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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.4.2(二) 课时作业]


1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质(二)

课时目标 1.掌握 y=sin x, y=cos x 的最大值与最小值, 并会求简单三角函数的值域或最值.2. 掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能用单调性比较大小.3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y= Acos(ωx+φ)的单调区间.

正弦函数、余弦函数的性质: 函数 y=sin x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 ______ ______ ______ 最小正周期:______ 在 __________________________________ 上单调递增;在 __________________________________ ________________上单调递减 在________________________时,ymax =1;在 __________________________________ ______时,ymin=-1

y=cos x

单调性

______ ______ ______ 最小正周期:______ 在 __________________________________ ________上单调递增;在 ______________________________上单 调递减 在______________时,ymax=1;在 __________________________时,ymin =-1

最值

一、选择题 1.若 y=sin x 是减函数,y=cos x 是增函数,那么角 x 在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 α,β 都是第一象限的角,且 α<β,那么( ) A.sin α>sin β B.sin β>sin α C.sin α≥sin β D.sin α 与 sin β 的大小不定 3.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( ) 5 ? A.[-1,1] B.? ?-4,-1? 5 ?-1,5? - ,1? C.? D. 4? ? 4 ? ? 4.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( ) π π π 3π ? ? A.? B.? ?-4,4? ?4, 4 ? 3π ?3π,2π? π, ? C.? D. 2? ? ?2 ? 5.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11° <cos 10° <sin 168° B.sin 168° <sin 11° <cos 10° C.sin 11° <sin 168° <cos 10° D.sin 168° <cos 10° <sin 11°

)

π π? 6.下列函数中,周期为 π,且在? ?4,2?上为减函数的是( π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2 1 题 号 答 案 二、填空题 π B.y=cos(2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2 2 3

)

4

5

6

π ? 7.函数 y=sin(π+x),x∈? ?-2,π?的单调增区间是____________. π π π 8.函数 y=2sin(2x+ )(- ≤x≤ )的值域是________. 3 6 6 9.sin 1,sin 2,sin 3 按从小到大排列的顺序为__________________. π 10.设|x|≤ ,函数 f(x)=cos2x+sin x 的最小值是______. 4 三、解答题 11.求下列函数的单调增区间. x (1)y=1-sin ; 2 1 (2)y=log (cos 2x). 2

π? ? π? 12.已知函数 f(x)=2asin? ?2x-3?+b 的定义域为?0,2?,最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

能力提升 π 3 - ,0?,β∈?π, π?,则( 13.已知 sin α>sin β,α∈? ? 2 ? ? 2 ? A.α+β>π B.α+β<π )

3 C.α-β≥- π 2 2 A. 3 3 B. 2

3 D.α-β≤- π 2 )

π π? 14.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( C.2 D.3

1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法是: π π 把 ωx+φ 看成一个整体,由 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为增 2 2 π 3 区间,由 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ π (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为减区间.若 ω<0,先 2 2 利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值 的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的 单调性等来确定 y 的范围.

1.4.2
知识梳理

正弦函数、余弦函数的性质(二) 答案

π π π 3π R R [-1,1] [-1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [- +2kπ, +2kπ](k∈Z) [ +2kπ, 2 2 2 2 π +2kπ] (k∈Z) [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z) [2kπ,π+2kπ] (k∈Z) x= +2kπ (k∈Z) 2 π x=- +2kπ (k∈Z) x=2kπ (k∈Z) x=π+2kπ (k∈Z) 2 作业设计 1.C 2.D 1 5 3.C [y=sin2x+sin x-1=(sin x+ )2- 2 4 1 5 当 sin x=- 时,ymin=- ; 2 4 当 sin x=1 时,ymax=1.] π? ? 3 ? 4.C [由 y=|sin x|图象易得函数单调递增区间? ?kπ,kπ+2?,k∈Z,当 k=1 时,得?π,2π?为 y=|sin x|的单调递增区间.] 5.C [∵sin 168° =sin (180° -12° )=sin 12° , cos 10° =sin (90° -10° )=sin 80° 由三角函数线得 sin 11° <sin 12° <sin 80° , 即 sin 11° <sin 168° <cos 10° .] π π? π , 6.A [因为函数周期为 π,所以排除 C、D.又因为 y=cos(2x+ )=-sin 2x 在? 4 2?上为增函 ? 2 数,故 B 不符合.故选 A.] π ? 7.? ?2,π? 8.[0,2]

π π π 2π 解析 ∵- ≤x≤ ,∴0≤2x+ ≤ . 6 6 3 3 π ∴0≤sin(2x+ )≤1,∴y∈[0,2] 3 9.b<c<a π 解析 ∵1< <2<3<π, 2 sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3. π π 0, ?上递增,且 0<π-3<1<π-2< , y=sin x 在? ? 2? 2 ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),即 sin 3<sin 1<sin 2. ∵b<c<a. 1- 2 10. 2 解析 f(x)=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x 1 5 =-(sin x- )2+ 2 4 π 2 2 ∵|x|≤ ,∴- ≤sin x≤ . 4 2 2 1- 2 2 ∴当 sin x=- 时,f(x)min= . 2 2 π x 3 11.解 (1)由 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 2 2 得 4kπ+π≤x≤4kπ+3π,k∈Z. x ∴y=1-sin 的增区间为[4kπ+π,4kπ+3π] (k∈Z). 2 (2)由题意得 cos 2x>0 且 y=cos 2x 递减. π ∴x 只须满足:2kπ<2x<2kπ+ ,k∈Z. 2 π ∴kπ<x<kπ+ ,k∈Z. 4 π? 1 ∴y=log (cos 2x)的增区间为? ?kπ,kπ+4?,k∈Z. 2 π π x 2 12.解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3 π 3 ? ∴- ≤sin? ?2x-3?≤1,易知 a≠0. 2 当 a>0 时,f(x)max=2a+b=1, f(x)min=- 3a+b=-5.

?a=12-6 3 ?2a+b=1 由? ,解得? . ?- 3a+b=-5 ?b=-23+12 3
当 a<0 时,f(x)max=- 3a+b=1, f(x)min=2a+b=-5.

?a=-12+6 3 ?- 3a+b=1 由? ,解得? . ?2a+b=-5 ?b=19-12 3 3 ? 13.A [∵β∈? ?π,2π?, π ? ∴π-β∈? ?-2,0?,且 sin(π-β)=sin β. π ? ∵y=sin x 在 x∈? ?-2,0?上单调递增,

∴sin α>sin β?sin α>sin(π-β) ?α>π-β?α+β>π.] π π T π 3 π 14.B [要使函数 f(x)=2sin ωx (ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则应有 ≤ 或 T≤ , 3 4 4 3 4 4 2π π 6π 3 即 ≤ 或 ≤π,解得 ω≥ 或 ω≥6. 4ω 3 ω 2 3 ∴ω 的最小值为 ,故选 B.] 2


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