2013届河南漯河市高三第一次调研考试数学(文)试题

2012―2013 学年度高三第一次调研考试

数学（文科）参考答案
一 选择题 二 填空题 1----5 13 ADCDA 6------10 BDABA 14 16 11-----12 AC

［ 3 ，﹢∞﹚
15

a≦2

或 a≧2
（

﹣2

1 ，1） 2

2012

17．因为 f (x) 是奇函数…………2 分 又 f ?( x) ? ?5 ? cos x ? 0, 所以f ( x)在(?1,1)上是减函数 ……………4 分 .

所以f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ? f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1) ………………..8 分
? ?1 ? 1? a ? 1 ? ? ?? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? 2 ………………………………………12 分 ? 1? a ? a2 ?1 ?
18. 解：(1) f ( x) ? m ? n ? ∴T ?

?? ?

2? ? ? . …………………3 分 2
?
2
得:

3 1 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

由 0≤ x≤ ∴?

?
6

≤ 2x ?

?
6

≤

7? 6

1 ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 2 6

∴ f ( x)max ? 1 ………………..6 分

(2) ∵ f ( A ? ∵ 为锐角 A

?
6

)?

3 5

∴cos 2 A ?
5 5

3 1 ? cos 2 A 1 ? sin 2 A ? ? 5 2 5
又 f(
B ? 10 10 ? )? ? sin B ? 2 12 10 10

∴sin A ?

由正弦定理知

a sin A ? ? 2 ? a ? 2b b sin B

又 a ? b ? 2 ? 1 ? a ? 2 ， b ? 1 ................12 分 19. 解： ）由题意可知，函数的定义域为 (0, ??) ， （Ⅰ 当 a ? ?2 时， f ?( x ) ? 2x ?

2 2(x ? 1)( ? 1) x ? ，故函数 f ( x ) 的单调递减区间为 x x

(0,1) …………4 分
（Ⅱ）由题意可得 g ?( x ) ? 2 x ?

a 2 ? ，函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上是单调函数. x x2 ① 若 g ( x) 为 ?1, ?? ? 上 是 单 调 增 函 数 ， 则 g ?( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上 恒 成 立 ， 即 2 2 ? 2 x 2 在 ?1, ?? ? 上 恒 成 立 ， 又 ? ( x ) ? ? 2 2 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 ， x x x ?[? (x )m a x ? ? (1) ，故 a ? 0 ……………10 分 ] ? 0 a?

②若 g ( x) 为 ?1, ?? ? 上是单调减函数，则 g ?( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立，不可能 综上可知： a 的取值范围为［0,＋∞］. 20. （本小题满分 12 分） （1） ……………12 分

解：f（an）=n=log2an ，∴ an ? 2n ，数列 ?an ? 是等比数列.

an ? 2n .假设数列 ?bn ? 是等比数列， bn ? 2n ? 3n , 则 b22 ? b1b3 ,

∴数列 ?bn ? 不是等比数列. ………………6 分 （2） cn ?

b22 ? 132 , b1b3 ? 5 ? 35, ∴ b22 ? b1b3 , 与假设矛盾，所以假设不成立。

2n ? 1 , Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn an 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ∴ S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? ………① 2 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ………② ，①-②得 ∴ S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1? 1 n ?1 ? ?1 ? ( 2 ) ? 2n ? 1 1 1 2 1 2n ? 1 3 2n ? 3 ?? ? ? ? ? ? 1 ? ( ) n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 2n ? 3 ∴ Sn ? 3 ? . ……12 分 2n 2 2 21 【 解 析 】 1 ） 当 a ? 2 时 ， f ( x) ? ? x ln x ， f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ， f (1) ? 2 ， （ x x
f '(1) ? ?1 ，
所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ；…………4 分 （2）存在 x1 , x2 ?[0, 2] ，使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立等价于 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ，
2 考察 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 ， g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ，

2 3

x
g '( x )

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0[
?3

?
递减

0
极（最）小值 ?

?
85 27
递增

g ( x)

1

由上表可知： g ( x) min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 ， 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?

112 ， 27

所以满足条件的最大整数 M ? 4 ；……………………8 分 （3）当 x ? [ , 2] 时， f ( x) ?

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立， x
h '(1) ? 0 。

记 h( x) ? x ? x2 ln x ， h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ，

记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ， m '( x) ? ?3 ? 2ln x ，由于 x ? [ , 2] ，

1 2

m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 ,

所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减，

1 2

当 x ? [ ,1) 时， h '( x) ? 0 ， x ? (1, 2] 时， h '( x) ? 0 ， 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增，在区间 (1, 2] 上递减， 所以 h( x)max ? h(1) ? 1，所以 a ? 1 。…………………………12 分 22． （1）证明：连接 OP, OA, OM ,由 AP 是圆 O 的切线，则 OP ? AP
O 又由 M 为弦 BC 的中点，则 OM ? BC ，所以 ?APO ? ?OMA ? 90

1 2

1 2

所以 A, P, O, M 为以 AO 中点为圆心， AO 为直径的圆上。 （2）解：由（1）得 ?APM ? ?AOM （同弧所对的圆周角相等） ， 所以 ?OAM ? ?APM ? ?OAM ? ?AOM ? 180 ? ?OMA ? 90
0 0

．．．5 分 ．．

所以 ?OAM ? ?APM ? 90

0

．．． ．．．10 分

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 （ t 为参数） 23． （1）解：直线 l 的参数方程为： ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
（2） ? 2 ? 4? cos? 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x 6分

．．． 分 ．．．4

? 3 ? ?x ? 1 ? 2 t 将直线 l 的参数方程： ? （ t 为参数） ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
代入曲线方程得 (1 ?

3 2 1 3 t ) ? (1 ? t ) 2 ? 4(1 ? t ) 整理得 2 2 2
．．． 分 ．．．8

t 2 ? (1 ? 3)t ? 2 ? 0

所以 PA ? PB ? t1 ? t 2 ? 2 24． ?

．．． ．．．10 分

x ? ?1 ? 1 得 ?1 ? x ? ? 4 ?5 ? x ? 7( x ? 1) x ? ?1 ? 得 ? 2 ? x ? ?1 ?5 ? x ? ?7( x ? 1)
．．． 分 ．．．3

或?

综上不等式的的解集为 x ? 2 ? x ? ?

?

1 4

? ，又由已知与不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 同解，

9 ? a ? ?? ? b 4 ?a ? ?4 ? 所以 ? 2 1 解得 ? ? ? ?b ? ?9 ? a 2 ? a?0 ?

．．． 分 ．．．7

则 x ? a ? x ?b ? x ? a ? x ?b ? b ? a ? 5， 所以当 x ? a ? x ? b ? k 的解为空集时，

k ?5

．．． ．．．10 分