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高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)


2012 年增城市高一级数学竞赛

高一数学竞赛辅导——三角函数

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.函数 f (x) = | sin x+cos x |的最小正周期是( ) π π A. B. C.π 4 2 2.若 cos ?

? 0 , 且 sin 2? ? 0 , 则角 ? 的终边所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.2π

D.第四象限

3.若函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ? 和 ? 的取值是( )
A. ? ? 1, ? ? C. ? ?
1 2

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?
? 2 x )( x ? [ 0 , 1 2

?
3

,? ?

?
6

,? ? ?

?
6

-

? 3

y 1
O

2? 3

x

4.函数 y ? 2 sin(
A. [ 0 ,
?
3 ]

?
6

? ]) 为增函数的区间是(
]

) D. [
5? 6 , ?]

B. [

?
3

,

5? 6

C. [

?
12

,

7? 12

]

5.在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( )
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

6.在△ABC 中, b ? 8 , c ? 8 3 , S ? A B C ? 1 6 3 ,则 ? A 等于( )
A、 30
?

B、 6 0

?

C、 30 或 1 5 0 )

?

?

D、 6 0 或 1 2 0

?

?

7.函数 y=-xcosx 的部分图象是 (

8.在△ABC 中,
A 直角三角形

a cos A

?

b cos B

?

c cos C

,则△ABC 一定是

(

)

B 钝角三角形 D 等边三角形

C 等腰三角形

1

2012 年增城市高一级数学竞赛

9.为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(



π A.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6

π 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 3 B.向右平移

10.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下
表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin( ? t ? ? ) 的图 象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( t ? [ 0 , 24 ] ) ( A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin
?
6 t
t



B. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t??)

?
12

D. y ? 12 ? 3 sin(

?
12

t?

?
2

)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分 5,共 25 分.把答案填在横线上. 11.在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= . sin 7 ? ? cos 15 ? sin 8 ? 12. 的值是 . cos 7 ? ? sin 15 ? sin 8 ? 13.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 .

14.在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ? a ? b ? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则
sinC= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 12 分)
已知在 ? ABC 中, cos (Ⅰ)求 cos
C
A ? ? 5 13 , sin B ? 4 5

. ,求 ? ABC 的面积.

的值; (Ⅱ)设 BC

? 15

2

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17.(本题满分 12 分)
已知在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

18. (本题满分 12 分) 已知在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin ( (1)求角 A 的度数;
2

B?C 2

) ? co s 2 A ?

7 2

.

(2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

19. (本题满分 12 分)
已知 sin ? ? co s ? ?
1 5 , ? ? (0, ? ).

(1)求 tan ? 的值; (2)求

1 ? sin 2 ? 2 co s ? ? sin 2 ?
2

的值.

3

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20.(本题满分 12 分)
求函数 f (x)= lo g 1 co s( x ?
2

1

?
4

) 的单调递增区间,

3

21. (本题满分 15 分)
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ?
? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度。 若电视塔的实际高度为 125m, 试问 d 为多少时, - ?

最大?(提示:基本不等式 a ? b ?

ab )

4

2012 年增城市高一级数学竞赛

三角函数参考答案 一、选择题(5 分×10=50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 C 7 D 8 D 9 B 10 A

二、填空题(4 分×5=20 分) 11. 36 ? 12 6 ; 三、解答题(共 80 分) 16.解: (Ⅰ)由 cos ∵A?B?C
??
A ? ? 5 13 , sin B ? 4 5

12. 2 ?

3 ;

13.等腰三角形;

14.120°;

15.

3 2



,得 sin

A ?

12 13

, cos B ?

3 5


63 65

,∴ cos
C ?

C ? cos[ ? ? ( A ? B )] ? ? cos( A ? B )
63 65 13 65 BC ? sin B sin A ? 13

? ? (cos A cos B ? sin A sin B ) ?



(Ⅱ)由 cos

,得 sin

C ?

, .
1 2 ? 15 ? 13 ? 16 65 ? 24

由正弦定理得 AC 所以 ? ABC 的面积 S ?

?

1 2

? B C ? A C ? sin C ?



17.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得
co s ? A D C ? AD ? DC ? AC
2 2 2

2 AD ? DC

?

100 ? 36 ? 196 2 ? 10 ? 6

?

1 2

? ? ADC=120°, ? ADB=60°

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°,
AB

由正弦定理得 sin ? A D B 18、 解 : (1)由 4 sin
2

?

AD sin B ,? A B ? 7 2
2

A D ? sin ? A D B sin B

?

1 0 sin 6 0 sin 4 5
0

0

?5 6 .

B?C 2

? co s 2 A ?

及 A ? B ? C ? 1 8 0 ?, 得 :

2[1 ? co s( B ? C )] ? 2 co s A ? 1 ?
2

7 2

, 4 (1 ? co s A ) ? 4 co s A ? 5
2

即 4 co s A ? 4 co s A ? 1 ? 0,? co s A ? ? 0 ? ? A ? 1 8 0 ? ,? A ? 6 0 ?
( 2 )由 余 弦 定 理 得 : co s A ? ? co s A ? 将a ? 1 2 ? b ?c ?a
2 2 2

1 2

,

b ?c ?a
2 2

2

2bc ? 1 2 ?b ? 2 . ? ?c ? 1
5

? ( b ? c ) ? a ? 3b c .
2 2

2bc

?b ? c ? 3 ?b ? 1 3 , b ? c ? 3代 入 上 式 得 : b c ? 2 由 ? 得 :? 或 ?bc ? 2 ?c ? 2

2012 年增城市高一级数学竞赛

19.解:
1 ? ? sin ? ? c o s ? ? , 2 (Ⅰ)由 ? 5 得 2 5 sin ? ? 5 sin ? ? 1 2 ? 0 ? sin 2 ? ? c o s 2 ? ? 1 ?

解得 sin ? ?
? 所以 c o s ?

4 5 1

或 者 sin ? ? ?

3 5

(由 于 ? ? 0 , ? ) , 舍 去 ) (
4 t? n? ? a 3

3 ? s i? ? ? 于 , n 是 5 5

(Ⅱ)化简原式
? ? sin ? ? co s ? ? 2 sin ? co s ?
2 2

2 co s ? ? 2 sin ? co s ?
2

?

(sin ? ? co s ? )

2

2 co s ? (co s ? ? sin ? )

sin ? ? co s ? 2 co s ?

?

1 2

tan ? ?

1 2

所以 20.解:

1 ? sin 2 ? 2 co s ? ? sin 2 ?
2

?

1 2

? (?

4 3

)?

1 2

? ?

1 6

∵f (x)= lo g 1 co s(
2

1 3

x?

?
4

) 令t ?

1 3

x?

?
4

,

∴y= log

1 2

cos t

,t 是 x 的增函数,又∵0<

1 2

<1,

∴当 y= log

1 2

cos t

为单调递增时,cost 为单调递减 且 cost>0, (k?Z),∴2k?≤
?
4 )
1 3 x?

∴2k?≤t<2k?+ ∴f (x)= log
cos(

?
2

?
4

<2k?+

?
2

(k?Z) ,6k?,6k?+
3? 4

3? 4

≤x<6k?+

3? 4

(k?Z),

1 3

1 2

x?

的单调递减区间是[6k?-

3? 4

) (k?Z)

21.解:[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)
H AD H tan ? ? tan ? ? A D ? H tan ? H tan ?

,同理: A B ?

H tan ?

, BD ?

h ta n ?



AD—AB=DB,故得

?

?

h tan ?

,解得: H ?

h tan ? tan ? ? tan ?

?

4 ? 1 .2 4 1 .2 4 ? 1 .2 0

? 124 。

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。

6

2012 年增城市高一级数学竞赛

(2)由题设知 d ? A B ,得 tan ? ?
H tan (? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? ? d 1?

H d
? H d

, tan ? ?
H ?h

H AD

?

h DB

?

H ?h d



?

hd d ? 2 ? H ?h d ? H (H ? h) d

h d ? H (H ? h) d

d ?

H (H ? h) d

? 2

H ( H ? h ) ,当且仅当 d ? (

H (H ? h) ?

125 ? 121 ? 55 5 时, 取等号)

故当 d ? 5 5 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?
?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 5 5 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 5 5 5 m。

7


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