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圆与圆的位置关系


圆和圆的位置关系

直线与圆的位置关系

r



O ┐d

r


O

r


O

d ┐

d



相交

相切

相离

观 察
自行车两个轮胎的轮廓圆的位置关系如何?“奥运五 环旗”中每两个圆的位置关系如何?

举出日常生活中两个圆的位置关系的例子.

2北 京0 新 奥 8 0 运 新

观察与思考
通过刚才对日全食的观察,想象一下两圆 有没有出现公共点?公共点的个数是怎样的?

摆一摆

下面有许多圆,用鼠标指着圆心,按下左键就能将圆放到你想要 的位置,请你根据刚才的观察,摆出你心中两圆的各种位置关系

观察总结两圆的五种位置关系





两圆的位置关系

相离(无公 相交(两 相切(一 个公共点) 个公共点) 共点)

外离

内含

相交

外切

内切

探究一

两圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径 间有怎样的数量关系?





设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,R>r.
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含

? ? ? ? ?

d ? R? r

d ? R? r

R?r ? d ? R? r
d ? R?r
d ? R?r

巩固练习
填空题:1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5,设d=O1O2 :
外离 (1)当d=9时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. 外切 (2)当d=8时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. 相交 (3)当d=5时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. 内切 (4)当d=2时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. 内含 (5) 当d=1时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (6)当d=0时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. 同心圆

巩固练习
2.已知:⊙O1的半径为4,⊙O2的半径 为5,若⊙O1与 ⊙O2外切,则O1O2 = 9 . 3.已知两圆半径分别为3和7,如果两圆 相交,则圆心距d的取值范围是 4<d<10 . 如果两圆外离,则圆心距d的取值范围 d>10 是_______.

巩固练习
4.在图中有两圆的多种位置关系,请 你找出还没有的位置关系是 外离 .

在图中有两圆的多种位置关系,请你找出 还没有的位置关系是 .





例1 如图,⊙O的半径为5 cm,点P是⊙O外 一点,OP=8 cm.以P点为圆心作⊙P与⊙O相切, 则⊙P的半径是多少?
解:(1)设⊙O与⊙P外切于点A, 则 PA=OP-OA 所以PA=3 cm, (2)设⊙O与⊙P内切于点B, 则 PB=PO+OB 所以PB=13 cm.

B

O

A

P

例2、已知 圆O1和圆O2内切,圆心距为13cm,⊙O1的半径为12cm, 求⊙O2的半径. 解 : 设⊙O2的半径为r, 由于⊙O1与⊙O2内切, 因此圆心距 d= r-12, 或 d=12-r. 如果 d=r-12,那么 r=d+12=13+12=25 如果 d=12-r,那么 r=12-d=12-13=-1(舍去).

所以⊙O2的半径为25cm.

1、 已知⊙O1、 ⊙O2相切,圆 心距为10cm,其中⊙O1的半径 为4cm,求⊙O2的半径.
O2

T

O1

O2

O1

T

当外切时,R=6

当内切时,R=14

圆与圆相切分为外切和内切,注意分类讨论思想

2、已知两圆半径分别为3和4,圆心的坐标 分别是(0,3)和(4,0),试判断这两圆的位 置关系.
y Y

3

5
0 4 x

x

3、定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是1cm
P

(1)设⊙O和⊙ P相外切,点P与点O 的距离是多少?点P可以在什么样的线 上移动? 解:(1)点P与点O的 距离是5cm,点P可以在 以O为圆心,半径为 5cm的圆上移动

O

3、定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是1cm
(2)设⊙O和⊙P相内切,情 况又怎样? 解:(2)点P与点O 的距离是3cm,点P可 以在以O为圆心,半 径为3cm的圆上移动

P

O

某数学学习小组为了测量公园里放置于平台上 的一个巨型球体石料的半径,采用了如下的方法: 在球体石料的一侧紧挨一个已知直径的钢球,其截 面如图所示,设⊙C与大圆外切的切点为D ,⊙C与 大圆都与平台相切,切点为A、B且⊙C的直径为 10cm,测得AB=50cm, 求球体石料的半径R。

O D C E

A

B

探究二

对称:圆是轴对称图形,两个圆是否也组成轴对称 图形呢?如果能组成轴对称图形,那么对称轴是什么? 我们一起来看下面的实验.

从以上实验我们可以看到, 两个圆一定组成一个轴对称图形,其对称轴 是两圆连心线.当两圆相切时,切点一定在连心线上;当两圆相交时,连

心线垂直平分公共弦.

课堂小结
两圆五种位置关系中,两圆半径与圆心距的数量关系
图 形 性质及 判定 公共点 个数
外离 ? d>R+r 外切 ? d=R+r 外离?R-r <d<R+r

内切

?d=R-r
一个

内含 ? d<R-r

没有

一个

两个

没有

两圆相切及相交时的对称性 两个圆一定组成一个轴对称图形,其对称轴是两圆连心

线.当两圆相切时,切点一定在连心线上;当两圆相交时,

连心线垂直平分公共弦.


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