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2010年高考大纲全国卷


2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题(必修+选修 II) 一、选择题 (1)复数 (A) i
3 ? 2i ? 2 ? 3i

(B) ?i

(C)12-13 i

(D) 12+13 i

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?
1? k2 A. k 1? k2 B. k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 = 5, a7 a8 a9 =10,则 a4 a5 a6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式 中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中 各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(7)正方体 ABCD- A1 B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3
? 1

D

6 3

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5 2 ,则 A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a

(9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 600 ,则 P 到 x 轴的距离为 (A)
3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(10)已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是
2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题(必修+选修 II)

(A) (2 2, ??)

(B) [2 2, ??)

(C) (3, ??)

(D) [3, ??)

??? ? ??? ? (11)已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最

小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最 大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

二.填空题 (13)不等式 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 的解集是 .

(16) 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , uu r uur . a ? b ? a cot A ? b cot B 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为
3 ? (14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

. .

(15)直线 y ? 1与曲线 y ? x 2 ? x ? a 有四个 交点,则 a 的取值范围是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 已知 ?ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

(18)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审.
2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题(必修+选修 II)

(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被 录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题(必修+选修 II)

(21)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ??? ? ??? ? 8 (Ⅱ)设 FA?FB ? ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(22)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1, an ?1 ? c ?
1 5 1 . (Ⅰ) 设 c ? , bn ? , 求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ) an 2 an ? 2

求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围

2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题(必修+选修 II)

2010 年全国卷 1 理科数学试题答案
一、选择题 1.A 解析:本题考查了复数代数形式的运算法则.

3 ? 2i (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) 13i ? ? ? i ,故选 A. 2 ? 3i (2 ? 3i) ? (2 ? 3i) 13
? 2

? ? 2.B 解析:本题考查了同角三角函数关系以及诱导公式 . cos(?80 ) ? cos80 ? k , sin 80 ? 1 ? k ,

tan 80? ?

1? k 2 1? k 2 ? ? , tan100 ? ? tan 80 ? ? ,故选 B. k k
O

y y=1 x A Z=x-2y x+y=0

3.B 解析:本题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题,即线性规划 问题.如图, 画出约束条件表示的可行域, 当目标函数 z ? x ? 2 y 经过 x ? y ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 的交点 A(1, ?1) 时,取到最大值 3,故选 B.

x-y-2=0
3

6 4.A 解析:本题考查了等比数列的性质. (a1a2 a3 ) ? (a7 a8 a9 ) ? a5 ? 50 , a4 a5 a6 ? a5 ? 5 2 ,选 A.

5.C 解析:本题考查了二项式定理. (1 ? 2 x ) 展开式的通项为 Tr ?1 ? C (2 x ) ? 2 C x , (1 ? 3 x ) 展
3

r 3

r

r

r 3

r 2

5

开 式 的 通 项 为 Tr??1 ? C (? x ) ? (?1) C x
3

r? 5

r?

r?

r? 5

r? 3

, 因 此 , (1 ? 2 x ) (1 ? 3 x ) 展 开 式 的 各 项 为
3 5

(?1) ? 2 ? C ? C ? x
r r 3

r?

r? 5

r r? ? 2 3

,当

r r? ? ? 1 时有 r ? 0 且 r ? ? 3 或 r ? 2 且 r? ? 0 两种情况,因此展开式中 x 的 2 3

系数为(-10)+12=2,故选 C. 6.A 解析:本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类,A 类选修课 1 门,B 类选修课 2 门,或者 A 类选 修课 2 门,B 类选修课 1 门,因此,共有 C3 ? C4 ? C3 ? C4 ? 30 种选法,故选 A.
2 1 1 2

7.D 解析: 本题考查了立体几何中线面角的求法. BB1 与平面 ACD1 所成角等于 DD1 与平面 ACD1 所成角, 在三棱锥 D ? ACD1 中, 由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD1 内的射影为等边 ?ACD1 的垂心即中心 H,

6 a 6 则 ?DD1 H 为 DD1 与平面 ACD1 所成角,设正方体棱长为 a,则 cos ?DD1 H ? 3 ,故选 D. ? a 3
1 ? 1 1 ln 2 ? , 8.C 解析:本题考查了代数式大小比较的方法 . a ? log 3 2 ? ? ln 2 ? b ,又 c ? 5 2 ? ln 3 5 2

a ? log3 2 ? log3 3 ?

1 ,因此 c ? a ? b ,故选 C. 2
, 设 P 到

9.B 解 析 : 本 题 考 查 了 双 曲 线 中 有 关 焦 点 三 角 形 的 问 题 . 由 双 曲 线 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得

S?F1PF2 ? b2 cot

?
2

? 1? cot 30? ? 3

x











h







5

6 6 1 1 ,P 到 x 轴的距离为 ,选 B. S?F1PF2 ? ? F1F2 ? h ? ? 2 2 ? h ? 3 , h ? 2 2 2 2
10.C 解析:本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质 . 由题意 0 ? a ? 1 ? b ,由 因此, f ( a) ? f (b) 得 ? lg a ? lg b , lg a ? lg b ? 0 , a ? 2b ? a ? ab ? 1 ,

2 2 , 由对勾函数性质知 y ? x ? a x

在 (0,1) 单调递减,因此 a ? 2b ? 3 ,即 a ? 2b 的取值范围是 (3, ??) ,故选 C. 11.D 解 析 : 本 题 考 查 了 向 量 数 量 积 的 定 义 运 算 , 考 查 了 最 值 的 求 法 , 考 查 了 圆 的 切 线 性 质 . 设

??? ? ??? ? | PA |?| PB |? x



?APB ? ?
x 4?? ? x (2 ? x ? x2 ? 1



tan

?
2

?

1 x
2



cos ? ?
2

x2 ?1 x2 ? 1
)





? ? P ? A

? x 2?? 1 ? 2 ?P 2 B? x ?1

?1 x2 ) ? ?2 x ?1

3 x ?(

? 1

2

? x2 ? 1 ?

??? ? ??? ? 2 2 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ,当且仅当 ,即 时,取“ = ” ,故 的最小值 PA ? PB ? 3 ? 2 2 ? 3 x2 ? 1

为 2 2 ? 3 ,故选 D. 12.B 解析:本题考查了球和多面体的组合体问题,考查了空间想象能力.如图,过 OCD 三点作球的截面, 交 AB 于点 M,由条件知, ?OAB 、 ?OCD 均为边长为 2 的等边三角形,设 M 到 CD 的距离为 h ,A 到面 MCD 的 距 离 为

h1
? M



B





MCD









h2





VA?

B

?

C

V

? D

?

A

V

1 3

?C (

1 D

S?

2B

1 ) ?h M 3

C

1 h ? 2

D

,因此, ?( 1 ?M C 2C) D? D h? M B

hA ?

h
D

当 AB⊥面 MCD 时, VA? BCD 二、填空题

1 1 4 3 ? ? ? 2 ? 2 3 ? (1 ? 1) ? 最大,故选 B. 3 2 3

O

13. {x | 0 ? x ? 2} 解析: 本题考查了不等式的基本性质. 由 2 x ? 1 ? x ? 1
2

C

得 2x ?1 ? x ?1 ? ?
2

? x ? ?1 ?? ? 0 ? x ? 2 ,不等式 ?2 x ? 1 ? ( x ? 1) ?0 ? x ? 2 ?
2 2

x ?1 ? 0

解集为. {x | 0 ? x ? 2} . 14. ?

1 解析:本题考查了同角三角函数的关系,二倍角公式以及两角和差的三角函数公式 .由 7 3 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? , 且 ? 为 第 三 象 限 角 得 5 y ? x2 ? x ? a y ? x2 ? x ? a
y

cos ? ??

5 , 得 t a? n? 5

, 2 tan 2? ? ?

4 , 3

a

? 1 ? tan 2? 1 tan( ? 2? ) ? ?? . 4 1 ? tan 2? 7
6

x

a?

1 4

5 2 解析:本题考查了利用数形结合的思想解题的策略. 如图,作出 y ? x ? | x | ? a 的图像, 4 1 5 若要使 y ? 1与其有四个交点,需满足 a ? ? 1 ? a ,解得 1 ? a ? . 4 4
15.1 ? a ? 16.

3 解析:本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆 C 焦点在 x 轴上,中心在原点,B 点为椭 3

圆上顶点,F 为右焦点,则由 BF ? 2 FD ,得 D 点到右准线的距离是 B 点到右准线距离的一半,则 D 点横

??? ?

??? ?

坐标 xD ?

??? ? ??? ? ??? ? a ,由 BF ? 2FD 知,F 分 BD 所成比为 2, ,由定比分点坐标公式得 c ? 2c
2

0 ? 2?

a2 2 2c ? a ,得 1? 2 3c

3c 2 ? a 2 ,得 e ?

3 . 3

三、解答题 17. 解:由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得

sin A ? sin B ? cos A ? cos B sin A ? cos A ? cos B ? sin B
从而 sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

sin( A ? ) ? sin( ? B) ,又 0 ? A ? B ? ? ,故 A ? ? ? B 4 4 4 4 A? B ?

?

?

?

?

?

2

,所以 C ?

?

2

18. 解:(Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专 家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用.则 D=A+B·C,

P( A) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25, P( B) ? 2 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.5, P(C) ? 0.3, P( D) ? P( A ? B? C)
= P( A) ? P( B? C) = P( A) ? P( B) P(C ) =0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ) X ~ B(4, 0.4) ,其分布列为:
1 ? 0.4 ? (1 ? 0.4)3 ? 0.3456, P( X ? 0) ? (1 ? 0.4)4 ? 0.1296, P( X ? 1) ? C4 2 3 P( X ? 2) ? C4 ? 0.42 ? (1 ? 0.4) 2 ? 0.3456, P( X ? 3) ? C4 ? 0.43 ? (1 ? 0.4) ? 0.1536,

P( X ? 4) ? 0.44 ? 0.0256. 期望 EX ? 4 ? 0.4 ? 1.6 .
7

19. 解法一:(Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG ? GC ? BG ? 1, 即 ?ABC 为直角三角形,故 BC ? BD . 又

SD ? 平面ABCD,故BC ? SD

,







BC ? 平面BDS,BC ? DE .
作 BK ? EC, K为垂足,因平面EDC ? 平面SBC , 故 BK ? 平面EDC,BK ? DE, DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直,DE⊥平面 SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

SB ? SD 2 ? DB 2 ? 6 , DE ?

SD?DB 2 ? SB 3

EB ? DB 2 - DE 2 ?
(Ⅱ) 由 SA ?

6 2 6 , SE ? SB - EB ? ,所以,SE=2EB 3 3

SD 2 ? AD 2 ? 5, AB ? 1, SE ? 2 EB, AB ? SA, 知
2 2

?1 ? ?2 ? AE ? ? SA ? ? ? AB ? ? 1, 又AD=1 .故 ?ADE 为等腰三角形. ?3 ? ?3 ?
取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ? DE , AF ?

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

连接 FG ,则 FG / / EC, FG ? DE .所 以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG ?

DG 2 ? DF 2 ?

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 6 ?? , , cos ?AFG ? 3 2?AF ?FG 2

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120°. 解法二:以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz , 设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ) SC ? (0, 2, -2), BC ? (-1,1, 0) 设 平 面 SBC 的 法 向 量 为 n =(a,b,c) 由

??? ?

??? ?

?

? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? n ? SC , n ? BC ,得 n ?SC ? 0, n ?BC ? 0 ? 故 2b-2c=0,-a+b=0,令 a=1,则 b=c,c=1, n =(1,1,1) ??? ??? ? 又设 SE ? ? EB (? ? 0) ,则

8

???? ? ? 2 ? ? 2 ???? E( , , ) , DE ? ( , , ), DC ? (0, 2, 0) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ???? ? ? ? 设平面 CDE 的法向量 m =(x,y,z)由 m ? DE , m ? DC ,得 m ? DE ? 0 , m ? DC ? 0


?x ?y 2z ? ? 则m ?2 ( 0 ,, ) ?? .由平面 DEC⊥平面 SBC 得 m ⊥ ? ? ? 0, 2 y ? 0 .令 x ? 2 , 1? ? 1? ? 1? ?

? ? ? n , m?n ? 0, 2 ? ? ? 0, ? ? 2 ,故 SE=2EB
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 E ( , , ) ,取 DE 的中点 F,则 F ( , , ), FA ? ( , ? , ? ) ,

? 2 1 1 1 1 1 ??? 3 3 3 3 3 3 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 4 2 故 FA?DE ? 0 ,由此得 FA ? DE ,又 EC ? (? , , ? ) ,故 EC ?DE ? 0 ,由此得 EC ? DE , 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? FA?EC 1 ? ??? ? ?? , 向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角于是 cos ? FA, EC ?? ??? 2 | FA || EC | 2 2 2 3 3 3
所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?
?

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? , xf ?( x) ? x ln x ? 1,题设 xf ?( x) ? x2 ? ax ? 1 等价 x ? 1 于 ln x ? x ? a .令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x) ? ? 1 x
当 0<x< 1 , g ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ( x)≤0 , x ? 1 是 g ( x) 的最大值点, g ( x)≤g (1) ? ?1 ,综上, a 的
'

'

取值范围是 ? ?1, ?? ? . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x)≤g (1) ? ?1 即 ln x ? x ? 1 ≤0 . 当 0<x< 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ? x ln x ? (ln x ? x ? 1)≤0 ; 当 x≥1 时, f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1)

? ln x ? x(ln x ?

1 ? 1) x 1 1 ? ln x ? x(ln ? ? 1) x x

≥0

,所以 ( x ? 1) f ( x)≥0

21. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,从而 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4
2 2

直线 BD 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 ,得 x ?

y2 4 y2 ? y1 (x ? 2 ) ( x ? x2 ) ,即 y ? y2 ? y2 ? y1 4 x2 ? x1

y1 y2 ? 1 ,所以点 F(1,0)在直线 BD 上 4
9

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? (my1 ? 1) ? (my2 ? 1) ? 4m ? 2
2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? 1. 因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m 2


8 ? 4m 2 ?

8 4 ,解得 m ? ? ,所以 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0 9 3
4 3 4 , ?? 7 ,故直线 BD 的斜率 y2 ? y1 3 7

又由(Ⅰ)知

y2 ? y1 ? ? (4m)2 ? 4 ? 4 ? ?

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ?BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t , 0) 到 l 及 BD 的距离分别为

3 t ? 1 3 t ?1 3 t ? 1 3 t ?1 3 t ?1 2 1 .由 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) ,故圆 M 的半径 r ? ? ? . , 5 4 5 3 5 4 9
所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 9

4 . 9

22. 解: (Ⅰ) an ?1 ? 2 ?

a ?2 2an 5 1 1 4 ? ?2? n ? ? ? 2,即bn ?1 ? 4bn ? 2 , 2 an 2an an ?1 ? 2 an ? 2 an ? 2

bn ?1 ?

2 2 1 ? 4(bn ? ), 又a1 ? 1, 故b1 ? ? ?1 3 3 a1 ? 2

所以 {bn ? } 是首项为 ?

2 3

1 2 1 n ?1 1 n ?1 2 ,公比为 4 的等比数列, bn ? ? ? ? 4 , bn ? ? ? 4 ? 3 3 3 3 3

(Ⅱ) a1 ? 1, a2 ? c ? 1,由a2 ? a1得c ? 2. 用数学归纳法证明:当 c ? 2 时 an ? an ?1 . (ⅰ)当 n ? 1 时, a2 ? c ?

1 ? a1 ,命题成立; (ⅱ)设当 n=k 时, ak ? ak ?1 ,则当 n=k+1 时, a1

ak ? 2 ? c ?
由 an ?

c ? c2 ? 4 1 1 ? c ? ? ak ?1 故由(ⅰ) (ⅱ)知,当 c>2 时 an ? an ?1 ,当 c>2 时,令 a ? , 2 ak ?1 ak

1 1 10 10 ? an ?1 ? ? c 得 an ? a ,当 2 ? c ? 时, an ? a ? 3 ,当 c ? 时, a ? 3 ,且1 ? an ? a an an 3 3
于是 a ? an ?1 ? 当 n ? log3 因此 c ?

1 1 1 (a ? an ) ? (a ? an ) , a ? an?1 ? n (a ? 1) an a 3 3

a ?1 时, a ? an ?1 ? a ? 3, an ?1 ? 3 a ?3

10 10 不符合要求,所以 c 的取值范围是 (2, ] 源 3 3
10


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