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双曲线的标准方程ppt


一、复习引入 1:椭圆的定义是什么?

平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常 数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么?

定义

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

图象

F1


··
oF2 x
2 y + 2 =1 b

y

y F2 F1

· ·
o

x

方程 焦点

x2 a2

y2 x2 + 2 =1 2 a b

F1 ( -c,0) ,F2 (c,0) F1(0,- c),F2(0,c) 在x轴上 在y轴上 2=b2+c2 a a.b.c的 关系 (a>b>0,a>c>0,b与c大小 不确定)

数学实验:
[1]取一条拉链; [2]如图把它固定在板上的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的轨迹是什么?

①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a

②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得:
| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线。

二、双曲线的定义 平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a (小于 F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。
F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距(设为2c)

设常数||MF1| - |MF2|| = 2a
注意:对于双曲线定义须抓住三点: 1、平面内的动点到两定点的 距离之差的绝对值是一个常数; 2、这个常数要小于|F1F2|; F 3、这个常数为非零常数。
1

M
F2

椭圆:平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等
这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆 的焦距。 双曲线:平面内与两定点 F 1、F2的距离的差的 绝对值等于常数2a( 2a小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹 叫做双曲线。 这两定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫 双曲线的焦距。

于常数2a( 2a大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。

共性: 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题; 2、两者的定点都是焦点; 3、两者定点间的距离都是焦距。 区别:

椭圆是距离之和;
双曲线是距离之差的绝对值。

思考:
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a(小于|F1F2| )的轨迹是什么?
双曲线的一支

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(等于|F1F2| )的轨迹是什么?
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(大于|F1F2| )的轨迹是什么?
不存在
依据:三角形两边之差小于第三边

结论:
M点轨迹是双曲线 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时, (1)当|MF1|-|MF2|= 2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F2 的一支; (2)当|MF2| - |MF1|= 2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F1 的一支. M点轨迹是在直 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时, 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

三、双曲线的标准方程
如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点 F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合.
?

y
M
?

设M(x,y)是双曲线上任意一点, |F1 F2| =2c,F1(-c,0),F2(c,0),又 设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a. 由定义知

F1

?

O

F2

x

MF1 ? MF2 ? 2a

? MF1 ?

?x ? c ?2 ? y 2 , MF2
2

?

?x ? c ?2 ? y 2 ,

?

?x ? c ?

?y ?
2

?x ? c ?

2

? y 2 ? ?2a.

化简得: (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ).
由双曲线定义知 2c ? 2a,即c ? a,

y
M
?

因此c ? a ? 0 令c ? a ? b (b ? 0),得
2 2

2

2

2

?

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

F

? 1

O

F2

x

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b
双曲线的标准方程. 说明: 1.焦点在x轴; 2.焦点F1(-c,0),F2(c,0);

2

2

3.a,b无大小关系;

4.c2=a2+b2 , c最大.

y
焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:
? 1

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b
焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:

2

2

F

O
?

x
?

M

F2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a, ? 0 ? 2a ? F1F2

?

方程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

焦点 a.b.c 的关系

F ? ?c,0?
c ? a ?b
2 2 2

F ? 0, ?c ?
谁正谁对应 a

椭圆的标准方程:

双曲线的标准方程:

x y ? 2 ?1 2 a b
y x ? 2 ?1 2 a b
2 2

2

2

?a ? b ? 0?
?a ? b ? 0?

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b

2

2

相同点:
1.焦点坐标相同, 焦距相等; 2.焦a, b, c大小满足勾股定理.

不同点:
1.椭圆中a最大a2 ? b2 ? c2 , 在双曲线中c最大, c2 ? a2 ? b2;
2.椭圆方程中"? ", 双曲线中"? "; 3.判断焦点位置方法不同。

练习1.根据方程,写出焦点坐标及a, b的值:
x2 y 2 (1) ? ? 1和x 2 ? 15y 2 ? 15 25 9

焦点(?4,0), a ? 5, b ? 3

焦点(?4,0), a ? 15 , b ? 1

x2 y 2 y 2 x2 (2) ? ? 1和 ? ?1 4 3 3 4

焦点(?1,0), a ? 2, b ? 3

焦点(0,? 7 ), a ? 3, b ? 2

例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一 点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线的标准 方程.

练习2.写出符合下列条件的双曲线的标准方程: 2 2 x y () 1 a ? 3, b ? 4, 焦点在x轴上 ? ?1 9 16 (2)c ? 5, b ? 3, 焦点在x轴上 (3)焦点为? 0,-6 ?、 ? 0,6 ? , a ? 3 (4) 焦点F ( 0) , F2 (5,0), 双曲 1 ? 5,

x2 y 2 ? ?1 16 9 y x ? ?1 9 27
2 2

例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a ? 3, b ? 4, 焦点在x轴上; (2)a ? 2 5, 经过点A(2, ?5), 焦点在y轴上;
练习3、已知双曲线的焦点在y 轴上,并且双曲线上两点P1 ,P2
9 ? ,求双曲线的标准方程. 的坐标分别为 ?3,?4 2 ?, ? ? ,5 ? ?4 ?

x2 y2 练习4.方程 ? ? 1表示双曲线,求m的范围. 2 ? m m ?1

(m ? 2)(m ? 1) ? 0 ? m ? ?2或m ? ?1

例3
点P(x,y)满足下列方程,分别表示什么图形?

1)

( x ? 4) ? y ? ( x ? 4) ? y ? 6
2 2 2 2

2) ( x ? 5) ? y ? ( x ? 5) ? y
2 2 2

2

?6

3)
4)

x2 ? ( y ? 4)2 ? x2 ? ( y ? 4)2 ? 8
( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 10

1、定义:

平面内与两定点F1, F2的距离的差的绝对 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线。
2、双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上

例4、已知A,B两地相距800m,在A地听 到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为

340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。

x 2 y2 ? 2 ? 1, 2 a b (a ? 0, b ? 0)
(2)焦点在 y 轴上

y2 x 2 ? 2 ? 1, 2 a b (a ? 0, b ? 0)

思考:如果A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

c2 ? a2 ? b2

1、定义: 平面内与两定点F1, F2的距离的差的绝对 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线。 2、双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上

例 5:
椭圆
x2 y2 ? ?1 25 9

与双曲线 x 2 ? 15y 2 ? 15

x 2 y2 ? 2 ? 1, 2 a b (a ? 0, b ? 0)
(2)焦点在 y 轴上

的一个交点为P,F1是椭圆 的左焦点,求 PF1 。

y2 x 2 ? 2 ? 1, 2 a b (a ? 0, b ? 0)

c2 ? a2 ? b2

练习5 1. 方程mx2-my2=n中mn<0,则其表示焦点在 y 轴上的 双曲线 . 2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线,则k? (-1, 1)
2

.

2 y x ? ? 1 的焦点坐标是 (0, ? 4 ? k ) . 3. 双曲线 k 4

5. 双曲线 2 x 2 ? y 2 ? k 的焦距是6,则k= ?6 .
2 y x ? 6. 若方程 | k | ?2 5 ? k ? 1 表示双曲线,求实数k的 2

取值范围. -2<k<2或k>5

()推导双曲线的标准方程 1 小结:

(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程

(3)类比法
y2 x2 ? 2 ?1 2 a b _____. __________ ?焦点在y轴上的双曲线的方程是

?椭圆的焦点由__________ x2与y2的系数的大小 _______________ 决定, ? x2与y2的系数的正负 __________ ____________ 决定. ?双曲线的焦点则由 2=a2+b2 . ?在双曲线的标准方程中 a、b、c的关系是c _______ ? 2 2 方程 Ax ? By ? 1表示双曲线的充要条件 是 _____ AB<0 . ?

悲伤双曲线
如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,慢慢长路无交点 为何看不见,等式成立要条件 难到正如书上说的,无限接近不能达到 为何看不见,明月也有阴晴圆缺,此事古难全, 但愿千里共婵娟.


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