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上海市五校2016届高三12月联考数学理试题(WORD版)(2)


上海市 2016 届高三五校联考试卷 数学
一、 填空题
2

1、已知 a、b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i ? 2 ? bi ,则 ? a ? bi ? ? 2、函数 y ? sin 2 a? x ? a ? 0? 的最小正周期为 2 ,则实数 a ? 3、函数 y ? 1 ? lg x 的定义域为 . .

r />.

4、集合 A ? ?x | x ? 2 ? 3, x ? R?, B ? y | y ? ?x2 , ?1 ? x ? 2 ,则 CR ? A ? B ? ?

?

?

.

5、如果 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? mx ? n ? 0 的一个根,则 mn 的值为 . 2 2 x y 6、已知双曲线 2 ? ? 1 ,其双曲线的右焦点与抛物线 y2 ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的方程 a 2 为 . 7 、在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边 分别是 a、b、c , 若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B ,则 角

A?

. . .

8、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? ?ln a20 ?
??? ? ??? ? 9、在 ?ABC 中, AB ? 5, AC ? 6 ,点 P 是 ?ABC 的外接圆圆心,则 AP ? BC ?

10 、 无 穷 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 首 项 是 a1 ? 0 , 若 l i mS n ?
n ??

1 , 则 a1 的 取 值 范 围 a1



.

11、对于函数 f ? x ? ,若在定义域 D 上存在实数 x ,满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则称 f ? x ? 为 D 上“局部奇 函数”, 已知 f ? x ? ? 2x ? m 是定义在 ? ?1,1? 上的“局部奇函数”, 则实数 m 的取值范围是 .

12、 已知数列 ?an ? 满足, 当 n ? 3 时,an ? 2an ?1 或 an ? an?1 ? an?2 , 若 a1 ? 1, a2 ? 2, , 则此数列的前 2015 项中,奇数项最多有 项 、 ?MAB ?MAC ,

??? ? ???? B C 13、 已知 M 是 ?ABC 内的一点 (不含边界) , 且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? , 若 ?M
的面积分别是 x, y, z ,则
1 4 ? 的最小值为 x? y z

.

14、在平面直角坐标系 XOY 中,已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 ,点 A, B 在圆 C 上,且 AB ? 2 3 ,则
??? ? ??? ? OA ? OB 的取值范围是

.

二、选择题 15. 直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和直线 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 ,则“a=3”是“ l1 // l 2 ”的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

16. 已知函数 y ? loga ( x ? c) ( a , c 为常数,其中 a ? 0, a ? 1) 的图像如图所示,则下列结论成立 的是 ( ) B. a ? 1,0 ? c ? 1 ; D. 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1 ) B. 若 a ? 0 ,则 a ?
O

y 1

A.a ? 1, c ? 1
C. 0 ? a ? 1, c ? 1 17. 下列命题正确的是 ( A. 若 ab ? 0 ,则

x

b a ? ?2 a b

4 ? ?4 ; a
4 ? 5; sin 2 x

C. 若 a ? 0, b ? 0 ,则 lg a ? lg b ? 2 lg a ? lg b

2 D.若 x ? k? , k ? Z ,则 sin x ?

18. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ?
为(

1 | x ? a 2 | ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ,若对任意 x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围 2
) B. ? ?

?

?

A. ? ? , ? ? 6 6?

? 1 1?

? ?

6 6? , ? 6 6 ?

C. ? ? , ? ? 3 3?

? 1 1?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

三、解答题 19. 如图, A, B 是单位圆 O 上的动点,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,设 ?COA ? ? . (1)当点 A 的坐标为 ( , ) 时,求 (2)若 0 ? ? ? 范围.

?
3

3 4 5 5

cos 2? 的值. 1 ? sin 2?

,且当点 A,B 在圆上沿逆时针方向移动时,总有 ?AOB ?

?
3

,试求 BC 的取值

y
B
O

A
x

20、 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米 时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研 究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)

f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 年/小时).
20、解:(1) v( x) ? ? 1

60, 0 ? x ? 20 ? ? 200 ? x? , 20 ? x ? 200 ? 3 ? 3

(2)分段讨论: 0 ? x ? 20 时, f ( x)max ? f (20) ? 1200

20 ? x ? 200 时, f ( x) max ? f (100 ) ?
答:略

10000 ? 3333 (辆) 3
2

2 2 21. 已知圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆 N : ? x ? 1? ? y ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆 2

心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程;

y

l 是与圆 P , l 与曲线 C 交于 A, B 两点, (2) 圆 M 都相切的一条直线, 当圆 P 的半径最长时, 求 AB
长. 解:(1)

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 4 3
? M O ? N

(2) k 不存在, x ? 0, AB ? 2 3

x

k 存在, l 必过 ?? 4,0? ,设 l : y ? k ( x ? 4) ,??,易得: k ? ?

2 ,再联立,用弦长公式得: 4

AB ?

18 18 。 综上: AB ? 2 3 或 AB ? 7 7

22. 已知函数 f ? x ? ? 2 ? a ? 2
x

?x

,其中常数 a ? 0 ,

(1)当 a ? 1 时, f ? x ? 的最小值; (2)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
2 2 ( 3 )当 a ? 256 时,是否存在实数 k ? ?1, 2? ,使得不等式 f ? k ? cos x ? ? f k ? cos x 对任意

?

?

x ? R 恒成立?若存在,求出所有满足条件的 k 的值;若不存在,请说明理由.

22、解:(1) f ( x) ? 2 ?
x

1 ? 2 ,当且仅当 2 x ? 1, x ? 0 时“ ? ”成立 x 2

(2)当 a ? 1 时, f ( x) 为偶函数;当 a ? ?1 时, f ( x) 为奇函数; 当 a ? 1 且 a ? ?1 时, f ( x) 为非奇非偶函数
x (3)当 x ? ?? ?,4? 时, 2 ? , 2 x ? ?0,16? ,? 2 ?
x

256 ? ,所以 f ( x) 在 ?? ?,4? ? 2x

同理: f ( x) 在 ?4, ,??? ? 。
2 2

k ?c o s x ? ?k ?1, k ? 1? ? ?? ?,4? , k 2 ? cos2 x ? ?? ?,4?
2 2 2

所以 k ? cos x ? k ? cos x , cos x ? cos x ? k ? k ,易得: cos x ? cos x 最大值为 2
2 所以 k ? k ? 2 , k ? 2 或 k ? ?1 ,所以 k ? 2

23. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若对任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得 Sn =am , 则称数列 ?an ? 是“ E 数列”. (1)数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =3
n

? n ? N ? ,判断数列 ?a ? 是否为“ E 数列”,并说明理由;
*

n

(2)数列 ?bn ? 是等差数列,其首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,数列 ?bn ? 是“ E 数列”,求 d 的值; (3) 证明: 对任意的等差数列 ?an ? , 总存在两个 “ E 数列” ?bn ? 和 ?cn ? ,使得 an ? bn ? cn n ? N * 成立. 23、解:(1) an ? ? (2)?? n ?

?

?

n ?1 ? 3 m ?1 * ,当 n ? 2 时, 9 ? 2 ? 3 ,得 m ? N ,所以不是 n ?1 n?2 ?2 ? 3

n(n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) ? d ? 1 ? (m ? 1) ? d , m ? ? ?1 2 d 2 n(n ? 1) n ?1 必为非负整数,所以首先 要恒为整数, d 为所有非负整数的公约数且 d ? 0 ,所以 2 d d ? ?1

2015-2016 学年上海五校 12 月联考答案
一、填空题
1、 3 ? 4i 2、

1 2

3、 ?0,10?

4、 ?? ?,?1? ? ?0,??? 10、 ?0,1? ? 1 ,2

5、 ? 20

6、 x ?
2

y2 ?1 2

7、

? 6

8、 50 14、 ?4,8?

9、

11 2

? ?

11、 ??

? 5 ? ,?1 ? 4 ? ?

12、 1343

13、 9

二、选择题
15、 C 16、 D 17、 D 18、 D

三、解答题
19、解:(1) sin ? ?

4 3 7 24 , cos ? ? , cos 2? ? ? , sin 2? ? 5 5 25 25

?

cos 2? 1 ?? 1 ? sin 2? 7

(2) B? ? cos?? ?

? ?

? ?

??

? ?? ? , ?, sin?? ? ? ? 3? 3 ?? ? ?

? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? 2? BC ? ? ? cos?? ? 3 ? ? 1? ? ? sin ?? ? 3 ? ? 2 ? 2 cos?? ? 3 ? , ? ? ?0, ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ?
?? BC ? 1 ,3

2

? ?
60, 0 ? x ? 20 ? ? 200 ? x? , 20 ? x ? 200 ? 3 ? 3

20、解:(1) v( x) ? ? 1

(2)分段讨论: 0 ? x ? 20 时, f ( x)max ? f (20) ? 1200

20 ? x ? 200 时, f ( x) max ? f (100 ) ?
答:略 21、解:(1)

10000 ? 3333 (辆) 3

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 4 3

(2) k 不存在, x ? 0, AB ? 2 3

k 存在, l 必过 ?? 4,0? ,设 l : y ? k ( x ? 4) ,??,易得: k ? ?

2 ,再联立,用弦长公式得: 4

AB ?

18 18 。 综上: AB ? 2 3 或 AB ? 7 7
x

22、解:(1) f ( x) ? 2 ?

1 ? 2 ,当且仅当 2 x ? 1, x ? 0 时“ ? ”成立 x 2

(2)当 a ? 1 时, f ( x) 为偶函数;当 a ? ?1 时, f ( x) 为奇函数; 当 a ? 1 且 a ? ?1 时, f ( x) 为非奇非偶函数
x x (3)当 x ? ?? ?,4? 时, 2 ? , 2 ? ?0,16? ,? 2 ?
x

256 ? ,所以 f ( x) 在 ?? ?,4? ? 2x

同理: f ( x) 在 ?4, ,??? ? 。
2 2

k ?c o s x ? ?k ?1, k ? 1? ? ?? ?,4? , k 2 ? cos2 x ? ?? ?,4?
2 2 2

所以 k ? cos x ? k ? cos x , cos x ? cos x ? k ? k ,易得: cos x ? cos x 最大值为 2
2 所以 k ? k ? 2 , k ? 2 或 k ? ?1 ,所以 k ? 2

23、解:(1) an ? ?

n ?1 ? 3 m ?1 * ,当 n ? 2 时, 9 ? 2 ? 3 ,得 m ? N ,所以不是 n ?1 2 ? 3 n ? 2 ?

(2)?? n ?

n(n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) ? d ? 1 ? (m ? 1) ? d , m ? ? ?1 2 d 2 n(n ? 1) n ?1 必为非负整数,所以首先 要恒为整数, d 为所有非负整数的公约数且 d ? 0 ,所以 2 d d ? ?1


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