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竞赛讲座 13平面三角


13 平面三角
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一. 一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、 最值等.这 里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广 泛的应用.

【例 1】

求函数 y=2sin(

-2x)的单调增区间。

解:y=2sin(

-2x)= 2sin(2x+

)。

由 2kπ -

≤2x+

≤2kπ +

,k∈Z,

得 kπ -

≤x≤kπ -

,k∈Z。

即原函数的单调增区间为:[kπ -

,kπ -

](k∈Z)。

【例 2】 的大小。

若 φ ∈(0,

),比较 sin(cosφ ),cos(sinφ ),cosφ 这三者之间

解:∵在(0,

)中,sinx<x<tgx,而 0<cosx<1<

,∴sin(cosφ )< cosφ 。

∵在(0,

)中,y=cosx 单调递减,∴cosφ < cos(sinφ )。

∴sin(cosφ )< cosφ < cos(sinφ )。

【例 3】 的值。

已知 x,y∈[-



],a∈R,且

。求 cos(x+2y)

解:原方程组化为



∵x,-2y∈[-

, ],函数 f(t)=t +sint 在[-

3

, ]上单调递增,且 f(x)=f(-2y)

∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。

【例 4】 求证: 在区间 (0, ) 内存在唯一的两个数 c、 d(c<d), 使得 sin (cosc) = c, cos(sind)= d.

证明:考虑函数 f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0,

]内是单调递减的,并且

连续,由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f(

)=cos(sin

)-

= cos 1



<0,

∴存在唯一的 d∈(0,

),使 f(d)=0,即 cos(sind)= d.

对上式两边取正弦,并令 c=sind,有 sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。

显然 c∈(0, 一。

)。且由 y=sinx 在(0,

)上的单调性和 d 的唯一性,知 c 也唯

故存在唯一的 c<d,使命题成立。

【例 5】 、 、 ∈ α β γ (0, ) 且 ctgα =α , , sin(ctgβ )=β , ctg(sinγ )=γ 。 比较 α 、β 、γ 的大小。

解:∵α 、β 、γ ∈(0,

),∴ctgβ >0,0< sinγ <γ <



∴β =sin(ctgβ )< ctgβ ,γ =ctg(sinγ )> ctgγ 。

作出函数 y=ctgx 在(0,

)上的图象,可看出:β <α <γ 。

【例 6】

n∈N,n≥2,求证:cos

·cos · ··· ·cos

>



证明:∵0<

<

<···< <

<1,

∴0<sin

<

,cos

2

=1-sin

2

>1-

=

,k=2,3,…,n。

∴(cos

·cos · ··· ·cos

) >(

2

·

)·(

·

)·(

·

)···(

·

)

=

·

>

>(

),

2

∴cos

·cos · ··· ·cos

>



二、三角恒等变换

众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练 地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征, 从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。

【例 1】(1)已知 cosβ = 的值。

,sin(α +β )=

,且 0<α <

<β <π ,求 sinα

(2)已知 sin(

-α )=

,求

的值。

提示:(1)sinα = 。

(2)sin2α =1-2 sin (

2

-α )=



=



【说明】三角变换重在角的变换。

【例 2】求 cos

cos

cos

…cos

的值。

解法 1:利用公式 cosθ cos2θ cos4θ ···cos2 θ =

n

,得

cos

cos

cos

cos

= -

,∴cos

cos

cos

cos

=



又 cos

cos

=

,cos

=



∴cos

cos

cos

…cos

=

×

×

=



解法 2:cos

cos

cos

…cos

=

·

·

· ··· ·

=

=



解法 3:利用公式 cosα cos(
4 4

+α )cos(
4

-α )=

cos3α ,取 α =





【例 3】求 cos 20°+cos 40°+cos 80°的值。 解:由倍角公式得

cos θ =(

4

)=

2

(1+2cos2θ +cos 2θ )=

2

+

cos2θ + cos4θ ,

∴cos 20°+cos 40°+cos 80°=

4

4

4

×3+

(cos40°+ cos80°+ cos160°)

+ (cos80°+ cos160°+ cos320°)=

+ (cos40°+ cos80°+ cos160°)

=

+ (2cos60° cos20°- cos20°)=



【例 4】若 sinα +cosβ = ,cosα +sinβ =

,求 sinα cosβ 的值。

解:令 θ =

-β ,则

(1)÷(2)得 tg

=

, cos(α +θ )= ,

∴sinα cosβ =sinα sinθ = -

[ cos(α +θ )+ cos(α -θ )] = -



【例 5】已知 f(x)=

sin(x+θ )+cos(x-θ )是偶函数,0<θ <π ,求 θ 。

解法一:由偶函数的定义,可得(

cosθ +sinθ )sinx=0 对任意 x∈R 成立。



cosθ +sinθ =0,2 sin(θ +

)=0,

∴θ +=kπ ,而 0<θ <π ,∴θ =



解法二:由 f(-

)=f(

),得 θ =

,然后验证 f(x)是偶函数。

【例 7】方程 sinx+

cosx+a=0 在(0,2π )内有相异两根 α 、β ,求实数 a 的取

值范围,以及 α +β 的值。

解:∵sinx+

cosx+a=0,∴sin (x+

)= -



令 t= x+

,则 t∈(



),sint= -



作出函数 y= sint,t∈(

,

)的图象:

由图象可以看出:当-1< -

<1 且-



即-2<a<-

或-

<a<2 时,sint= -

有相异两根 t1、t2,原方程有相异两根 α 、β ,并且

当-2<a<-

时,t1+t2=(α +

)+(β +

)=π ,α +β =



当-

<a<2 时,t1+t2=(α +

)+(β +

)=3π ,α +β =



【例 8】 已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0, s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz 的值。 求

解:由已知得,

(1) +(2) 得 cos(x-y)= -

2

2



同理,cos(y-z)= -

,cos(z-x)= -



∴x,y,z 中任意两角的终边夹角为

,不妨设

x=y+

+2mπ ,m∈Z,y=z+

+2nπ ,n∈Z,

∴x= z+

+2(m+n)π ,

x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π , ∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

= tg3z+tg(z+

)tg(z+

)tgz

= tg3z+tg(z+

)tg(z-

)tgz

= tg3z+ tgz tg( =0。

+z)tg(

-z)

【说明】如能熟练运用下列公式,可对解题带来很大方便:

sinα sin(

+α )sin(

-α )=

sin3α ,

cosα cos(

+α )cos(

-α )=

cos3α ,

tgα tg(

+α )tg(

-α )=tg3α 。

如 sin10°sin50°sin70°=

sin(3×10°)=




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