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数形结合的思想方法(3)--巩固练习


数形结合的思想方法(3)--巩固练习
1. 设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么甲是乙的_____。 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若 log a 2<log b 2<0,则( A. 0<a<b<1 3. 如果|x|≤ B. 0<b<a<

;1 ) C. a>b>1 D. b>a>1 )

π ,那么函数 f(x)=cos 2 x+sinx 的最小值是( 4
B. -

A.

2 ?1 2

2 ?1 2

C. -1

D.

1? 2 2

4. 如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是 5,那么 f(x)的[-7,-3]上是() A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 5. 设全集 I={(x,y)|x,y∈R},集合 M={(x,y)| 于( ) A. φ B. {(2,3)}

y?3 =1},N={(x,y)|y≠x+1},那么 M∪N 等 x?2
C. (2,3) D. {(x,y)|y=x+1

6. 如果θ 是第二象限的角,且满足 cos

θ θ θ -sin = 1 ? sin θ ,那么 是( ) 2 2 2

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角,也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合 E={θ |cosθ <sinθ , 0≤θ ≤2π }, F={θ |tgθ <sinθ }, 那么 E∩F 的区间是 ( ) 。 A. (

π ,π ) 2

B. (

π 3π , ) 4 4

C. (π ,

3π ) 2

D. (

3π 5π , ) 4 4

8. 若复数 z 的辐角为

5π ,实部为-2 3 ,则 z=( 6
B. -2 3 +2i
2 2



A. -2 3 -2i

C. -2 3 +2 3 i

D. -2 3 -2 3 i )

9. 如果实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,那么

y 的最大值是( x
3

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.

10. 满足方程|z+3- 3 i|= 3 的辐角主值最小的复数 z 是_____。 11.条件甲:x2+y2≤4;条件乙:x2+y2≤2x,那么甲是乙的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 ).

12. 已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(

A∪
1

B)=( ). A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7} 13. “a=1”是“函数 f(x)=x-a 在区间[1,+∞)上为增函数”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( ). B. f(x1)<f(x2) A. f(x1)>f(x2) C. f(x1)=f(x2) D. f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 15. 将函数 y=sinωx(ω>0)的图象按向量 a=(- ,0)平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所 对应函数的解析式是( ).

16. 已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且 a≠±b,那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是 17. 若 a>0,b>0,则不等式-b< <a 等价于( ).

.

18. 已知平面区域 D 由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的 三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函 数 z=x+my 取得最小值,则 m=( ). A. -2 B. -1 C. 1 D. 4 19. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,点 O 为坐标原点,那么 PO 的最小值等于

,最大值等于

.

巩固练习答案 1:将不等式解集用数轴表示,可以看出,甲=>乙,选 A; 2:由已知画出对数曲线,选 B; 3:设 sinx=t 后借助二次函数的图像求 f(x)的最小值,选 D; 4:由奇函数图像关于原点对称画出图像,选 B; 5:将几个集合的几何意义用图形表示出来,选 B; 6:利用单位圆确定符号及象限;选 B; 7:利用单位圆,选 A; 8:将复数表示在复平面上,选 B;

2

9:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题;选 D; 10 小题:利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案-

3 3 + i。 2 2

11. 【点拨】 画一张示意图如图 1.圆面 x2+y2≤2x(包括圆周)被另一个圆面 x2+y2≤4包含,结论不是

一目了然了吗?选 B. 12. 思路分析: (1). ( A)∪( B)是由不属于A或不属于B的元素组成的集合,显然选择B、C 中都含有集合

A、B 的元素,而选择支 A 中{1,6}表示既不属于A又不属于B的元素组成的集合,即{1,6} ( A)∪( B),从而排除了选项A、B、C,选D.

(2). 利用文氏图,直观求解,不难得到选项D. (3). 由( A)∪( B)= (A∩B),显然,A∩B={4,5},故 (A∩B)={1,2,

3,6,7},选D. (4). 直接可求得 A={1,3,6}, B={1,2,6,7},则( A)∪( B)={1,

2,3,6,7},选D. 【点评】 思路1是从集合的概念出发的针对选择题的排除法,思路2、思路 3、思路 4 都是针对解答题 的方法,思路 2 体现了数形结合的解题思想,思路 3 是区别于思路 4 的利用德摩根定律解题的间接法.但我 们认为思路 2 最简捷. 13. 【分析】本题是以函数 f(x)=x-a 的图象为依托构造的一道考查充要条件的题目,要求学生要熟悉函 数 y=x、y=x、y=x-a 的图象之间的关系,并要理解充分条件和必要条件的含义. 思路分析: (1). 若 a=1,函数 f(x)=x-1 图象是由函数 y=x 的图象向右平移 1 个单位得到的,所以其在区间[1, +∞)上为增函数;反之,函数 f(x)=x-a 在区间[1,+∞)上为增函数,a 不一定等于1,如 a=0,所 以选A. (2) 函数 f x) . ( =x-a 在区间 [a, +∞) 上为增函数的充要条件为 a≤1, 且 ,

所以选A. 【点评】思路1紧扣概念,借助图象性质理性分析,着实有效.思路2从“函数 f(x)=x-a 在区间[1,+ ∞)上为增函数”的充要条件入手,学会用集合思想解决有关条件命题应引起重视. 14. 【分析】本题考查含参数的二次函数问题,题设表述简洁,问题的实质是比较两个函数值的大小,解 决问题的关键是确定 x1、x2 的相对位置. 思路分析: (1). 易得 f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2),由已知可得,a>0,x1-x2<0,x1+x2+2=3- a>0,从而 f(x1)<f(x2),故选B.
3

(2). 由 f(x)=a(x+1)2+4-a 知对称轴为 x=-1,又 0<a<3,则有

,结合函

数图象可以看出,其弦的中点在对称轴右侧,所以 f(x1)<f(x2),故选B. (3). 由已知可得 x1、x2 不可能都在对称轴左侧,若 x1、x2 在对称轴两侧,则 x1<-1<x2,又0<a<3, 从而可知 x2 与对称轴的距离 x2+1大于 x1 到对称轴的距离-1-x1,所以 f(x1)<f(x2),故选B. 【点评】 思路1直接比较 f(x1)与 f(x2)的大小,容易思考;思路 2 和思路 3 都是依赖二次函数的图 象性质解题,简捷明快,体现了数形结合的优越性,其本质都是在确定 x1、x2 的相对位置. 15. 【分析】已知三角函数图象求解析式是高考中常考题,但本题又结合向量知识使得试题更加综合化、 更加灵活化,难度进一步加深,当然入口也更宽. 思路分析: (1). 直接法:由平移得图象所对应的解析式为 y=sinω(x+ ),再由图象五点对应法,ω( = ,所以 ω=2,因此选C. (2). 排除法:由图象可得函数过点( 验得选项C正确. (3). 反向检验法:平移后的图象由 a=( ,0)得 y=sinωx(ω>0),由 y=f(x- )=sinωx 排除B、 D,再由 x= + = 时,y=-1,得选项C正确. ,-1),即 x= 时,y=-1,对A、B、C、D四个选项检 + )

【点评】 三角函数图象与性质、向量是本题涉及的主要知识点,作为选择题我们推崇方法2的简捷;方 法1直接法中五点对应要求掌握及正确运用;方法3反过来考虑有时也是一条思路,这里我们不推崇. 16. 【分析】本题是一道涉及向量的坐标表示、坐标运算、向量运算的几何意义等知识点的常规问题,解 题的入口较宽,对训练我们思维的发散性有价值.

思路分析: (1). 根据题意知,所求结论与 α、β 的大小无关,不妨取 α=0,β= ,则 a=(1,0),b=(0,1), 从而 a+b=(1,1),a-b=(1,-1),所以<a+b,a-b>=90° . (2). 因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),所以(a+b)· (a-b) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,故<a+b,a-b>=90° . (3) 如图, 在单位圆中作 所以 OAPB 是菱形,则 ⊥ , 再作 OAPB, 则 =a-b, =a+b, 由于 ,

,即(a+b)⊥(a-b),故<a+b,a-b>=90° .

(4). 不难发现 a=b,所以(a+b)· (a-b)=a2-2=0,故<a+b,a-b>=90° . 【点评】思路1是基于该题答案的不变性而采用了特殊化思想;思路2采用了直接运算的方法;思路3抓住 了向量运算的几何意义,利用了数形结合的思想;思路4挖掘了两向量模为1的隐含条件,并运用了向量的
4

符号运 算.这4种思路各有特色,都是处理本题的较好方法. 17. 【点评】 从同解变形是等价变形的角度考查了解不等式. 思路分析: (1). 求解对照,过程略. (2) 将 a、b 特殊化为具体数字,如令 a=b=1,解后对照选项. (3). 从数形结合的角度考虑.分别作 y=-b,y=a,y= 的图象(图略),可知选 D. 【点评】 函数、方程、不等式密不可分,对本题而言思路3最简捷.

18. 解:由 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)的坐标位置知道 ,△ABC 所在的区域 D 在第一象限,故 x>0,y>0.由 z=x+my 得 y=x+ ,它的斜率为. =kAC= ,即 m=1时满足在区域

(1)若 m>0,则要使 z=x+my 取得最小值,必须使 最小,此时需D 上有无穷多个点使得 z=x+my 取得最小值;当合要求.

不平行于 kAC 时,满足条件的点只有一个点,这不符

(2)若 m<0,则要使 z=x+my 取得最小值,必须使 最大,此时满足条件的点也只是一个点,不符合要 求. (3)若 m=0,满足条件的点也只是一个点,不符合要求. 综上可知,m=1.选 C. 【点评】 画出平面区域 D,结合图形分类讨论是解决本类问题的基本方法. 19. 解:画出如图所示的平面区域.

观察图形易知: POmin=AO= ,POmax=CO= .

【点评】在平面区域内求二元二次函数最值,一般用数形结合的方法. 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)

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