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微积分教学大纲(2014版)


微积分
主要内容: ? 课程说明 ? 教学目的与要求 ? 课程内容概要 ? 教学方法 ? 评分标准 ? 教学大纲 ? 参考材料

课程说明:
《微积分》 课程是教育部在普通高等学校经济管理类专业中设置 的核心课程之一,它也是其他经济数学课程, 如《线性代数》 、 《概率 论与数理统计》等的基础。微积分在经济科学、管理科学中有着广泛 的应用, 更是现代经济科学研究与应用的重要工具。因此,学好《微 积分》课程不仅对学习后继课程是必不可少的,而且对掌握现代经济 管理理论并应用于实际也是很有必要的。

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教学目的与要求:
《微积分》是经济管理类专业的一门基础课程,是学习现代经济 科学的重要工具。通过教学,使学生掌握《微积分》基本理论,基本 知识和基本方法, 具有比较熟练的计算能力并为学好其他后继数学课 程以及各门经济类课程打下扎实的数学基础, 从而能正确地运用数学 工具解决经济类专业学习中的问题。

课程内容概要:
本课程以微积分学为核心内容,主要包括函数、极限与连续、导 数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、 多元函数微积分学、微分方程与差分方程等。 一元函数和多元函数是微积分研究的对象, 而极限理论则是最重 要的基础。导数、微分、不定积分、定积分、无穷级数这些基本概念 均是借助于极限建立起来的。微分方程则作为微积分的延伸和应用。

教学方法:
以课堂教学为主, 部分章节可根据学生的情况和实际需求采用各 类实践教学活动。

评分标准:
平时情况:出勤、作业、课堂讨论 期末考试: 占 30% 占 70%

教学大纲:
2

教学内容及时间进度安排: (详见附件) 本课程周学时 6(上学期)\4(下学期) ,总学时 136,学分 8.

第一章 函 数 一、内容提要 1.预备知识:实数及其几何表示,实数的绝对值,绝对值的基 本性质,绝对值不等式,区间与邻域的概念. 2.函数概念:常量与变量,函数的定义域与表示法. 3.函数的几种简单性质:单调性,有界性,奇偶性,周期性. 4.反函数:反函数的定义及其图形,反三角函数及其主值. 5.复合函数的概念 6.初等函数:基本初等函数的定义,定义域及其图形,初等函 数的定义. 7.分段函数:分段函数的概念及其图形特征. 8.建立函数关系举例:总成本函数,总收入函数,总利润函数, 需求函数,供给函数等. 二、要求与说明 1.理解实数、实数绝对值及邻域的概念.掌握简单绝对值不等 式的解法. 2.理解函数、函数的定义域和值域等概念,知道函数的表示法. 3.知道函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其图形 的特征.

3

4.了解反函数的概念,知道函数与反函数的几何关系,给定函 数会求其反函数. 5.理解复合函数的概念,掌握将一个复合函数分解为较简单函 数的方法. 6.熟练掌握基本初等函数的性质及图形. 7.理解初等函数的概念,了解分段函数的概念. 8.会建立简单应用问题的函数关系.

第二章 极 限 与 连 续 一、内容提要 1.数列极限的定义与几何意义,数列极限的唯一性及收敛数列 的有界性. 2. x ? x0 时函数 f ( x) 的极限, x ?? 时函数 f ( x) 的极限,函数极 限的几何解释,左、右极限. 3.无穷小量的定义与基本性质,无穷小量的比较,无穷大量的 定义,无穷小量与无穷大量的关系. 4.极限的四则运算. 5.极限的基本性质:唯一性、有界性、保号性、极限不等式等. 6.极限存在的准则:准则Ⅰ(夹逼准则),准则Ⅱ(单调有界数列 必有极限). 7.两个重要极限: lim x ?0
sin x 1 ? 1 , lim( 1 ? ) x ? e . x ?? x x

8.函数的连续性,左连续与右连续,函数连续的和、差、积、
4

商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性,分段 函数的连续性. 9.闭区间上连续函数的基本定理:有界性定理,最值定理,介 值定理,介值定理的推论(零点定理). 二、要求与说明 1.理解数列与函数极限的概念.(关于数列与函数极限的分析 定义不作过高的要求.) 2.理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量比较的方法, 了解无穷大量的概念,知道无穷小量与无穷大量之间的关系. 3.了解两个极限存在的准则,并能用于求一些简单极限的值. 4.熟练掌握两个重要极限及其应用. 5.理解函数连续性与间断的概念,掌握函数间断点的分类,掌 握讨论分段函数连续性的方法. 6.了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续 的结论. 7.了解闭区间上连续函数的基本定理(定理不证明,只作几何 说明).会用零点定理证明方程实根的存在性. 8.熟练掌握求极限的基本方法:利用极限运算法则、无穷小量 性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的值.

第三章

导 数 与 微 分

一、内容提要
5

1.变速直线运动的速度,平面曲线的切线的斜率,导数的定义 与几何意义,可导与连续的关系. 2.基本初等函数的导数公式. 3.导数的四则运算. 4.反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法. 5.高阶导数的概念与求法. 6.微分的定义与几何意义,可导与可微的关系,微分法则与微 分基本公式,一阶微分形式的不变性. 7.导数与微分的简单应用:近似计算,*误差估计. 二、要求与说明 1.理解导数的概念、导数的几何意义,了解可导与连续的关系. 2.熟练掌握基本初等函数的导数公式. 3.熟练掌握导数的四则运算公式. 4.了解反函数的导数公式(公式证明不作要求). 5.熟练掌握复合函数的求导公式. 6.熟练掌握取对数求导法和隐函数求导法. 7.了解高阶导数的概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函 数的 n 阶导数的方法. 8.理解微分的概念,了解可导与可微的关系,以及一阶微分形 式的不变性,熟练掌握求可微函数微分的方法,掌握微分在近似计算 中的简单应用.

6

第四章 中值定理与导数应用 一、内容提要 1.罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理. 2.罗必达法则与各种未定式的定值法. 3.函数单调性的判别法. 4.函数极值的定义,函数取极值的必要条件与充分条件,函数 最值的概念,求函数最值的方法,求函数最值的基本步骤. 5.曲线凹凸性与拐点的定义、判别法与求法,曲线的渐近线的 定义与求法. 6.函数作图的基本步骤与方法. 7.变化率及相对变化率在经济分析中的应用─边际分析及弹性 分析. 二、要求与说明 1.能叙述罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理,知道这些定理 之间的关系,会利用这些定理证明一些简单的证明题. 2.熟练掌握罗必达法则与各种未定式的定值方法.只证 型未 定式的罗必达法则,注意罗必达法则适用的条件. 3.熟练掌握函数单调性的判别方法及单调性的简单应用. 4.熟练掌握求函数极值与最值的方法,知道函数的极值与最值 的关系与区别,会求解某些简单的经济应用问题. 5.熟练掌握曲线凹凸性判别方法,熟练掌握求曲线凹向、拐点 及渐近线的方法.
7

0 0

6.掌握函数作图的方法与步骤,会作某些简单函数的图形. 7.理解边际、弹性的概念及其经济意义,会用需求弹性分析总 收益的变化.

第五章 不 定 积 分 一、内容提要 1.原函数概念,不定积分的几何意义,不定积分的性质. 2.基本积分表. 3.换元积分法(包括简单无理函数的积分). 4.分部积分法. 5.简单有理函数积分举例. 二、要求与说明 1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质. 2.熟练掌握基本积分表. 3.熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法. 4.会计算简单的有理函数和简单无理函数的不定积分.

第六章 定 积 分 一、内容提要 1. 曲边梯形的面积. 定积分的定义与意义. 定积分的基本性质. 积 分中值定理. 2.变上限积分及其求导方法,原函数存在定理,牛顿-莱布尼兹
8

公式. 3.定积分的换元法与分部积分法. 4.定积分的应用:平面图形的面积,两种几何体的体积,简单 的经济应用. 5.广义积分初步:无穷积分的概念,无穷积分收敛与发散的定 义,无穷积分的计算,瑕积分的概念,瑕积分收敛与发散的定义,瑕 积分的计算, ? 函数的定义、性质与递推公式. 二、要求与说明 1.理解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理. 2.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式,熟练掌握变限积分的导数的求 法. 3.熟练掌握计算定积分的换元法与分部积分法. 4. 掌握用定积分计算平面图形的面积和两种几何体体积的方法, 会用定积分求解一些简单的经济应用题. 5.了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算收敛广义积分的 方法,知道广义积分 ? 1
??

dx xp

,?0

1

dx xp

的敛散条件,知道 ? 函数的概念、

基本性质与递推公式. 三、考核知识 1.分段函数的积分. 2.变限积分的求导. 3.定积分计算的两大方法(换元积分法与分部积分法). 4.定积分的应用(求平面图形的面积及旋转体的体积).
9

5.判断广义积分的敛散性.

*第七章 无 穷 级 数 一、内容提要 1.无穷级数及其一般项与部分和的概念,无穷级数收敛与发散 的定义,收敛级数和的概念,几何级数与调和级数的敛散性,无穷级 数收敛的必要条件,收敛级数的基本性质. 2.正项级数的概念,正项级数收敛的必要条件,正项级数敛散 性的比较判别法、比值判别法, p 级数的敛散性. 3.交错级数的概念,交错级数敛散性的莱布尼兹判别法,任意 项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,绝对收敛与条件收敛的判别 法. 4.幂级数的概念,幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数的 概念,幂级数敛散性判别法,幂级数的收敛半径、收敛区间的求法, 幂级数的基本性质. 5.泰勒公式及其余项,泰勒级数与马克劳林级数,幂级数展开 定理,将函数展成幂级数的方法(直接展开法和间接展开法),简单 初等函数的幂级数展开. 二、要求与说明 1.理解无穷级数、部分和、收敛、发散以及和的概念. 2.掌握几何级数与 p 级数(包括调和级数)敛散性判别条件. 3.掌握级数收敛的必要条件,以及收敛级数的基本性质.
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4.掌握正项级数的比较判别法,掌握正项级数的比值判别法. 5.掌握交错级数的莱布尼兹判别法. 6.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,掌握绝对收敛 与条件收敛的判别方法. 7.了解幂级数的收敛区间与和函数的概念,会求幂级数的收敛 半径. 8.知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质. 9.了解泰勒级数的概念,会用 e x , sin x , cos x, 林展开式将一些简单函数展开成幂级数.
1 , ln(1 ? x) 的麦克劳 1? x

第八章 多元函数微积分学 一、内容提要 1.空间直角坐标系,空间两点间的距离,空间曲面与曲面方程, 平面上的区域,点的邻域,开区域、闭区域、有界区域与无界区域等 概念. 2.多元函数的定义,二元函数的定义域与几何意义,二元函数 的极限与连续性. 3.偏导数与全微分的定义与计算方法. 4.多元复合函数微分法与隐函数微分法. 5.高阶偏导数的定义与求法. 6.二元函数极值的定义,极值的必要条件与充分条件,条件极 值的概念与拉格朗日乘数法,多元函数最值的概念与求法.
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7.曲顶柱体的体积,二重积分的定义与基本性质,在直角坐标 系与极坐标系下计算二重积分. 二、要求与说明 1.了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离, 了解平面区域,区域的边界,点的邻域,开区域、闭区域、有界区域 与无界区域等概念. 2.了解多元函数的概念,掌握二元函数的定义与表示法. 3.知道二元函数的极限与连续性的概念. 4.理解二元函数偏导数与全微分的概念,熟练掌握求偏导数与 全微分的方法,熟练掌握求多元复合函数偏导数的方法. 5.熟练掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法. 6.了解二元函数的极值与条件极值的概念,掌握用二元函数极 值存在的必要条件和充分条件求二元函数极值的方法, 掌握用拉格朗 日乘数法求简单二元函数条件极值问题的方法. 7.理解二重积分的概念、几何意义与基本性质,熟练掌握在直 角坐标系与极坐标系下计算二重积分的方法并计算一些简单的二重 积分. 三、考核知识 1.求二元函数的一阶偏导及二阶偏导. 2.二元函数的全微分. 3.求二元具体复合函数及抽象复合函数的微分(一阶及二阶). 4.求二元隐函数的一阶微分.
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5.求二元函数的极值,最值及拉格朗日乘数法(应用题).

第九章 微 分 方 程 一、内容提要 1.微分方程的定义,微分方程的阶、解、通解、特解、初始条 件等基本概念. 2.可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程. 3.二阶常系数线性齐次微分方程的概念及解法. *几类特殊的高阶微分方程的解法. 4.微分方程在经济中的简单应用. 二、要求与说明 1.了解微分方程的阶、通解与特解等概念. 2.掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解 法. 3.会解二阶常系数线性齐次微分方程, *会解几类特殊的高阶微 分方程. 4.会求解一些简单的经济应用问题. 三、考核知识 1.直角坐标系下二重积分的计算. 2.极坐标下二重积分的计算.

*第十章 差 分 方 程
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一、内容提要 1.差分与方程的概念,差分方程的阶与解(通解与特解). 2.一阶齐次差分方程的通解,一阶非齐次差分方程的特解与通 解. 3.二阶齐次差分方程的通解,二阶非齐次差分方程的特解与通 解. 4.差分方程在经济学中的简单应用. 二、要求与说明 1.了解差分、差分方程,差分方程的阶与解(通解与特解)等 概念. 2.会求一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解. 3.会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特 解与通解. 会求二阶齐次差分方程的通解、二阶非齐次差分方程的特解与通解. 4.会求解一些简单经济应用问题. 参考材料 ? 教学教材 赵树媛著. 微积分 (第三版) . 北京: 中国人民大学出版社, 2007. ? 参考书 朱来义著. 微积分(第三版). 北京:高等教育出版社,2011.

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附件 1:

教学进度表(上学期)
课程总学时数:136 上学期总学时数:72 周学时数:6

周次

日期











实践 教学





绪论 §1.1 集合 § 1.2 实数集 § 1.3 函数关系 § 1.4 函数表示法 §1.5 建 7 一 立函数关系的例题 §1.6 函数的几 种简单性质 §1.7 反函数, 复合函数 §1.8 初等函数 §2.1 数列的极限 § 2.2 函数的极限 8 §2.3 变量的极限 § 2.4 无穷大量与 无穷小量 §2.5 极限的运算法则 9 二 §2.6 两个重要的极限 §2.7 函数的连续性 第二章复习小结、习题课 §3.1 引出导数概念的例题 § 3.2 导 10 数概念 § 3.3 导数的基本公式与运 算法则 11 12 §3.4 高阶导数 § 3.5 微分 第三章 复习小结、习题课 §4.1 中值定理 §4.2 罗必达法则 三 §4.3 函数的增减性 §4.4 函数的极值 13 §4.5 最大值与最小值,极值的 应用问题 §4.6 曲线的凹向与拐点 §4.7 函数图形的作法 14 §4.8 导数在经济中的应用 第四章复习小结、习题课 §5.1 不定积分的概念 15 四 §5.2 不定积分的性质 §5.3 基本积分公式 §5.4 第一类换元法 §5.4 第二类换元法 16 §5.5 分部积分法 第五章 复习小结 17 18 习题课 2 2 2 2 2 1. 原则上应按进度表的 安排授课,若实际进度超 过了 规定 的进 度 可安 排 习题课或课堂练习。 2. ( A )组的习题应要 求学生全做,由教师自己 指定 部分 习题 交 给老 师 批改。 3. 绪论课主要的目的是 对新 生进 行一 次 大学 数 学的课程教育,其讲授的 内容 及详 略可 由 各位 教 师自定。 4. 第一章 中 § 1.1 、 § 1.8 略讲, § 1.3( 一) § 1.9 不讲, 可让学生自学。 5.用“ε- N”、 “ε-δ”语言定 义极限不能省略,不要求 学生会做有关的习题,但 要领会,以便理解有关的 定理的证明。 2

期末复习总结 期末考试

15

教学进度表(下学期)
课程总学时数:136 下学期总学时数:64 周学时数:4

周次

日期



教学内容 §6.1 引出定积分概念的例题

实践 教学

备注

1



§6.2 定积分的定义 §6.3 定积分的基本性质 §6.4 微积分基本定理 §6.5 定积分的换元积分法 §6.6 定积分的分部积分法

2 3 4 六

§6.7 定积分的应用 §6.8 广义积分与Г 函数 第六章 复习小结 习题课 §8.1 空间解析几何简介 §8.2 多元函数的概念 §8.3 二元函数的极限与连续 2

5 七

6 7 8 9 10

§8.4 偏导数与全微分 §8.5 复合函数的微分法 与隐函数的微分法 §8.6 二元函数的极值 2 1. 第一学期进度中的说 明也适用于本学期。 2. § 8.8(三 ) 最小二乘法 可让学生自学。



“五一”假期 §8.7 二重积分 (一) 二重积分的基本概念 (二) 二重积分的计算

11

(1)在直角坐标系下二重积分的计算 (2) 在极坐标系下二重积分的计算 第八章 复习小结 习题课 2

12 13 14

§9.1 微分方程的一般概念 §9.2 一阶微分方程 九 §9.3 几种二阶微分方程 第九章 复习小结 习题课 2 2

15 16 17 18

期末复习总结 期末考试

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