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第1讲集合与常用逻辑用语(学生)


专题 1
第1讲 一.瞄准高考

函数与导数、 函数与导数、不等式
集合与常用逻辑用语

1.集合的基本概念 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)子集、真子集、空集、集合相等的概念. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. 3.四种命题及其关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系; 一个命题的逆命题与它的否命题同真同假. 4.充要条件 用集合的关系理解充分、必要条件:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B. 5.简单的逻辑联结词 逻辑联结词有“且”,“或”,“非”等.用逻辑联结词“且”,“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q” ,“p∨q”; 对一个命题 p 全盘否定,就得到一个 新命题,记作“┐p”. 6.全称量词与存在量词 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x), 它的否定┐p:?x0∈M,┐p(x0). (2)存在性命题 p:?x0∈M,p(x0), 它的否定┐p:?x∈M,┐p(x).

二.解析高考
题型一 集合的运算
例 1 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,分别求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

题型二 命题与逻辑联结词
例 2 给出下列命题: ①命题:?x∈R,x 2-3x≤0 的否定是:?x∈R,x 2-3x>0; ②命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否定是“若一个数不是负数,则它的 平方不是正数”; ③若 ac2<bc 2,则 a<b 的逆命题是真命题; ④若命题 p∧q 与┐p∨q 均为假命题,则命题 p 真,命题 q 假; ⑤命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是“若 f(x)不是奇函数,则 f(-x) 不是奇函数”. 请判断以上命题的真假.

题型三 充分必要条件
例 3 已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且┐p 是┐q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围.

? 2 ?x -4x+3<0, 变式】 且┐p 是┐q 的充分条件,求实 【变式】已知命题 p:2x -9x+a<0,命题 q:? 2 ? ?x -6x+8<0,
2

数 a 的取值范围.

量词、 题型四 量词、含有量词的命题的否定
例 4 命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 . 变式】 【变式】 (2010·辽宁)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则 下列选项的命题中①?x∈R,f(x)≤f(x0);②?x∈R,f(x)≥f(x0);③?x∈R,f(x)≤f(x0);④?x∈R, . f(x)≥f(x0).其中为假命题的是

三.感悟高考
1.解答集合有关问题时,正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键,其次要注意 元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,对于复杂问题,要借助数轴和韦恩图加以 解决,尤其注意转化和化归、数形结合等数学思想的运用. 2.充分、必要、充要、既非充分也非必要条件的判断必须坚持“双向”的原则,也可 转化为等价命题来判断. 3.解决有关逻辑题时,细微之处要谨慎,稍有不慎就会出错,要树立简化意识、逆否 命题意识、特例反驳意识.

四.备战高考
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 若 集 合 M= {(x,y)|x+ y= 0,x∈R,y∈R)},N= {(x,y)|x 2 + y 2 = 1,x∈R,y∈R}, 则 M∩N = . 集合 A={0,2,a2 },B={1,a},若 A∩B={1},则 a 的值为 . 1 条件. “m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0”有实数解的 4 已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,x2+2ax+2-a=0”.若命题“┐p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围为 . x-2 已知集合 S={x| <0},T={x|x2-(2a+1)x+a2+a≥0}(a∈R),若 S∪T=R,则实数 a 的取 x 值范围是 . 已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A={-1,0,1},B={-2,-1,0},则 A∩(?UB)=______. 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(?UA)∩B=?,则 m 的值 是________________. 设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根,则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是_________________________. 已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等 式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

10. 已知函数 y=lg(-x 2+x+2)的定义域为 A,指数函数 y=ax (a>0 且 a≠1)(x∈A)的值域 为 B. (1)若 a=2,求 A∪B; 1 (2)若 A∩B={ ,2},求 a 的值 2


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