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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第八讲 复数


全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组 第八讲 复数
知识、方法、技能 I.复数的四种表示形式 代数形式: z ? a ? bi ( a , b ? R) 几何形式:复平面上的点 Z( a , b )或由原点出发的向量 OZ . 三角形式: z ? r (cos ? ? i sin ? ), r ? 0 , 0 ?

R. 指数形式: z ? re
i?

.

复数的以上几种形式,沟通了代数、三角、几何等学科间的联系,使人们应用复数解决 相关问题成为现实. II.复数的运算法则 加、减法: ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; 乘法: ( a ? bi )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( bc ? ad ) i ;
r1 (cos ? 1 ? i sin ? 1 ) ? r2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) ? r1 r2 [cos( ? 1 ? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 )];

除法:

a ? bi c ? bi

?

ac ? bd c
2

?d

2

?

bc ? ad c
2

?d

2

i ( c ? di ? 0 ).

r1 (cos ? 1 ? i sin ? 1 ) r 2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 )
n

?

r1 r2
n

[cos( ? 1 ? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 )].

乘方: [ r (cos ? ? i sin ? )] ? r (cos n ? ? i sin n ? )( n ? N) ; 开方:复数 r (cos ? ? i sin ? )的 n 次方根是 n III.复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ① | z |? | Re( z ) |, | z |? Im( z ) |; ② | z 1 ? z 2 ? z n |? | z 1 | ? | z 2 | ? | z n |;
1
r (cos

? ? 2 k?
n

? i sin

? ? 2 k?
n

)( k ? 0 ,1, ? , n ? 1).

③|

z1 z2

|?

| z1 | | z2 |

( z 2 ? 0 );

④ || z 1 | ? | z 2 || ? | z 1 ? z 2 |, 与复数 z 1 、 z 2 对应的向量 OZ 1 、 OZ

2

反向时取等号;

⑤ | z 1 ? z 2 ? ? ? z n |? | z 1 | ? | z 2 | ? ? ? | z n | ,与复数 z 1 , z 2 , ? , z n 对应的向量
OZ 1 , OZ 2 ? , OZ

n

同时取等号.

共轭复数的性质 ① z ? z ?| z | ?| z | ;
2 2

② z ? z ? 2 Re( z ), z ? z ? 2 Im( z ) ; ③z ? z ④ z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ⑤ z1 ? z 2 ? z1 ? z1 ; ⑥(
z1 z2 ) ? z1 z2 ( z 2 ? 0 );

⑦z 是实数的充要条件是 z ? z , z 是纯虚的充要条件是 z ? ? z ( z ? 0 ). Ⅳ.复数解题的常用方法与思想 (1)两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等,或者它们的模与辐角主 值相等(辐角相差 2 ? 的整数倍). 利用复数相等的充要条件,可以把复数问题转化为实数 问题,从而获得解决问题的一种途径. (2)复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质,是模运算中 的一个突出方面. 赛 题 精 讲 例 1:设 m、n 为非零实数,i 为虚单位, z ? C,则方程 | z ? ni | ? | z ? mi |? n ①与
| z ? ni | ? | z ? mi |? ? m

② )

如图 I—1—8—1,在同一复平面内的图形(F1、F2 是焦点)是(

2

图 I—1—8—1 【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义;也可根据 m、n 的取值讨论进行求解. 【略解】由复平面内点的轨迹的定义,得 方程①在复平面上表示以点 ? ni , mi 为焦点的椭圆, n ? 0 , 故 ? n ? 0 .这表明,至少有 一焦点在下半虚轴上,可见(A)不真. 又由方程①,椭圆的长轴之长为 n, ∴|F1F2|<n,而图(C)中有|OF1|=n,可见(C)不真. 又因椭圆与双曲线共焦点,必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长,即 | n |? | m | . 故在图(B)与(D)中,均有 F1 : -ni,F2 : mi,且 m ? 0 . 由方程②,双曲线上的点 应满足,到 F2 点的距离小于该点到 F1 点的距离. 答案: (B) 【别解】仿上得 n>0. (1)若 n ? 0 , m ? 0 . 这时,在坐标平面上,F1(0,-n) 2(0,m) ,F ,只可能为图象 (C) ,但与|F1F2|<长轴 n,而|OF1|=n 矛盾. (2)若 n ? 0 , m ? 0 .这时 , F1 ( 0 , ? n ), F 2 ( 0 , m ) 均在 y 轴的下半轴下,故只能为图象(B) 与(D). 又因椭圆与双曲线共焦点,必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长,即|n|>|m|. 故在(B) 与(D)中,均有 F1 : -ni;F2 : mi,且 m<0. 由方程②,双曲线上的点应满足到 F2 点的距离 小于该点到 F1 点的距离. 答案: (B) 【评述】 (1)本题涉及的知识点:复数的几何意义,复平面上的曲线与方程,椭圆,双曲线, 共焦点的椭圆与双曲线,讨论法. (2)本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法:解法中前者为定义法;后者为分类讨 论法. 5? ? 2 2 , arg( z ? 4 ) ? , 则 z 的值是 例 2:若 z ? C , arg( z ? 4 ) ? .
6 3

【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数 z 的模,继而求出复数;也可由几何意义入手 来求复数 z. 5? 5? 2 ? i sin ), 【略解】令 z ? 4 ? ? 1 (cos ①
6 6 z
2

? 4 ? ? 2 (cos

?
3

? i sin

?
3

),
3



( ? 1 ? 0, ? 2 ? 0)
1 2 3 2 3 2 1 2

①—②得 8 ? (

?2 ?

? 1 ) ? i(

?2 ?

? 1 ),

? 3 1 ? 2 ? ? 1 ? 0, ? ? 2 2 ?? 3 ?1 ?2 ? ? 1 ? 8, ? 2 ?2

解得 ? 2 ? 4 , ? 1 ? 4 3 , 代入后,

①+②得 2 z ? 4 ( ? 1 ?
2

3 i ),

? z ? ? 2 (cos

?
3

? i sin

?
3

) ? ? (1 ?
2

3 i ).

【别解】如图 I—1—8—2, OD ? z . 过 D 作与实轴平行的直线 AB,取 AD=BD=4,
则 OA ? z ? xOA ?
2

? 4,

OB ? z

2

? 4.

5? 6

, ? xOB ?

?
3

.

从而 ? BOA ?

?
2

.

在 Rt ? AOB 中 , | AD | ? | DB | ? | OD | ? 4 , ? xOD ? ? xOB ? ? BOD ? 2 ? xOB ? ? z
2

2? 3

,

? 4 (cos

2? 3

? i sin ? i sin

2? 3

),

? z ? ? 2 (cos ? ? (1 ?

?
3 3i )

?
3

)

【评述】本题的两种解法中,前者应用了复数的三角形式;后者应用了复数的几何意义,数 形结合,形象直观. 例 3:x 的二次方程 x ? z 1 x ? z 2 ? m ? 0中 , z 1 、 z 2 、m 均是复数,且 z 1 ? 4 z 2 ? 16 ? 20 i .
2 2

设这个方程的两个根为 ? 、 ? ,且满足 | ? ? ? |? 2 7 . 求|m|的最大值和最小值. 【解法 1】根据韦达定理有
4

?? ? ? ? ? z 1 , ? ??? ? z 2 ? m .
? (? ? ? )
2

? (? ? ? ) ? 4?? ? z 1 ? 4 z 2 ? 4 m ,
2 2

图 I—1—8—3

?| ? ? ? | ? | 4 m ? ( z 1 ? 4 z 2 ) |? 28 .
2 2

?| m ?

1 4

( z 1 ? 4 z 2 ) |? 7 ,
2

即 | m ? ( 4 ? 5 i ) |? 7 .

这表明复数 m 在以 A(4,5)为圆心,以 7 为半径的圆周上如图 I—1—8—3 所示.
?| OA |? 4 ?5
2 2

?

41 ? 7 , 故原点 O 在⊙A 之内. 连接 OA, 延长交⊙A 于两点 B 与

C,则|OB|=|OA|+|AB|= 41 ? 7 为 | m | 最大值. |OC|=|CA|-|AO|=7- 41 为 | m | 最小值. ∴|m|的最大值是 41 ? 7 , | m | 的最小值是 7- 41 . 【解法 2】同解法 1,得 | m ? ( 4 ? 5 i ) |? 7 ,
? x ? 7 cos ? ? 4 , 则? ? y ? 7 sin ? ? 5 .

令 m ? x ? yi ( x , y ? R).

?

|m | ? x ? y
2 2

2

? 90 ? 56 cos ? ? 70 sin ?

? 90 ? 14 ? 90 ? 14

41 (

4 41

cos ? ?

5 41

sin ? )

41 sin( ? ? ? ),

其中 sin ? ?

4 41

.

∴ |m|的最大值= 90 ? 14 41 ? 7 ? |m|的最小值= 90 ? 14 【解法 3】根据韦达定理,有 ?
41 ? 7 ?

41 ,

41 .

?? ? ? ? ? z 1 ??? ? z 2 ? m .

5

(? ? ? )

2

? (? ? ? ) ? 4?? ? z 1 ? 4 z 2 ? 4 m ,
2 2 2 2



| ? ? ? | ? | 4 m ? ( z 1 ? 4 z 2 ) |? | 4 m ? (16 ? 20 i ) |? 28 .

即 | m ? ( 4 ? 5 i ) |? 7 . ?| m | ? | m ? ( 4 ? 5 i ) ? ( 4 ? 5 i ) |? | m ? ( 4 ? 5 i ) | ? | 4 ? 5 i |

? 7?

41 .

等 号 成 立 的 充 要 条 件 是 m ? ( 4 ? 5 i )与 ( 4 ? 5 i ) 的 辐 角 主 值 相 差 ? , 即
m ? ( 4 ? 5i ) ? ? 7 ( 4 41 ? 5 41 i ), 所以当 m ? ( ? 7 ? 41 )( 4 41 ? 5 41 i )时 , | m | 取最小值 7 ?

41 .

【评述】三种解法,各有千秋. 解法 1 运用数形结合法,揭示复数 m 的几何意义,直观清晰; 解法 2 则活用三角知识,把 56 cos ? ? 70 sin ? 化为角“ ? ? ? ”的正弦;解法 3 运用不 等式中等号成立的条件获得答案;三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征. 例 4:若 M ? { z | z ?
t 1? t ?i 1? t t
t )], t ? R, | t |? 1}, 则 M ? N 中元素的个数为

, t ? R, t ? ? 1, t ? 0}, N ? { z | z ?

2

[cos(arcsi n t ) ? i cos(arccos





A.0 B.1 C.2 解法同本章一的练习第 4 题.

D.4

例 5:设复数 z 1 , z 2 满足 | z 1 |? | z 1 ? z 2 |? 3 , | z 1 ? z 2 |? 3 3 , 则
log
2

| ( z1 z 2 )

2000

? ( z1 z 2 )

2000

|?
2000

.
? ( z1 z 2 )
2000

【思路分析】应先设法求出 ( z 1 z ) 【评述】由题设知

的值.

9 ?| z1 ? z 2 | ?| z1 | ? | z 2 | ? z1 z 2 ? z1 z 2 ,
2 2 2

29 ? | z 1 ? z 2 | ? | z 1 | ? | z 2 | ? ( z 1 z 2 ? z 1 z 2 ).
2 2 2

因为 | z 1 |? 3 , 故 | z 2 |? 3 , z 1 z 2 ? z 1 z 2 ? ? 9 , 并且 | z 1 z 2 | ? | z 1 z 2 |? 9 .
设 z 1 z 2 ? 9 (cos ? ? i sin ? ), 则 z 1 z 2 ? 9 (cos ? ? i sin ? ).

6

由 ? 9 ? z 1 z 2 ? z 1 z 2 ? 18 cos ? , 得 cos ? ? ? 于是 z 1 z 2 ? 9 ? 或者 z 1 z 2 ? 9 ? 这里 ? ? ? 1 2 ? 3 2
2000

1 2

.

2

i.
? ( z1 z 2 )
2000

当 z 1 z 2 ? 9 ? 时 , 可得 ( z 1 z 2 ) 故 log
2

? ?9

2000

,

| ( z1 z 2 )
2

2000

? ( z1 z 2 )

2000

| ? 4000 .

当 z 1 z 2 ? 9? 时 ,可得同样结果,故答案 4000. 【评述】此题属填空题中的难题,故解题时应仔细. 例 6:设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z 1 , z 2 , ? , z 20 , 则复 数 z1
1995

, z2

1995

, ? , z 20

1995

所对应的不同的点的个数是( C.10
20



A.4

B.5

D.20

【思路分析】如题设可知,应设 z k ? 1 .故解题中应注意分解因式. 【解法 1】因为我们只关心不同的点的个数,所以不失一般性可设 z k ? 1 .由 z k ? 1 ,有
20 60

0 ? z k ? 1 ? ( z k ? 1)( z k ? 1)( z k ? i )( z k ? i ),
60 15 15 15 15

? z k ? 1, z k ? ? 1, z k ? i , z k ? ? i .
15 15 15 15

【答案】A. 【解法 2】由 z k ? 1, 则 0 ? z k ? 1 ? ( z k ? 1)( z k ? 1)( z k ? i )( z k ? i ),
20 20 5 5 5 5

可知 z k 只有 4 个取值,而 z k =( z k )3 的取值不会增加,则 B、C、D 均应排除,故应
5 15 5

选 A. 【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设 z k ? 1 ,于是可用直接法
20

(解法 1)和排除法(解法 2). 针对性训练题
1 x
2

1.设 x 是模为 1 的复数,则函数 f ( x ) ? x ?
2

? 3 的最小值为

( D.3



A.5

B.1

C.2
7

2.若复数 z 满足关系 | z ? 2 | ? | z ? 4 i | ? 12 , 则 z 对应的复平面的点 Z 的轨迹是 (
2 2



A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.直线 ( )

3.已知复数 z 满足关系式 | z ? 2 |? A. [ 0 , C. [ 0 ,
?
3 ]

3 ,则复数 z 的辐角主值的范围是

B. [
5? 3 , 2? ]

5? 3

, 2? ]

?
3

]?[

D. [ 0 ,

?
3

]?[

5? 3

, 2? ]

4.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z 1 , z 2 , ? , z 20 , 则复数
z1
1995

, z2

1995

, ? , z 20

1995

所对应的不同的点的个数是 B.5 C.10
2 4 3 6 1000

( D.20
Cn
2000



A.4 5.设 n=2001,则
1 2
3

n

(1 ? 3 C n ? 3 C n ? 3 C n ? ? ? 3
2
3 2

) ?

. .

6.若虚数 z 满足 z ? 8 , 那么 z ? z ? 2 z ? 2 的值是
2 2

7.若关于 x 的方程 x ? 2 ax ? a ? 4 a ? 0 至少有一个模为 3 的根,则实数 a 的值是 . 8.给正方体的 8 个顶点染上 k 个红点, 8 ? k 个蓝点( 1 ? k ? 8 ).凡两端为红色的棱记上 数字
?1? 2 3i , 凡两端为蓝色的棱记上数字 ?1? 2 3i , 凡两端异色的棱记上数字 1,这

12 个数字之积的所有可取值为

.

8


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