选 C. 说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.

点击思维 例 5 设集合 A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈ R},则下列关系式中正确的是 [ ]

A.A=B C.A ? ≠B

B.A ? B ?B D.A ≠

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上 x=5-4a+a2=(2-a)2+1≥1, y=4b2+4b+2=(2b+1)2+1≥1, 所以它们的值域是相同的, 因此 A=B. 答 选 A. 说明:要注意集合中谁是元素.

M 与 P 的关系是 [ A.M= B.M=P
UP

]

? C.M ≠ P
用补集的性质:M=
UN= U(

D.M ? P
UP)=P;三是利用画图的方法.

分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除)的方法;二是利

答 选 B. 说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例 7 下列命题中正确的是 [ A.
U( UA)={A}

]

B.若A∩B=B,则A ? B C.若A={1,?,{2}},则{2} ? ≠A
D.若A={1,2,3},B={x|x ? A},则A∈B
分析 D 选择项中 A∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.

∵D选择支中,B中的元素,x ? A,即x是集合A的子集,而A的子
集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},而B
是由这所有子集组成的集合,集合 A 是其中的一个元素. ∴A∈B. 答 选 D. 说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意. 例 8 已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空 集合 C 是这样一个集合:其各元素都加 2 后,就变为 A 的一个子集;若各元素 都减 2 后,则变为 B 的一个子集,求集合 C. 分析 逆向操作:A 中元素减 2 得 0,2,4,6,7,则 C 中元素必在其中; B 中元素加 2 得 3,4,5,7,10,则 C 中元素必在其中;所以 C 中元素只能 是 4 或 7. 答 C={4}或{7}或{4,7}. 说明:逆向思维能力在解题中起重要作用. 例 9 设 S={1,2,3,4},且 M={x∈S|x2-5x+p=0},若 4},则 p=________. 分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于
SM={1,4}, SM={1,

? S, 且M ≠
∴M={2,3}则由韦达定理可解. 答 p=2×3=6. 说明:集合问题常常与方程问题相结合. 例 10 已知集合 S={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2}, 求 a 的值.
SA={a+3},

S 这个集合是集合 A 与集合

SA

的元素合在一起“补成”的,此外,对

这类字母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用. 解 由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满足

?a+3=3 ? 2 ?|a+1| =a +2a-3 (1) ? 2 ?a +2a-3≠2 ?a 2 +2a-3≠3 ? ?a+3=a 2 +2a-3 ? ?|a+1| =3 或(2) ? 2 ?a +2a-3≠2 ?a 2 +2a-3≠3 ?

① ② ③ ④ ① ② ③ ④

在(1)中,由①得 a=0 依次代入②③④检验,不合②,故舍去. 在(2)中,由①得 a=-3,a=2,分别代入②③④检验,a=-3 不合②, 故舍去,a=2 能满足②③④.故 a=2 符合题意. 说明:分类要做到不重不漏.

例11 (1993年北京高考题) 集合M={x|x= kπ π + ,k∈Z}则 4 2

kπ π + ,k∈Z},N={ 2 4

x|x=

[ A.M=N

]

?N B.M ≠ C.M ? ≠N
D.M 与 N 没有相同元素 分析 分别令 k=?,-1,0,1,2,3,?得

π π 3π 5π 7π , , , , ,?}, 4 4 4 4 4 π π 3π 5π N={?, , , ,π , ,?} 4 2 4 4 易见,M ? N. M={?,-


答 选 C. 说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性


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